初中数学九年级下册《位似》概念与性质深度探究教案

初中数学九年级下册《位似》概念与性质深度探究教案

一、课标要求与内容分析

（一）课标定位

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，图形的相似是“图形与几何”领域的重要组成部分。位似作为相似变换的一种特殊形式，是连接图形全等与一般相似的桥梁，其课标要求为：“了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似图形。”本节课的编排位于“相似”章节的深化部分，是在学生掌握了比例线段、相似多边形、相似三角形的判定与性质之后，对图形变换认识的又一次升华。

（二）教材分析

“位似”内容编排在人教版九年级下册第二十七章“相似”的第三节。教材首先通过生活中常见的放大镜成像、电影放映机投射等实例引入位似图形的直观概念，然后从数学定义上严格界定位似多边形的概念，进而探究位似图形的性质，特别是对应点的连线交于一点（位似中心）以及对应边平行（或共线）两大核心特征。最后，教材将位似置于平面直角坐标系中，探究以原点为位似中心的图形坐标变化规律，实现了数与形的紧密结合。本节课承上启下，既是对相似知识的综合应用，也为后续学习投影与视图等知识奠定基础。

（三）内容结构

本节内容可分为三个逻辑层次：

1.感性认知层：通过生活实例感知位似现象，建立直观印象。

2.理性建构层：抽象出位似图形的数学定义，探究其基本性质。

3.综合应用层：掌握位似图形的画法，并能在坐标系中运用位似进行图形的放大与缩小。

二、学情分析

（一）知识基础

九年级下学期的学生已经系统学习了：

1.图形的全等变换（平移、旋转、轴对称）。

2.比例的基本性质、成比例线段。

3.相似多边形的定义、判定及性质。

4.相似三角形的多种判定定理（SSS,SAS,AA）及其性质。

5.平面直角坐标系的相关知识。

这些知识为学生理解位似提供了坚实的基础。尤其是对“形状相同，大小不一定相同”的相似本质的理解，是跨越到“不仅相似，且对应点连线交于一点”的位似概念的关键台阶。

（二）认知与能力特点

该年龄段学生的抽象逻辑思维能力有较大发展，能够进行基于定义的推理和演绎，但对于高度抽象的几何变换概念，仍需借助直观感知和具体操作来构建理解。他们具备一定的探究能力和合作学习经验，但在从复杂图形中剥离出本质属性、进行严谨的几何语言表述方面仍需加强引导。部分学生可能存在思维定势，将位似简单理解为“放大的相似”，而忽视位似中心的位置变化带来的多样性。

（三）潜在学习障碍

1.概念混淆：易将“位似”与“相似”、“中心对称”混淆。

2.性质理解片面：可能只记住“对应点连线交于一点”，而忽略“对应边平行”这一重要性质，或在非标准位置图形中识别对应边存在困难。

3.作图难点：给定位似中心和位似比，进行图形放大或缩小时，对于反向延长线的运用不熟练。

4.坐标规律迁移：从以原点为位似中心的坐标变换规律，迁移到任意点为位似中心时，思维转换存在挑战。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.结合生活实例，能说出位似图形与相似图形的联系与区别，准确复述位似图形的定义。

2.能识别和判断两个图形是否位似，并能指出位似中心和位似比。

3.掌握位似图形的两个核心性质：①各对对应顶点所在直线都经过同一点（位似中心）；②对应边互相平行（或在同一直线上）。

4.能够利用位似性质，根据给定的位似中心和位似比，熟练地作出一个多边形放大或缩小后的位似图形。

5.理解并掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的图形坐标变换规律（k>0和k<0两种情况）。

（二）过程与方法

1.经历从生活实例抽象出数学概念的过程，体会数学建模的思想。

2.通过观察、操作、猜想、验证等活动，探究位似图形的性质，发展几何直观和合情推理能力。

3.在绘制位似图形的过程中，提升尺规作图能力和空间想象能力。

4.通过小组合作探究，学会用数学语言清晰表达观点，培养合作交流能力。

（三）情感态度与价值观

1.感受位似变换在生活（如摄影、测绘、影像技术）和科学领域的广泛应用，体会数学的价值与美感。

2.在探究活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

3.形成严谨、求实的科学态度，认识数学知识之间的内在联系（如与相似、中心对称、坐标系的联系）。

四、教学重难点

（一）教学重点

1.位似图形的概念：理解其作为特殊相似图形的本质内涵。

2.位似图形的性质：特别是对应点连线经过位似中心及对应边平行。

3.位似图形的画法：掌握利用位似中心与位似比进行放大与缩小的作图方法。

（二）教学难点

1.概念的深度理解：辨析位似与相似、位似与中心对称的异同。

2.性质的灵活运用：在复杂图形或非标准位置中识别位似关系并应用性质解决问题。

3.位似中心的多样性：理解位似中心可以在图形内部、边上、外部，甚至是无穷远处（此时对应边平行，对应点连线平行，可视为位似中心在无穷远点）。

4.坐标变换的逆向思维：已知变换后的图形坐标，反求位似比或原图形坐标。

五、教学准备

（一）教师准备

1.多媒体课件：包含生活实例图片（显微镜成像、地图、哈哈镜效果）、位似图形动态生成演示（使用几何画板或GeoGebra软件）、课堂例题与练习题。

2.几何画板/GeoGebra软件：用于动态演示位似变换过程，直观展示位似中心位置变化、位似比变化对图形的影响。

3.教具：大号三角尺、圆规、可粘贴的磁性图形卡片（用于黑板演示）。

4.导学案/任务单：设计有层次性的探究任务和练习题。

（二）学生准备

1.复习相似多边形的定义与性质。

2.准备数学课本、练习本、作图工具（直尺、三角板、圆规、铅笔）。

六、教学过程实施（两课时，共90分钟）

第一课时：位似概念的建构与性质的探究

环节一：创设情境，激趣导入（预计时间：8分钟）

1.现象观察：教师播放一组图片：①透过放大镜看到的文字；②电影放映机将胶片影像投射到银幕；③同一建筑物在不同比例尺地图上的轮廓；④利用图形软件拖拽控制点放大一个卡通图案。

2.问题驱动：

1.3.“这些图片中的两个图形有什么关系？”（预设：形状相同，大小不同——相似）

2.4.“这些相似关系与之前我们学习的任意两个相似三角形有什么不同？”（引导学生关注：放大镜的镜片中心、放映机的镜头、地图的图例点、软件拖拽的中心点似乎是一个‘关键点’）。

3.5.“如果将这些关键点与两个图形的对应顶点连接起来，你猜想会有什么规律？”

6.动手验证：教师在黑板上贴出一个△ABC卡片，选定一点O，邀请一名学生上台，根据指令将OA延长至A‘，使OA’=2OA，同样方法得到B‘、C’，连接A‘B’C‘。引导学生观察△ABC与△A‘B’C‘，并连接AA’、BB‘、CC’，观察这三条线的位置关系。

7.引出课题：教师总结：“这种特殊的相似关系，就是我们今天要深入研究的内容——位似。”板书课题。

环节二：合作探究，建构概念（预计时间：15分钟）

1.定义初探：学生阅读教材中关于位似多边形定义的文字表述。教师利用几何画板动态演示，变化图形、位似中心位置和位似比，让学生反复观察“对应点连线交于一点”和“图形相似”这两个核心特征。

2.小组辨析：出示辨析题组，小组讨论判断是否为位似图形，并说明理由。

1.3.图1：任意两个大小不同的正方形。（是，可找到位似中心）

2.4.图2：一个正方形和一个矩形。（否，不相似）

3.5.图3：两个全等的三角形，由平移得到。（否，对应点连线平行而不共点）

4.6.图4：两个相似三角形，对应顶点连线交于一点。（是）

5.7.图5：两个相似五边形，但一组对应边不平行。（是，定义只要求对应点连线共点，未要求边平行。此为定义的深入辨析点）

8.归纳定义：各小组汇报讨论结果，教师引导纠偏。最终师生共同提炼并板书位似图形的严格定义：

如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P′的连线都经过同一个点O，且满足OP′=k·OP(k≠0)，那么这两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k叫做位似比。

强调定义的双重条件：①相似；②所有对应点连线经过同一点。

9.概念深化：

1.10.位似比：k>1为放大，0<k<1为缩小，k<0时图形在位似中心两侧（关于位似中心成中心对称式位似）。动态演示k从负到正的变化。

2.11.位似中心的位置：展示位似中心在图形内部、边上、外部的三种情况，让学生认识到位似中心的任意性。

环节三：操作猜想，验证性质（预计时间：12分钟）

1.性质猜想：回顾导入和定义探究中的图形，引导学生观察位似图形除定义外的其他特征。提问：“除了对应点连线经过位似中心，位似图形的对应边之间有什么关系？”

2.动手验证：学生分小组活动。任务：在学案上给出△ABC和位似中心O（在三角形外部），要求以位似比2:1作出放大图形△A‘B’C‘。完成后，①测量∠OAB与∠OA‘B’是否相等？②测量AB与A‘B’的比，BC与B‘C’的比…③观察并用量角器检验AB与A‘B’、BC与B‘C’等对应边的位置关系。

3.性质归纳：小组汇报发现，教师利用几何画板进行一般性验证。共同归纳位似图形的性质：

1.4.性质1（定义性）：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（|OA‘|/|OA|=k）。

2.5.性质2（推导性）：位似图形的对应边互相平行（或在同一条直线上）。

3.6.补充说明：由性质1和相似，可以推出对应角相等，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。

7.关系辨析：将位似与已学变换对比，完成关系图。

1.8.位似vs.相似：位似是特殊的相似（满足“共点”条件）。

2.9.位似vs.全等：全等是位似比为1或-1的特殊位似。

3.10.位似vs.中心对称：中心对称是位似比为-1的特殊位似。

环节四：典例精析，初步应用（预计时间：10分钟）

【例1】如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O。

(1)若OA:OD=2:3，则△ABC与△DEF的位似比是多少？周长比是多少？面积比是多少？

(2)写出图中所有平行的线段。

(3)若△ABC的面积为12cm²，则△DEF的面积为多少？

教学组织：引导学生分析，位似比是“前图”比“后图”吗？强调位似比的顺序性（对应点到位似中心的距离之比）。利用性质进行逐问解答。

【例2】判断下列说法是否正确，并说明理由：

(1)位似图形一定是相似图形。

(2)相似图形一定是位似图形。

(3)两个全等图形一定是位似图形。

(4)位似中心可能位于两个图形的公共边上。

教学组织：采取抢答或小组竞答形式，重点辨析(2)(3)，巩固对概念外延的理解。

环节五：课时小结，布置作业（预计时间：5分钟）

1.小结：引导学生用思维导图的形式回顾本节课核心内容：一个定义（位似）、一个比（位似比）、两个性质（点共线、边平行）。

2.作业：

1.3.基础题：教材课后练习第1、2题。（辨识位似图形，求位似比）

2.4.探究题：寻找生活中2-3个位似现象的例子，尝试指出其位似中心。

3.5.预习作业：阅读教材下一部分，思考如何利用尺规作出一个图形的位似图形。

第二课时：位似作图与坐标规律

环节一：复习导入，温故知新（预计时间：5分钟）

1.快速问答：①位似图形的定义是什么？②位似图形有哪些主要性质？③位似比k=0.5和k=-2分别代表什么含义？

2.出示一个四边形ABCD和一点O（在形外），提问：“如何利用上节课的知识，作出以O为位似中心，位似比为1:2的缩小图形？”让学生口头描述步骤，暴露前概念。

环节二：精讲示范，掌握画法（预计时间：18分钟）

1.基本作图法探究：

1.2.任务呈现：已知五边形ABCDE和位似中心O（在形内），求作位似比为2:1的放大图形。

2.3.学生尝试：小组先根据定义尝试画图。教师巡视，收集典型做法和困惑（如连接O与所有顶点后，如何确定A‘等）。

3.4.方法提炼：请一个成功的小组分享做法。教师用几何画板规范演示并板书步骤：

步骤1：连接位似中心O与多边形的各顶点。

步骤2：分别在（或反向延长）OA,OB,OC…上截取（或度量）OA‘=2OA,OB’=2OB…

步骤3：顺次连接点A‘,B’,C‘…，所得图形即为所求。

4.5.关键强调：①“连接”与“反向延长”的适用情境（k>0用延长，k<0用反向延长）。②“顺次连接”确保图形正确。

6.变式作图训练：

1.7.变式1：位似中心O在五边形的一条边上。

2.8.变式2：位似比k=-1/2（缩小且反向）。

3.9.学生分组选择变式进行作图，教师巡视指导，重点关注学生在处理位似中心在边上时对应点的确定，以及k为负值时方向的处理。完成后投影展示，学生互评。

10.作图方法小结：师生共同总结位似作图的核心——抓对应点。确定了所有顶点的对应点，图形就确定了。

环节三：坐标关联，数形融合（预计时间：20分钟）

1.情境引入：教师展示一张由像素点构成的简单图标（如小房子），并将其导入平面直角坐标系中。“在计算机图形学中，对图像的缩放本质上就是坐标的变换。如何在坐标系中精准地实现位似变换？”

2.特例探究（位似中心在原点）：

1.3.设问：在直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，点A(2,3)的对应点A‘坐标是多少？猜测规律。

2.4.探究活动：学生分组，给定△ABC顶点坐标A(2,3),B(4,1),C(1,0)，分别完成以下任务：

组1、2：以原点O为位似中心，位似比k=2，作出放大图形△A‘B’C‘，并写出各顶点坐标。

组3、4：以原点O为位似中心，位似比k=-2，作出反向放大图形△A‘’B‘’C‘’，并写出各顶点坐标。

组5、6：以原点O为位似中心，位似比k=1/2，作出缩小图形。

3.5.发现规律：各组汇报坐标结果，填写在大表格中。引导学生观察并总结规律：

规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。

即：原有点坐标为(x,y)，则其对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)。

（当k>0时，对应点在同象限；当k<0时，对应点在不同象限，关于原点对称分布）

4.6.几何画板验证：动态改变k值和原图形，验证规律的普适性。

7.规律应用与逆用：

【例3】在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点坐标A(2,4),B(3,2),C(1,1)。以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的1/2，且使对应点在同一象限，求缩小后图形的顶点坐标。

【例4】已知四边形ABCD与四边形A‘B’C‘D’是以原点为位似中心的位似图形，A(1,2)的对应点是A‘(3,6)。求：(1)位似比；(2)若B(2,-1)，则B‘的坐标；(3)若C‘(-4,-2)，则C的坐标。

教学处理：例3直接应用规律。例4侧重逆向思维，通过对应点坐标求k（k=3或-3？需根据“同象限”判断），并利用关系反求坐标，训练思维的灵活性。

环节四：综合实践，拓展提升（预计时间：12分钟）

项目任务：我是小小平面设计师

背景：为学校艺术节设计一个Logo图案（一个简单的多边形组合）。

要求：

1.在坐标系第一象限设计一个原创的基础图案（顶点坐标不少于5个）。

2.以原点为位似中心，设计该图案的“放大版”（k>1）和“徽章版”（k为负值，图形反向）。

3.写出基础图案和两个衍生图案的关键顶点坐标。

4.（选做）挑战：如果位似中心不是原点，而是点P(a,b)，猜想对应点坐标的变化规律，并尝试验证。

学生动手设计、计算、绘图。教师提供坐标纸，并巡视指导。此活动整合了本节课的作图与坐标知识，兼具趣味性与挑战性。选做题为学有余力的学生提供探索空间。

环节五：全课总结，体系构建（预计时间：5分钟）

1.知识树构建：师生共同完成本节课的知识结构图，将位似置于“图形的变换”大体系中。

图形的变换

├──全等变换（保距）：平移、旋转、轴对称

└──相似变换（保形）：一般相似→**特殊相似：位似**

├──定义与性质

├──作图方法

└──坐标表示（以原点为中心）

2.思想方法升华：强调本节课运用的数学思想——从特殊到一般、数形结合、类比猜想、模型思想。

3.布置课后作业：

1.4.必做题：教材习题中关于作图和坐标计算的题目。

2.5.选做题：1.探究位似中心在任意点P(a,b)时，坐标变换的公式。2.撰写一篇数学小短文：《位似变换在科技中的应用》。

七、教学反思与评价设计

（一）学习评价设计

1.过程