初中数学八年级下册 第五章 分式与分式方程 第2讲 分式的乘除法（6类热点题型讲练）教学设计

初中数学八年级下册第五章分式与分式方程第2讲分式的乘除法（6类热点题型讲练）教学设计

一、教学内容分析

（一）教材地位与作用

【核心基石】本章内容属于“数与代数”领域，是整式运算的延伸，也是后续学习分式方程、函数及其图象的基础。本节“分式的乘除法”是分式运算的核心内容之一，它上承因式分解、分式的基本性质，下启分式的加减法和分式方程。掌握好分式的乘除法，不仅是学生运算能力的重要体现，更是培养学生代数变形能力、逻辑推理能力的关键环节。在初中数学体系中，它起到了承上启下的桥梁作用，是学生从具体数字运算过渡到形式化符号运算的重要里程碑。

【素养导向】本节课不仅仅教授运算法则，更强调通过类比分数乘除法的学习经验，探索分式乘除法的法则，体现数学学习中的类比思想与转化思想。通过法则的探究与应用，着力发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养。

（二）教学内容重构

【明线暗线】本节课以“法则探索→法则应用→综合提升”为明线，以“类比思想与转化思想的渗透与内化”为暗线。基于课程标准的要求和学生的认知起点，我将教学内容整合为三大模块：模块一，从分数的乘除法法则自然过渡到分式的乘除法法则，完成知识的正向迁移；模块二，聚焦于分式乘除运算中的核心技能——约分与因式分解，通过梯度化的例题设置，突破运算难点；模块三，通过分式乘除在实际问题中的应用以及与其他知识的综合，提升学生分析问题和解决问题的能力。特别地，根据近年来各地中考试题的分析，将教学内容提炼为六个热点题型，实现“讲”与“练”的精准对接。

二、学情分析

（一）知识技能基础

【已有经验】学生在七年级已经学习了有理数的运算、整式的加减、幂的运算，在本章前序内容中又学习了因式分解（提公因式法、公式法）和分式的基本性质，这为本节课运用因式分解进行约分、理解分式乘除法法则奠定了坚实的知识基础。此外，学生对分数的乘除法法则非常熟悉，这为本节课的类比学习提供了丰富的经验支撑。

【潜在障碍】学生的主要障碍点在于：第一，从具体的数字到抽象的字母，符号意识的强弱直接影响运算的准确性；第二，因式分解的熟练程度参差不齐，特别是当分子分母为多项式时，无法准确、迅速地分解因式，导致约分无法进行或出现错误；第三，对运算结果的化简意识不强，往往得出一个未化简的分式就停止，缺乏“最简”的形式感；第四，对于乘除混合运算中除式需要取倒数的规则，容易与乘方运算混淆。

（二）认知特点与学习风格

【思维特征】八年级学生正处于形式逻辑思维向辩证逻辑思维过渡的关键期，他们具备一定的归纳、类比能力，但思维的严密性和深刻性尚待提高。他们乐于接受挑战，对通过自己的探究得出结论有成就感，但面对复杂的符号运算时，容易产生畏难情绪。

【学习偏好】学生更倾向于在“做中学”，通过解决具体问题来内化法则。因此，本节课的设计强调“精讲多练”，将核心知识分解为若干热点题型，让学生在解题实践中感悟算理、掌握算法，在错题辨析中深化理解。

三、教学目标设计

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，结合核心素养导向，确定本节课的教学目标如下：

1.【基础性目标】（知识技能）

理解并掌握分式的乘除法法则，能熟练运用法则进行分式的乘除、乘除混合运算，并能将结果化为最简分式或整式。

2.【核心性目标】（过程方法）

经历探索分式乘除法法则的过程，体会类比思想在数学学习中的作用；在运用因式分解进行分式乘除运算的过程中，感悟转化思想，发展运算能力和推理能力。

3.【发展性目标】（情感态度价值观）

通过参与“观察—猜想—验证—应用”的数学活动，培养严谨求实的科学态度和勇于探索的创新精神；在小组合作与交流中，感受合作学习的价值，增强数学学习的自信心。

四、教学重难点

【教学重点】掌握分式的乘除法法则，并能运用法则进行计算。

【教学难点】当分子、分母是多项式时，准确进行因式分解并约分，将结果化为最简形式。

五、课前准备

教师准备：制作多媒体课件（PPT），精选典型例题与变式训练题，设计课堂学习任务单，预设学生可能出现的典型错误并准备纠错策略。

学生准备：复习因式分解的两种基本方法（提公因式法、公式法），复习分式的基本性质及约分的步骤，准备红笔用于课堂纠错与标注。

六、教学实施过程（核心环节）

（一）创设情境，类比导入（约5分钟）

1.【温故知新】教师通过多媒体展示一组分数乘除法的计算题，让学生快速口答并说出计算法则。例如：计算2/3×4/5，(3/8)÷(9/16)。学生回答后，教师引导学生回顾分数的乘除法法则：分数乘以分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分数除以分数，等于被除数乘以除数的倒数。

2.【类比猜想】教师紧接着提问：如果将分数中的分子分母用整式来代替，比如将2换成(a+b)，将3换成(a-b)，就得到了分式。那么，分式的乘除法是否也遵循类似的法则呢？引出本节课的课题。学生基于已有经验，很容易猜想分式乘除法法则与分数乘除法法则类似。

3.【设计意图】从学生熟悉的分数入手，通过类比，建立新旧知识之间的联系，既复习了旧知，又为新知的学习搭建了“脚手架”，激发了学生的探究欲望，体现了数学学习中的类比思想。

（二）法则形成，初步应用（约8分钟）

1.【法则生成】教师引导学生用数学语言表达猜想：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。即：

(b/a)×(d/c)=(bd)/(ac)(a,c≠0)

(b/a)÷(d/c)=(b/a)×(c/d)=(bc)/(ad)(a,c,d≠0)

教师强调，这里的字母a,b,c,d可以代表任何整式，但分母必须不为0。

2.【基础演练，夯实法则】（【基础】【热点】）

例1：计算下列各式：

（1）(4xy/3a)×(2b/5x²y)（2）(a²-4)/(a²-4a+4)÷(a+2)/(a-1)

教学实施：

第一小题由学生独立完成，请一位学生上台板演。重点检查学生是否将系数与系数相乘，相同字母的幂相乘（同底数幂的乘法），以及是否对结果进行了约分。教师点评，规范书写格式。

第二小题涉及多项式，教师引导学生分析：第一步是什么？（将除法转化为乘法）第二步呢？（分子分母是多项式的，先分解因式）第三步呢？（约分，化为最简分式）。师生共同完成解题过程，板书规范步骤：

解：原式=(a²-4)/(a²-4a+4)×(a-1)/(a+2)

=[(a+2)(a-2)]/((a-2)²)×(a-1)/(a+2)

=(a-1)/(a-2)

教师重点强调：分解因式是进行约分的前提，约分后的结果必须是最简分式。

3.【设计意图】通过两道基础题，分别对应分式乘法（单项式）和除法（多项式），让学生即时运用法则，初步体验从法则到操作的转化。板演与点评相结合，及时纠正学生在符号、约分等方面的初级错误，树立规范意识。

（三）题型精讲，深度探究（核心环节，约20分钟）

本环节将教学内容整合为六类热点题型，采用“典型例题+方法点拨+变式训练”的模式，精讲精练，层层递进。

1.【题型一】分式的乘法运算——单项式与单项式、单项式与多项式相乘（【基础】【高频考点】）

【典型例题】计算：(2a²b/3c)×(c²/4ab²)×(5/6a)

【方法点拨】多个分式相乘时，法则同样适用。可以将所有分子的积作为新分子，所有分母的积作为新分母。但为了简化计算，提倡在相乘前，先进行约分（即“先约分后相乘”）。教师演示“十字交叉约分法”，即分子分母有公因式的，可以直接约去，再计算剩余部分的乘积。

解：原式=(2×1×5)/(3×4×6)×a^(2-1-1)×b^(1-2)×c^(2-1)（此步隐含，重在演示约分过程）

=(10)/(72)×a^0×b^(-1)×c¹

=(5c)/(36b)（结果为最简分式，注意负指数不出现，应写成分式形式）

【变式训练】计算：(x²-y²)/(x+y)×(3x)/(x-y)

学生独立完成，小组内互评。重点检查是否能熟练运用平方差公式分解因式后进行约分。

2.【题型二】分式的除法运算——“颠倒相乘”的准确应用（【基础】【易错点】）

【典型例题】计算：(a²-1)/(a²+2a+1)÷(a²-a)/(a+1)

【方法点拨】除法运算的第一步必须准确写出除式的倒数，这是整个运算正确与否的关键。尤其要注意，是将整个除式的分子与分母颠倒，而不是部分。写成乘法后，再按照乘法法则进行。

解：原式=(a²-1)/(a²+2a+1)×(a+1)/(a²-a)

=[(a+1)(a-1)]/[(a+1)²]×(a+1)/[a(a-1)]

=1/a

【易错警示】教师展示典型错误：(a²-1)/(a²+2a+1)÷(a²-a)/(a+1)=(a²-1)/(a²+2a+1)×(a²-a)/(a+1)（除式未颠倒）。引导学生辨析，强化记忆。

【变式训练】计算：(m²-4n²)/(m+2n)÷(m-2n)（注：(m-2n)可以看作分母为1的分式）

3.【题型三】分式的乘除混合运算——运算顺序与统一为乘法（【重要】【综合】）

【典型例题】计算：(x+2)/(x-3)·(x²-6x+9)/(x²-4)÷(x²+2x)/(x²+4x+4)

【方法点拨】分式的乘除混合运算是本章的重点和难点。运算顺序与有理数混合运算顺序一致，即从左到右依次计算。但更高效的方法是将算式中的所有除法先统一转化为乘法（即“除以一个分式等于乘以这个分式的倒数”），然后一次性进行约分和乘法运算。这样能有效避免因运算顺序错误导致的失分。

解：原式=(x+2)/(x-3)×(x²-6x+9)/(x²-4)×(x²+4x+4)/(x²+2x)

=(x+2)/(x-3)×[(x-3)²]/[(x+2)(x-2)]×[(x+2)²]/[x(x+2)]

=(x+2)/(x-3)×(x-3)²/(x+2)(x-2)×(x+2)²/x(x+2)

=(x+2)/1×1/(x-2)×1/x

=(x+2)/[x(x-2)]

教师在讲解时，要详细展示因式分解的过程，并用彩色粉笔标注出约分的部分，让学生直观感受“约分”带来的简化效果。

【变式训练】计算：a²/(a-b)÷a/(a²-b²)×(a²-2ab+b²)/a

4.【题型四】分式乘除中整体思想的运用——化简求值（【难点】【热点】）

【典型例题】先化简，再求值：(x²-1)/(x²-2x+1)÷(x+1)/(x-1)×(1-x)/(1+x)，其中x=2。

【方法点拨】此类题目的核心是先化简，后代入。化简的过程就是进行分式的乘除混合运算。在化简过程中，要时刻注意符号问题，特别是遇到(1-x)与(x-1)这样的相反数关系，要能敏锐地提取负号，进行等价变形。

解：原式=[(x+1)(x-1)]/[(x-1)²]×(x-1)/(x+1)×[-(x-1)]/(x+1)

=1×1×[-(x-1)]/(x+1)

=-(x-1)/(x+1)

当x=2时，原式=-(2-1)/(2+1)=-1/3。

教师强调：化简求值题，若不化简直接代入，计算量巨大且极易出错，体现了“整体思想”和“化归思想”的价值。

【变式训练】先化简，再求值：(a²-4a+4)/(a²-4)÷(a-2)/(a²+2a)-3，其中a满足a²-4=0。（提醒学生注意a的取值必须使原分式有意义，即分母不为0）

5.【题型五】分式乘除的实际应用——建模思想（【重要】【素养】）

【典型例题】“丰收1号”小麦试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为(a-1)米的正方形，两块试验田都收获了500千克小麦。

（1）哪种小麦的单位面积产量高？

（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

【方法点拨】本题是分式乘除法在实际问题中的应用，考查学生的阅读理解能力和建模能力。首先需要根据题意列出代数式，表示出两块试验田的面积和单位面积产量，然后通过作差或作商来比较大小。这里比较“多少倍”需要用除法运算。

解：（1）“丰收1号”面积：a²-1=(a+1)(a-1)平方米，“丰收2号”面积：(a-1)²平方米。

单位面积产量：“丰收1号”：500/(a²-1)千克/平方米，“丰收2号”：500/(a-1)²千克/平方米。

因为a>1，所以(a-1)²>0，比较两个产量，只需比较分母的大小。

(a-1)²-(a²-1)=(a²-2a+1)-(a²-1)=-2a+2=-2(a-1)<0，

所以(a-1)²<a²-1，即“丰收2号”的分母小，所以它的单位面积产量高。

（2）[500/(a-1)²]÷[500/(a²-1)]=500/(a-1)²×(a²-1)/500=(a²-1)/(a-1)²=(a+1)(a-1)/(a-1)²=(a+1)/(a-1)

答：“丰收2号”小麦的单位面积产量高，高的产量是低的产量的(a+1)/(a-1)倍。

【设计意图】将数学知识融入实际问题，让学生体会数学来源于生活又服务于生活，培养学生的应用意识和模型观念。

6.【题型六】分式乘除中的拓展与探究——与方程、不等式的结合（【选讲】【培优】）

【典型例题】已知y=(x²-2x+1)/(x²-1)÷(x²-x)/(x+1)-1/x，试说明：当x取使原分式有意义的任何值时，y的值都不变。

【方法点拨】此题是分式乘除运算的综合应用，并指向代数式的恒等变形。通过化简运算，最终得到一个常数，从而说明y的值与x无关。这对学生的运算能力和逻辑推理能力提出了较高要求。

解：先化简y。

y=(x-1)²/[(x+1)(x-1)]×(x+1)/[x(x-1)]-1/x

=(x-1)/(x+1)×(x+1)/[x(x-1)]-1/x

=1/x-1/x

=0

所以，只要x使原分式有意义（即x≠0,x≠±1），y的值始终为0，保持不变。

【设计意图】通过探究性问题，激发学有余力的学生的思维，引导他们透过现象看本质，感受数学的简洁美和确定性。

（四）互动辨析，归纳总结（约5分钟）

1.【易错点诊所】教师将课前预设的学生典型错误（如约分不彻底、符号处理错误、除法未颠倒、忽视分母不为0等）以纠错题的形式呈现出来，让学生以“小老师”的身份进行辨析、找错、改错。例如：

纠错题：计算(a+b)/(a-b)÷(a²-b²)/(a-b)²

错解：原式=(a+b)/(a-b)×(a-b)²/(a²-b²)=(a+b)/(a-b)×(a-b)²/[(a+b)(a-b)]=1

引导学生发现错误：约分后应为(a-b)/(a-b)=1，但结果1是正确的，过程却有瑕疵吗？实际上，(a-b)²/(a-b)=(a-b)，再与前面的(a+b)/(a-b)约分后，结果是(a+b)/(a+b)=1。虽然结果正确，但过程暴露了对约分对象理解不清。通过辨析，让学生明确每一步约分的依据，规范书写。

2.【思维导图共建】教师引导学生回顾本节课的学习历程，从“一个法则”到“六类题型”，从“类比分数”到“转化思想”，共同构建本节课的知识思维导图。师生共同总结出分式乘除运算的“三步曲”：第一步，除法变乘法（取倒数）；第二步，多项式要分解（因式分解）；第三步，约分后相乘（化为最简）。

（五）分层作业，巩固提升（课后）

1.【基础巩固】（面向全