辽宁省鞍山市普通高中2025-2026学年高二上学期12月月考试题数学（B）

辽宁省鞍山市高二上学期12月月考数学试题（B）一、单选题1．在三棱锥中，若，，，则（

）A． B．1 C． D．02．3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（

）种．A．36 B．108 C．120 D．1443．已知为实数，椭圆的离心率为，则（

）A．6 B．5 C．4 D．34．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（

）A． B． C． D．5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（

）A． B．3 C． D．26．若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（

）A．5 B．4 C．3 D．27．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（

）A． B． C． D．8．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（

）A． B． C．6 D．4二、多选题9．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（

）A．若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案B．若每人分得2本，则有90种方案C．若三人分得书本数互不相同，则有360种方案D．共有450种分配方案10．如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（

）A．长为B．异面直线与所成角的余弦值为C．D．11．已知抛物线（）过点，则下列结论正确的是（

）A．点P到抛物线焦点的距离为B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则的面积为C．过点P与抛物线相切的直线方程为D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值三、填空题12．在的展开式中，常数项是．13．若直线l：被圆C：截得的弦长为，则.14．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率.四、解答题15．甲、乙两人参加面试，每人需回答2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是0.7，乙答对每道题目的概率都是0.6，不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响(1)求甲只答对第二题的概率；(2)求甲乙两人答对题目数之和为1的概率.16．已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，M是圆C上的动点，，P是线段的中点.(1)求圆C的标准方程；(2)求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状.17．已知椭圆的离心率为，短轴长为.(1)求C的方程；(2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值.18．已知双曲线C：的右顶点为，且双曲线C的一条渐近线恰好与直线垂直.(1)求双曲线C的方程(2)若直线：与双曲线C的右支交于A，B两点，点F为双曲线C的右焦点，点D在双曲线C上，且轴.求证：直线过点F.19．如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面.(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的正弦值；(3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.

1．B结合已知条件根据数量积的运算律求解即可.【详解】因为，，，所以.故选：B2．D分步骤分析，利用排列组合的乘法原理来计算即可．【详解】总共有3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有种，所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有种，最后剩余4人安排在中间4个位置，有种，所以一共有种．故选：D．3．D先判断椭圆焦点位置，然后根据离心率的公式列方程求解即可.【详解】因为该方程为椭圆方程，所以且，解得，，所以，，则，所以，由题意得，解得.故选：D.4．C分别算出，，结合公式即可求解.【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，所以事件包含的样本点个数有个，所以，事件包含的基本事件有：，所以，所以.故选：C.5．A由渐近线斜率求离心率.【详解】直线的斜率为，所以双曲线一条渐近线的斜率为3，即，所以离心率.故选：A.6．A根据题意，求得展开式的通项，分别求得和的系数，列出方程，即可求得的取值.【详解】由二项式展开式的通项为，令，可得，所以展开式的的系数为，令，可得，所以展开式的的系数为，因为展开式中的系数比的系数小300，可得，即，解得或，又因为，所以.故选：A.7．B根据独立事件概率公式，计算即可得出答案.【详解】设这三人中仅有两人获得一等奖为事件A，则.故选：B8．D由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案.【详解】由抛物线定义可知，因为直线AF的倾斜角为，轴，，所以为等边三角形，故，，所以，其中准线l与轴交点为，则，故，所以.故选：D.9．ABC利用分组分配问题的解法即可得解.【详解】对于A，甲1本､乙2本､丙3本，方案数为，故A正确；对于B，每人2本，方案数为，故B正确；对于C，书本数互不相同（即1，2，3），所以方案数为，故C正确；对于D，分三类：第一类，每人2本，方案数为90种；第二类，一人1本，一人2本，一人3本，方案数为360种；第三类，一人4本，另外两人各1本，方案数为，故总的分配方案数为种，故D错误.故选：ABC.10．ACD以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算和即可判断CD.【详解】由题意有：，所以，所以，故A正确；，所以，所以，所以，故B错误；由，，所以，所以，故C正确；由，所以，故D正确；故选：ACD.11．BC由抛物线过点可得抛物线的方程，求出焦点的坐标及准线方程，由抛物线的性质可判断A；求出直线的方程与抛物线联立，求得交点的坐标，进而求出的面积，判断B；设直线方程为，与抛物线方程联立求得斜率，进而可得在处的切线方程，从而判断C；设直线的方程为抛物线联立求出的坐标，同理求出的坐标，进而求出直线的斜率，从而可判断D．【详解】由抛物线过点，所以，所以，所以抛物线的方程为：；可得抛物线的焦点的坐标为：，准线方程为：，对于A，由抛物线的性质可得到焦点的距离为，故A错误；对于B，可得直线的斜率，所以直线的方程为：，代入抛物线的方程可得：，解得，所以，故B正确；对于C，过点P与抛物线相切的直线斜率存在，设直线方程为，与联立，得：，所以，解得，所以切线方程为，故C正确；对于D，设直线的方程为：，与抛物线联立可得，所以，所以，代入直线中可得，即，直线的方程为：，代入抛物线的方程，可得，所以，即，代入直线的方程可得，所以，所以为定值，故D错误．故答案为：BC.12．15写出二项展开式的通项公式，根据指数为可得结果.【详解】的展开式的通项公式为，由得，，∴展开式中的常数项是.故答案为：15.13．10由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果.【详解】易知圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得，所以圆心到直线的距离，解得或.因为，所以，故答案为：10.14．设，由双曲线定义求出，求出，由余弦定理求出，得到离心率.【详解】设，由双曲线定义可得，即，所以，又，，在中，由余弦定理得，即，解得，故离心率.故答案为：15．(1)0.21(2)（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解，（2）根据相互独立事件以及互斥事件的概率性质即可求解.【详解】（1）设“甲只答对第二题”，则,（2）记“甲只答对一道题”，“乙只答对一道题”，“甲两道题都答错”，“乙两道题都答错”，故,,,,记“甲乙两人答对题目数之和为1”，由于事件相互独立，事件相互独立，则16．(1)；(2)轨迹方程是，表示以点为圆心，半径为的圆.（1）设圆的标准方程，代入两点坐标，利用圆心在直线上建立方程组，求解即得；（2）利用相关点法即可求得点P的轨迹方程，并说明其形状.【详解】（1）设圆的标准方程为.由题意可得，解得,则圆的标准方程为.（2）设，而，因为是线段的中点，所以，即得().因为点在圆上，所以，将()代入上式，可得，整理得，即点的轨迹方程是，它表示以点为圆心，半径为的圆.17．(1)(2)或（1）根据题意可得，进而解出即可求解；（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解.【详解】（1）由题意，得，解得，则椭圆C的方程为.（2）设，联立，得，则，解得，且，所以，点到直线的距离为，

则，解得或，满足，则或.18．(1)(2)证明见解析【详解】（1）由右顶点为，得，由双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直，得，即，∴，∴双曲线C的方程为.（2）

由（）可知，右焦点F的坐标为（2，0），由题意可知直线的斜率存在且不为0，∴，设，，则，由（）可知，双曲线的渐近线方程为，又直线与双曲线的右支交于A，B两点，则，即，且直线过定点作出图像如上，联立消去得，则，得，，，则，又，∴，，∴，∴，又，有公共点F，∴B，F，D三点共线，∴直线过点F19．(1)证明见解析(2)(3)存在，线段的长为【详解】（1