湖北省直辖县级行政单位2025-2026学年度第一学期教学质量监测高一数学试卷

度第一学期教学质量监测高一数学本试卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合，若，则集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再根据补集定义计算求解.【详解】集合，又，则集合.故选：A.2.命题“”的否定为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由全称的否定是特称可得；【详解】由全称的否定是特称可得命题“”的否定为“”.故选：C.3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由根式、分式、对数有意义列不等式求解即可.【详解】由题意，，解得，故选：B.4.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式化简计算即可.【详解】，又，.故选：C.5.下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】举反例即可验证A、B、D错误，利用不等式的性质即可证明选项C，即可求解.【详解】举反例，则，故选项A错误；举反例，则，故选项B错误；因为，所以，因为，所以，故选项C正确；当，则，故选项D错误.故选：C.6.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的定义域为B.的最小正周期为C.D.的图象关于点对称【答案】D【解析】【分析】根据正切函数的性质求解即可.【详解】对于选项，令，解得，故错误；对于选项，最小正周期，故错误；对于选项，，因为，所以；，因此，故错误；对于选项，令，解得，此时，所以函数图象关于点对称，当时，对称中心为，故正确.故选：7.已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后，其终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题可得终边过点，则可得，，据此可得答案.【详解】由题可得终边过点，则可得，，则故选：A8.设、分别表示，中的最大者与最小者，记为，，当时，的最大值为（）A.0 B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】先利用平方差公式化简，再根据与的大小关系，分两种情况讨论，最后利用三角函数性质求最值即可.【详解】设，，则，当时，，，此时，当时，，，此时，在区间内，的最大值为1（当或时），的最大值也为1（当时），因此，表达式的最大值为1.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知幂函数图象过，下列说法正确的是（）A.且 B.是奇函数C.在定义域内是减函数 D.的值域是【答案】ABD【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质判断各项即可.【详解】因为幂函数的图象过，所以，解得，A正确；所以，定义域为，因为，所以是奇函数，B正确；在和上各自单调递减，但在整个定义域上不是减函数，C错误；根据幂函数的性质可知，的值域为，D正确.故选：ABD.10.定义运算（其中），则下列结论正确的是（）A.B.对任意C.对任意，，都有D.对任意，都有【答案】ACD【解析】【分析】化简，取即可验证A，取特殊值，代入得到即可验证B，利用作差法即可证明C、D.【详解】先化简定义的运算，所以，故选项A正确；当时，，所以选项B错误；因为，即对任意，，都有，故选项C正确；因为，又因为，所以，即，即对任意，都有，故选项D正确.故选：ACD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，不等式的解集为B.若为上的减函数，则实数的取值范围是C.若的值域为，则实数的取值范围是D.函数在上恰有一个零点的充要条件是【答案】AB【解析】【分析】令，解不等式即可判断A；根据分段函数的单调性求出的取值范围即可判断B；根据一次、二次函数的值域可得，解之即可判断C；分别求出两段函数的零点，对分类讨论即可判断D.【详解】当时，，当时，，解得；当时，，解得，故不等式的解集为，故A正确，若为上的减函数，需满足，解得，故B正确，在上的值域为，在上的值域：当时，值域为；当时，值域为，若的值域为，则当时，，解得，即；当时，，解得，即，综上，实数的取值范围为.故C错误.当时，，解得；当时，，解得，当时，方程有两个解；当时，则方程有一个解为；当时，方程有两个解；当时，方程有一个解为，综上，函数在上恰有一个零点的充要条件是或.故D错误.故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数，则_____．【答案】0【解析】【分析】代入计算函数值即可求解.【详解】函数，则.故答案为：0.13.在长方形中（如图），，则的值为_____．【答案】【解析】【分析】根据勾股定理、相似三角形及直角三角形求三角函数求解即可.【详解】在中，，.在中，，过点作的垂线，垂足为.因为，，所以，所以，即，所以.在中，.故答案为：.14.已知函数在上所有零点之和等于260，则满足条件的整数的值是_____．【答案】或【解析】【分析】首先将函数的零点问题转化为交点问题，再由这两个函数都关于点成中心对称，且所给区间也关于点成中心对称，所以每一对对称的交点的横坐标的和为，从而可得共有对零点，因而可得在有个交点，从而可得右端点在第个和第交点的横坐标之间，因此可得所求k的值.【详解】令，得，再设，因为，所以函数关于点成中心对称.同理，所以函数关于点成中心对称如图：所以函数的零点就是函数的图象与函数的图象交点的横坐标，显然这些交点关于对称，每一对零点的和等于，而所有零点之和等于260，所以一共有对零点.而区间的中点为，所以区间也关于对称，所以函数的图象与函数的图象在有个交点，再由函数的周期为.函数的图象与函数的图象在有2个交点，以后每个周期内均有2个交点，一共有个周期.所以区间的右端点必满足，即，得，因为，所以整数的值为或.故答案为：或.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数的最大值为2．（1）求常数的值；（2）求函数的单调递减区间和对称轴方程．【答案】（1）；（2）；，．【解析】【分析】（1）先由辅助角公式将函数化为一个角的三角函数形式，再由函数的最大值可得所求值；（2）根据（1）得函数解析式，再根据整体代换的方法分别可得函数的单调区间及对称轴方程.【小问1详解】．．．依题意可得：，故．【小问2详解】由（1）知，，令，，解得：，．因此，函数的单调递减区间为．再令，解得，．因此，函数的对称轴方程为，．16.已知集合，定义集合运算：．（1）求和；（2）若集合，且，求实数取值范围．【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）先分别解绝对值不等式和分式不等式可得A，B，再根据定义计算和；（2）分三种情况解集合C中的不等式，再根据确定实数的范围.【小问1详解】由，得，解得，即.又由，得，解得，即.如图：所以，【小问2详解】由，变形得：，当时，，与不符，舍去；当时，，与不符，舍去；当时，，若，则．综上所述，．所以实数的取值范围17.已知函数，．（1）判断的单调性并证明；（2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．【答案】（1）是上的减函数，证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）根据单调性的定义证明即可；（2）依题意可得，从而得到，则对任意实数恒成立，求出，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】依题意的定义域为，可判断函数在上是减函数，证明如下：在上任取，，且，则，由，可知，则，，，所以，所以，即是上的减函数．【小问2详解】若不等式对任意实数恒成立，因为，所以，所以，又，所以，所以对任意实数恒成立，即，由（1）知在区间上单调递减，故，所以，解得，故实数的取值范围为．18.某游乐园的摩天轮匀速旋转，旋转一周需要30分钟，摩天轮的圆心距离地面高度为40米，半径为30米，某个观光舱从最低点开始运动，其高度（米）随时间（分钟）的变化规律为：．（1）求的表达式；（2）当观光舱的高度满足（其中为参数）时，观光舱内会有阳光直射．（i）若时，求观光舱在一个旋转周期内，有阳光直射的持续时间；（ii）若要求观光舱在每个旋转周期内，有阳光直射的时间不少于10分钟，求的最大值．【答案】（1），．（2）（i）5分钟；（ii）．【解析】【分析】（1）根据摩天轮的旋转周期求出，结合摩天轮的圆心距离地面高度和半径求出A和b，再根据初始位置求出，进而得到的表达式；（2）（i）将代入不等式，求解不等式得到t的取值范围，进而求出有阳光直射的持续时间；（ii）根据有阳光直射的时间不少于10分钟，结合三角函数的性质求出的最大值.【小问1详解】旋转一周需要30分钟，故，由，依题意取，，当时，，解得．故，【小问2详解】由（1）知，，化简得：，（i）若时，，代入得，即，因,结合余弦函数的图象可得，解得，故时，观光舱在一个旋转周期内，有阳光直射的持续时间为5分钟．（ii）若要求观光舱在每个旋转周期内，有阳光直射的时间不少于10分钟，根据（i）可知，，化简得：．设，则，，设的解集为，,由题意知有阳光直射的时间长度，即，在内，的解关于对称，其长度为，最大为，最小为0,当时，区间的解为.故，即的最大值为．19.已知函数，其中，，且，函数为偶函数．（1）求实数的值，并说明理由；（2）若关于的方程在区间上恰有四个不同的实数解，求实数a的取值范围；（3）设函数，若对于任意，，且，都有，求当时，实数与的关系式，并求的最小值．【答案】（1）理由见解析，（2）或（3），最小值为【解析】【分析】（1）应用偶函数定义计算求解参数；（2）分类讨论结合在区间上恰有四个不同的实数解求解参数；（3）先根据已知得出单调性，再分类讨论函数单调性，最后应用换元法结合二次函数值域计算解最小值.【小问1详解】若为偶函数，则对任意，有．即，化简得：对所有成立．平方得，故．当时，此时显然为偶函数．综上，．【小问2详解】由（1）知：函数，关于的方程，解得或，，当时