小学二年级数学下册“有余数的除法”单元差异化教学教案

小学二年级数学下册“有余数的除法”单元差异化教学教案

  一、单元整体教学设计分析

  （一）课标分析

  在《义务教育数学课程标准（2022年版）》的框架下，小学第一学段“数与代数”领域明确提出了对除法学习的阶段性要求。课标强调，要引导学生在具体情境中理解除法的意义，能进行简单的整数除法运算，并学会描述操作过程。对于“有余数的除法”，课标将其定位为除法意义认识的深化和数感发展的重要载体，要求学生能够结合平均分的操作过程，理解余数的含义及其与除数之间的关系。本单元的教学必须超越单纯的计算技能训练，深入到数学概念的本质理解与数学思维方法的初步建立。核心素养导向要求本单元教学着力培养学生的数感、运算能力和初步的模型意识。数感体现在学生对除法运算结果的估计、对余数大小的感知上；运算能力则要求学生能根据具体情境选择并正确执行除法（包括有余数）的算法；模型意识则萌芽于学生能将“平均分后有剩余”的现实情境抽象为“被除数÷除数=商……余数”的数学模型，并能用此模型解释和解决简单问题。因此，本单元的教学设计必须创设丰富的、贴近学生经验的平均分物情境，引导学生在动手操作、观察比较、归纳概括中自主构建“余数”概念，理解“余数必须比除数小”的算理，并初步体会除法算式各部分之间的动态关系，为后续学习更复杂的除法运算和解决问题奠定坚实的认知与思维基础。

  （二）教材分析

  本单元“有余数的除法”在人教版小学数学二年级下册的教材体系中，处于承上启下的关键位置。它上承二年级上册表内除法的学习，下启三年级以后学习多位数除以一位数、两位数除以两位数乃至小数除法，是整数除法认知序列中不可或缺的一环。教材通常按照“概念建立—规律探索—实际应用”的逻辑线索编排。起始课时通过分铅笔、分面包等直观操作活动，引入“平均分后有剩余”的现象，从而引出余数的概念，并学习有余数除法的横式写法。紧接着，教材会安排探索“余数和除数关系”的课时，引导学生通过大量操作、观察、填表、比较，发现“余数必须比除数小”这一核心规律，并理解其内在逻辑。后续课时则侧重于有余数除法的竖式计算（部分版本在此阶段引入竖式）以及利用有余数除法解决简单的周期排列、找规律、租船（车）等实际问题。教材的编排注重从具体到抽象，从操作到思维，但其提供的例题和练习往往是面向全体学生的“标准餐”。因此，在差异化教学视角下，教师需要深度解构教材：将基础概念（余数的意义、算式读写）作为所有学生的“保底”目标；将核心规律（余数与除数的关系）作为多数学生需要达成的“核心”目标；而将灵活应用（逆向推理、复杂情境建模）作为学有余力学生挑战的“发展”目标。同时，需识别教材中可能存在的认知跳跃点，如从“正好分完”到“有剩余”的心理跨越，理解“商和余数的单位可能不同”，以及从具体操作抽象到符号表征的困难，为差异化支持提供依据。

  （三）学情分析

  小学二年级下学期的学生，经过一年半的数学学习和上半学期表内除法的训练，已具备以下基础：能够熟练进行表内乘、除法计算；理解“平均分”的含义，并能用除法算式表示平均分的过程与结果；具备初步的操作、观察和简单的归纳能力。然而，学生在学习“有余数的除法”时，将面临典型的认知冲突与发展差异，这正是实施差异化教学的逻辑起点。

  首先，在认知准备上，学生的差异显著。一部分学生（发展区A）可能已通过生活经验或课外学习，对“分东西有剩余”有模糊感知，甚至能说出“余数”这个词，但对余数的规范性定义、其与除数的确定关系缺乏清晰理解。大部分学生（发展区B）能顺利从表内除法迁移到“分完”的情境，但对“分不完”如何用数学方式表达感到困惑。少数学生（发展区C）可能对表内除法的意义本身掌握不牢，平均分的操作尚不熟练，进入新概念学习时会存在较大障碍。

  其次，在思维水平上，学生从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的进程不一。对于发展区A的学生，他们能较快地从分物操作中抽象出算式，并乐于探索算式背后的规律。发展区B的学生需要依赖具体的操作或图示来支撑对算式的理解，从“实物剩余”到“数学余数”的符号化过程需要搭建“脚手架”。发展区C的学生则可能长时间停留在动手操作的层面，难以建立操作过程与除法算式之间的有效联结，需要教师更多的个别化指导和直观演示。

  再次，在学习风格与兴趣上，差异同样存在。有的学生喜欢动手操作，通过摆弄学具获得理解；有的学生擅长观察和推理，喜欢寻找模式；有的学生则对解决有挑战性的实际问题充满热情。此外，学生在注意力的持久性、克服认知挫折的韧性方面也存在不同。因此，本单元的教学必须提供多样化的学习路径、多层次的探究任务以及多元化的展示与反馈方式，以满足不同认知风格、不同发展水平学生的学习需求，让每位学生都能在最近发展区内获得成功体验和有效发展。

  二、差异化教学目标设计

  基于以上分析，本单元的教学目标不再设定为统一条目，而是依据学生的可能发展区间进行分层预设，旨在使所有学生都能达成基础性目标，大部分学生达成发展性目标，部分学有余力的学生挑战拓展性目标。

  （一）基础性目标（面向全体学生，特别是发展区C的学生需重点达成的保底目标）

  1.知识与技能：能在具体情境中，通过动手操作，感知“平均分后有剩余”的现象。认识余数，知道余数的含义。会读、写有余数的除法算式，能正确说出算式中各部分的名称（被除数、除数、商、余数）。

  2.过程与方法：在教师的引导和直观学具的辅助下，经历将平均分后有剩余的过程用除法算式表示出来的过程。

  3.情感态度与价值观：对用数学方式表达生活中的“分不完”现象产生兴趣，在操作成功中获得初步的学习信心。

  （二）发展性目标（面向大多数学生，特别是发展区B的学生需努力达成的核心目标）

  1.知识与技能：理解余数产生的意义，掌握有余数除法的计算方法（主要是横式）。通过观察、比较、操作，发现并理解“余数必须比除数小”的规律，并能初步解释原因。能用有余数的除法解决简单的实际问题（如：圈一组，看能圈几组，余几个）。

  2.过程与方法：经历自主探索“余数与除数关系”的过程，初步形成归纳推理的能力。能尝试用画图、列表等多种方式表征问题和分析数量关系。

  3.情感态度与价值观：在探索数学规律的过程中获得成就感，培养初步的探究精神和严谨的学习态度。

  （三）拓展性目标（面向学有余力的学生，特别是发展区A的学生可供挑战的延伸目标）

  1.知识与技能：深入理解“余数比除数小”的原理，并能用此规律快速判断除法计算是否正确。能灵活运用有余数除法的知识解决较为复杂的实际问题，如简单的周期问题、最优策略问题（如租船方案设计）。初步接触有余数除法的竖式写法（若教材安排），理解竖式中每一步的含义。

  2.过程与方法：能进行简单的数学猜想并通过举例验证。能够从复杂情境中抽象出有余数除法的模型，并反思结果的合理性。尝试用有余数除法的知识解释或创造一些简单的数学游戏或规律。

  3.情感态度与价值观：形成主动探索和拓展数学知识的意识，体验数学在解决复杂问题中的力量，发展数学应用意识和创新意识。

  三、差异化教学资源与环境准备

  为实现差异化教学，需精心准备多层次、多类型的教学资源，并营造支持个性化学习的环境。

  （一）教具与学具准备

  1.通用基础材料（确保人手一份或小组一份）：小棒（或计数圆片、豆子等）至少30根/个，用于基础的分物操作。印有苹果、星星等图案的图片卡若干。除法算式卡片（包括表内除法和有待填写的有余数除法）。

  2.分层辅助材料：

  （1）支持层材料（针对发展区C学生）：提供分物步骤提示卡（图文结合，清晰地展示“先每X个一份，圈一圈，分一分，剩下的不够一份”的流程）。提供带“分物框”或“分组圈”的工作纸，降低操作和记录的难度。准备可粘贴的算式各部分名称标签，用于配对游戏。

  （2）探究层材料（针对发展区B学生）：提供空白记录表，用于自主记录分不同数量物品、按不同份数分的结果（物品总数、每份个数、份数、剩余数）。提供空白T型图或维恩图，用于比较“正好分完”和“有剩余”两种情况。

  （3）挑战层材料（针对发展区A学生）：提供稍大数量的物品（如50根小棒），用于快速验证规律。提供设计情境卡，要求学生根据一个有余数的除法算式（如13÷4=3……1）编出不同的数学故事或画出情境图。提供简单的周期排列图案（如△○□△○□……），探究第N个是什么图形。

  3.技术资源：准备交互式白板课件，动态演示分物过程，特别是从“正好分完”到“有剩余”的连续变化。录制2-3个微课视频，内容分别为：①余数概念的精讲（针对需复习的学生）；②“余数为什么比除数小”的深度讲解（针对学有余力的学生）；③一道典型应用题的多种解法思路。利用班级学习平台或答题器，实现课堂即时反馈和分层练习推送。

  （二）学习环境布置

  1.物理空间：采用灵活的小组合作区域与独立学习区域相结合的方式。教室内设置“基础操作区”（配备充足的直观学具和支持层材料）、“合作探究区”（适合小组讨论和分享）和“静思挑战区”（提供安静环境和挑战性任务卡）。

  2.心理环境：营造安全、包容的课堂氛围，明确“每个人的思考进度不同是正常的”、“提问和求助是聪明的表现”、“挑战难题值得鼓励”等学习价值观。通过展示不同层次学生的优秀作品（如清晰的操作记录、独特的解题方法、创编的数学故事），让每个层级的学习成果都得到认可和尊重。

  四、教学实施过程详案（以“探索余数和除数的关系”核心课时为例）

  本课时是在学生初步认识了余数，会写有余数除法算式的基础上，引导学生通过系统探究，发现并理解“余数必须比除数小”这一根本规律，是单元教学的重中之重。以下呈现一个完整课时的差异化实施流程。

  （一）课前诊断与目标唤醒（约5分钟）

    活动开始，不直接进入新知，而是通过一个简短的诊断性活动激活学生的已有认知，并让教师迅速了解学生的起点差异。教师出示问题：“有13颗草莓，每4颗装一盘，能装几盘？还剩几颗？请用你喜欢的方式表示出来。”学生独立完成。教师巡视，快速将学生的反馈归类：A类（能用正确算式13÷4=3（盘）……1（颗）表示，且单位正确）；B类（能通过画图或分学具得出结果，但算式书写可能不全或单位有误）；C类（操作或理解有困难）。随后，邀请一位B类学生分享他的画图或操作过程，再请一位A类学生分享他的算式。教师板书正确的算式，并回顾各部分名称。此环节意在让所有学生明确本节课的起点——我们已经会用算式表示分物有剩余的情况，那么这其中是否藏着什么奥秘呢？从而自然引出探究主题：“余数和除数之间，会不会有什么有趣的关系？”对于C类学生，教师在此过程中可进行个别轻声指导，或安排小组内“小老师”协助，确保其跟上课堂节奏。

  （二）分层探究，构建规律（约20分钟）

    这是本节课的核心环节，学生将按照不同的路径和节奏，探索余数与除数的关系。

    1.统一驱动任务，明确探究方向：教师提出挑战：“如果我们固定用一些小棒来摆正方形（正方形需要4根小棒），用小棒的总根数除以4，余数可能会是几？有没有可能是4、5、6或者更大呢？请同学们自己动手试试看。”这个任务开放且指向明确，所有学生都理解要做什么。

    2.提供分层学习单，支持个性化探究：

    （1）学习单A（支持层）：表格已经预设了小棒根数（从5根开始，到12、13、14、15、16、17等），并画好了摆正方形的图示框。学生的主要任务是根据小棒根数，在框里画小棒（或直接用学具摆），然后将结果填入表格：小棒根数、摆成的正方形个数、剩余小棒根数。表格下方有引导性问题：“观察‘剩余小棒根数’这一列，你看到的数字有______，最大是______。每次摆一个正方形需要4根小棒，剩下的根数如果等于4，还能再摆一个吗？所以，剩下的根数都比4______。”

    （2）学习单B（探究层）：表格只给出小棒根数一列（如5、6、7……20），需要学生自己操作、计算并填写摆成的个数和余数。下方探究提示：“1.仔细观察余数，你发现了什么规律？2.如果余数变成4或者比4大，说明什么？3.猜想一下，如果摆的是五边形（需要5根小棒），余数可能会是哪些数？”

    （3）学习单C（挑战层）：直接提出问题：“不操作，尝试推理：用一堆小棒摆正方形（每4根一个），可能出现的余数有哪几种？为什么？请用算式和语言说明你的理由。你能推导出一个一般性的结论吗？如果除数是6，余数可能有哪些？除数是n呢？”同时提供一些额外挑战题，如：“□÷4=△……☆，☆最大是（）。如果☆是3，那么被除数可能是哪些数？（写出3个）”

    3.教师巡视与差异化指导：教师巡视全场，但将更多时间倾斜于支持层和探究层的学生。

    对使用学习单A的学生，重点关注其操作和记录的准确性，通过提问“摆完一个正方形后，剩下3根，还能再摆一个吗？为什么？”引导其理解“余数比除数小”的直观原因。确认他们能完成填空。

    对使用学习单B的学生，观察他们是否能从数据中归纳出“余数有1、2、3”的规律，并鼓励他们思考原因。对于提前完成的学生，可以追问其挑战层中的猜想问题（摆五边形的情况），促进其思维迁移。

    对使用学习单C的学生，主要倾听他们的推理过程，检查其推理的严谨性和语言表达的准确性。鼓励他们用更概括的语言总结规律（“余数一定要比除数小”），并认可他们用字母表示的尝试（如：在a÷b=c……d中，d<b）。

    4.组织分层汇报与全班共识构建：请一位使用学习单A的学生汇报他的表格数据，并读出他的发现（如：余数都比4小）。教师用红笔圈出余数列。再请一位使用学习单B的学生补充，并解释为什么余数不能是4或比4大（因为如果还剩4根或更多，就还能再摆一个正方形，说明还没分完）。最后，请一位挑战层的学生用更概括的语言总结规律：“在有余数的除法中，余数一定要比除数小。”教师将这一核心结论板书在黑板上，并强调“必须”、“比……小”等关键词。通过不同层次学生的递进式汇报，让每个层次的学生都参与了结论的生成过程，A层学生验证了结论，B层学生归纳了结论，C层学生概括并提升了结论，所有人都对规律的理解做出了贡献。

  （三）分层巩固，深化理解（约10分钟）

    规律发现后，需要立即在不同认知水平上进行巩固和应用，将新知纳入各自已有的认知结构。

    1.基础巩固游戏（面向A、B层学生，侧重记忆与简单应用）：开展“快速判断”游戏。教师口述或出示算式，如“17÷3=5……2”，学生用“OK”手势表示正确，“X”手势表示错误。重点设计一些余数等于或大于除数的错误例子，如“14÷4=2……6”，让学生运用新学的规律进行快速判断。此活动节奏快，参与度高，能有效巩固基础认知。

    2.变式应用练习（分层呈现）：

    （1）支持层练习：填空：①在算式□÷6中，余数可能是（）。②在算式□÷8=4……☆中，☆最大是（），这时□是（）。（提供小棒图辅助思考）

    （2）探究层练习：①（）÷7=6……（），当余数最大时，被除数是（）；当余数最小时，被除数是（）。②有35块饼干，每盒装6块，能装满几盒？还剩几块？（强调“装满”与“剩”的关系）

    （3）挑战层练习：①一个数除以7，商是8，且有余数。这个数最大是几？最小是几？②有一串彩灯，按“红、黄、蓝、绿”的顺序排列，第27盏是什么颜色？③你能写出几个被除数是三十几，除以5后有余数的算式？观察这些算式的余数，你有什么发现？

    学生根据自身情况，至少完成对应层次的练习，鼓励“跳一跳”尝试更高层次的问题。教师继续巡视，提供个性化反馈。对于共性问题，如最小余数是多少（通常为1，特殊情况是0即整除），可在全班进行简要澄清。

  （四）课堂小结与反思（约5分钟）

    小结环节也应体现差异化，不只是教师复述。

    教师提问：“今天这节课，你最大的收获是什么？或者你还有什么疑问？”鼓励不同层次的学生分享。

    可能的发展区C学生回答：“我知道了余数不能比除数大。”教师肯定其用“不能比除数大”的生活化语言准确表达了核心意思。

    可能的发展区B学生回答：“我发现了余数要比除数小，而且知道了为什么，因为如果余数和除数一样大，就还能再分一份。”教师表扬其理解了原理。

    可能的发展区A学生回答：“我明白了余数的范围是由除数决定的，除数是几，余数就从1到几-1。而且这个规律可以用来检查和推理问题。”教师赞赏其进行了高度概括。

    教师最后进行总结升华：“是的，正如同学们所说，‘余数必须比除数小’是我们今天发现的除法王国里的一个重要规则。它不仅能帮助我们检查计算对不对，还是我们今后解决更多有趣问题的金钥匙。”并简要预告下一课时的学习内容（解决问题），让学有余力的学生可以提前思考。

  （五）差异化课后延伸

    课后作业不应是统一的练习题，而是提供“作业套餐”供学生选择。

    套餐一（基础巩固餐）：完成练习册上与余数和除数关系对应的基础练习题。用学具摆一摆，验证2-3个算式的正确性。

    套餐二（拓展应用餐）：完成一道关于周期排列的实际问题。尝试编写2个不同的数学故事，都对应算式“19÷6=3……1”。

    套餐三（探究挑战餐）：研究“在□÷△=○……☆中，如果☆是固定的（比如总是2），那么△和□之间可能存在什么关系？”或者“设计一个包含有余数除法的小游戏或谜题，下节课和同学分享。”

    学生根据课堂自我评估选择套餐，鼓励跨套餐尝试。教师后续进行批改和个别化反馈。

  五、单元整体差异化教学策略贯穿建议

  上述核心课时的设计体现了差异化教学的微观操作。在整个单元的教学中，以下策略应一以贯之：

  （一）内容分层策略：将单元知识解构为基础概念层、核心规律层、综合应用层和拓展创新层。确保教学覆盖前两层（面向全体），在课堂练习和课后任务中渗透后两层（面向不同需求学生）。例如，在“解决问题”课时，基础问题是直接应用除法，发展问题是需要理解“进一法”或“去尾法”，拓展问题则是复杂的周期推理或方案优化。

  （二）过程分层策略：在每个教学环节（情境导入、新知探究、巩固练习、总结评价）都预设不同认知路径和支持方式。广泛采用“任务驱动+分层学习单”的模式，让“齐步走”变成“按自己的节奏行进”。小组合作时，采用异质分组与同质分组交替的方式，既发挥互助作用，也满足深度讨论的需要。

  （三）评价分层策略：改变单一纸笔测试的评价方式，实行“过程性表现评价+分层达标评价+成果展示评价”相结合。过程性表现评价关注学生在课堂操作、讨论、提问中的参与度和思维品质。分层达标评价指单元测验可设置基础题（100分）、附加题（20分），学生完成基础题即视为达标，附加题用于评价更高水平。成果展