吉林省省长春市高三质量监测（二）数学试题

长春市2026届高三质量监测（二）数学本试卷共4页．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确在考生信息条形码区．2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】因为，所以2.已知平面向量，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】因为，所以，所以，解得.3.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.13 B.15 C.17 D.19【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的通项公式计算即可得.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，故.故选：C.4.双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（）A.1 B.3 C.7 D.9【答案】D【解析】【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案.【详解】由题意知，，所以.在双曲线中，有，所以，又，所以.由双曲线定义知，，即，所以或.又，即，所以.综上，.5.的展开式中的系数为160，则（）A.2 B. C. D.2【答案】D【解析】【详解】二项式展开式的通项公式为，令，则可得展开式中的系数为，所以，解得.6.某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6【答案】C【解析】【分析】在频率分布表中，小矩形的面积等于这一组的频率，所以面积和为1，建立等量关系求出，进而求出长度在内的频率．【详解】由题意知，，整理得，解得.所以任取一个垫片为合格品的概率为：.7.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圆台内切球对应轴截面等腰梯形有内切圆的性质得到母线长，结合勾股定理求出球半径，代入表面积公式计算结果.【详解】设球的半径为，圆台上底面半径，下底面半径.因为球与圆台两个底面相切，因此圆台的高；球与圆台侧面也相切，说明圆台的轴截面（等腰梯形）存在内切圆，根据有内切圆的四边形对边之和相等，可得圆台母线长；由圆台母线、高、半径之差的勾股关系：，代入已知量得，解得；代入球的表面积公式，得.【点睛】本题考查圆台内切球的组合体性质，核心结论是有内切球的圆台满足：母线长等于上下底面半径之和，圆台的高等于内切球的直径，结合平面几何勾股定理即可求解.8.已知实数，若且，则（）A.9 B.21 C.27 D.30【答案】D【解析】【分析】设，由已知条件可得，求出t，即可得，结合可求出n的值，继而求出m，即可求得答案.【详解】设，则，由于，则，故由可得，即，解得，舍去，故，即得，又，则，即，结合，得，故，则.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列结论正确的有（）A.的虚部是 B.在复平面内对应的点在第二象限C. D.【答案】BD【解析】【详解】，的虚部是，故A错误；在复平面内对应的点，在第二象限，故B正确；故C错误；，故D正确．10.已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，则下列有关函数及其性质的描述正确的是（）A.B.为函数图象的一条对称轴C.将的图象向右平移个单位长度后，将得到一个偶函数的图象D.函数的单调递减区间为【答案】AC【解析】【分析】根据题意结合五点法求，即可判断A；对于B：根据最值点与对称轴之间的关系分析判断；对于C：根据图象变换可得，即可判断奇偶性；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断.【详解】设函数的最小正周期为，由函数的第一个最低点为，可知；因为函数图象经过点，则，即，且，则；又因为函数在y轴右侧的第一个零点为，则，即，且，则，解得，所以，对于选项A：，故A正确；对于选项B：因为，不为最值，所以不为函数图象的一条对称轴，故B错误；对于选项C：将的图象向右平移个单位长度，得，为偶函数，故C正确；对于选项D：令，解得，所以函数的单调递减区间为，故D错误.11.景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（）A.该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为B.该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小C.若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为D.若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为【答案】BCD【解析】【分析】设相应事件，利用全概率公式求，即可判断B，结合条件概率公式判断ACD.【详解】设该游客第一次选择套餐为事件，第二次选择套餐为事件，则，，且，，可得，.对于选项A：该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐为事件，其概率为，故A错误；对于选项B：因为，即，所以该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小，故B正确；对于选项C：因为，所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故C正确；对于选项D：因为，则，所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，若，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，利用函数性质求的范围即可.【详解】已知函数，则，是奇函数，是增函数，是增函数，是增函数，因为，，即，是单调递增函数，，解得．所以的取值范围是.13.在中，，，，的面积为______________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理及三角形的内角和定理，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】由正弦定理得，解得,因为，所以,所以.所以,所以的面积为.故答案为：.14.已知椭圆的左、右焦点分别为，.为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】先根据椭圆定义求出和，再利用切线长定理求出，然后结合向量关系建立离心率与的关系即可求解.【详解】椭圆的离心率为，由椭圆定义得，因为，所以，，圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，则由切线长定理得，，，由得，代入，得，又，即，因此有，整理得，因为，，所以，即，两边同时除以得，即，因为，所以，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）．性别身高合计低于170cm不低于170cm男82432女12618合计203050（1）依据的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？（2）若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率．附：，其中．0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联．（2）【解析】【分析】（1）计算卡方，即可与临界值比较求解.（2）根据全概率公式即可求解.【小问1详解】，依据的独立性检验，可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联．【小问2详解】从男生样本和女生样本中各选取一人，则两名学生身高不在同一组的概率16.在数列中，．（1）求证：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件可得，结合等比数列的定义可证明结论；（2）结合（1）的结论可求出的表达式，即可得的表达式，利用分组求和以及错位相减法，即可求得答案.【小问1详解】由题意，故，，结合可知为递增数列，可得故，即数列是公比为3的等比数列．【小问2详解】由（1）可得，即，采用分组求和方式．设为数列的前项和．为数列的前项和．则①②①②可得：即．又．故．17.如图，三棱柱的所有棱长均为2，且．（1）证明：；（2）若三棱柱的体积为3，求平面与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，，可证得平面，利用线面垂直的性质可证结论；（2）利用体积可得，进而可证，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值．【小问1详解】取中点，连接，，又因为是等边三角形，所以，又因为，，所以是等边三角形，所以，又因为，平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】由三棱柱的体积为3．可知三棱锥的体积为1．即,解得，即，所以，又，所以以为原点．以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，所以，设平面的法向量为，则，令，得，所以平面的一个法向量为，又设平面的法向量为，则，令，得，所以平面的一个法向量为，设平面与平面所成的角为，.即平面与平面所成角的余弦值为．18.已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为．（1）求的方程；（2）若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由抛物线定义可知抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值.（2）抛物线方程和直线方程联立，用韦达定理表示根的关系，再利用弦长公式，点到直线的距离公式求出的底和高，最后利用导数即可求出面积的最大值.【小问1详解】抛物线的焦点，准线为，抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值，即，即，故的方程为．【小问2详解】由题意可知直线斜率存在，设的方程为，与抛物线联立消去可得，则，，则，的中点在直线上，即，即，由弦长公式可知，点到直线的距离为，即的面积为，令，，则，则，令，则令可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此在处取得最大值，即的最大值为，即面积的最大值为．19.在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量（单位：千只）与时间（单位：月），满足函数，其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征．定义：若函数在上满足：1．震荡性：在上无限次正负交替；2．衰减性：任意给定正实数，存在实数，使得当时，．则称为震荡衰减函数．（1）求在内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0（不必证明）．（2）根据定义判断函数在上是否为震荡衰减函数．如果是，给出证明；如果不是，说明理由．（3）设．求证：无最大值．【答案】（1）在内的所有极值点皆为使得的点，波动量的增长率为0．（2）满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，即可令得解，（2）根据所给定义，结合三角函数的性质判断“震荡性”，根据指数函数的性质判断“衰减性”，即可求解，（3）先根据恒成立，以及hx+π<hx，将问题转化为在上的最值情况，利用导数，以及三角函数的性质判断的单调性，即可求解．【小问1详解】由函数fx=e在上，令，则和，当