27上篇 第二部分 单元四 专题 二 高三数学第二轮总复习

单元四概率与统计第2部分

大单元突破——系统性复习上篇

大单元导学方案稳根基

自主训练专题二随机变量及其分布离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度．1．已知随机变量X的分布列如表所示：D考点一分布列及其性质解析：ABC解析：D3．(2025·清远模拟)离散型随机变量X的分布列如下：X1234Pm0.3n0.2若E(X)＝2.7，则下列结论错误的是(

)A．m＋n＝0.5 B．E(3X－1)＝7.1C．D(X)＝0.81 D．P(X>2)＝0.5解析：由题设m＋n＋0.5＝1，得m＋n＝0.5，A正确；由E(X)＝m＋0.6＋3n＋0.8＝2.7，得m＋3n＝1.3，联立m＋n＝0.5，所以m＝0.1，n＝0.4，则P(X>2)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.4＋0.2＝0.6，D错误；E(3X－1)＝3E(X)－1＝8.1－1＝7.1，B正确；D(X)＝(1－2.7)2×0.1＋(2－2.7)2×0.3＋(3－2.7)2×0.4＋(4－2.7)2×0.2＝0.81，C正确．故选D.4．(2025·高考Ⅰ卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝________．解析：解析：解析：解析：解析：分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．ABD考点二随机变量的分布列相互独立事件解析：解析：二项分布解：解：解：[例3]

(2025·广州模拟)已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子，重水分子，超重水分子的比例为6∶3∶1.(1)现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个轻水分子的概率；(2)从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数有6个，然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为X，求X的数学期望．解：解：求随机变量X的均值与方差的方法及步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解．B1．(2025·西安模拟)盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回地摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回地摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则(

)A．E(X)<E(Y)，D(X)>D(Y)B．E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)C．E(X)<E(Y)，D(X)<D(Y)D．E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)解析：解：解：解：解：考点三正态分布[例4]

(2025·长沙模拟)在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为ξ(单位：m，下同)，且ξ～N(2，0.012).(1)若出产这样的成品圆钢10000根，试估计长度在[1.97，2.03]内的圆钢根数；(2)从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取2根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间[1.98，1.99)，另一根的长度在区间[2，2.02]内的概率(精确到0.01).参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解：解：正态分布问题的关注点利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的灵活运用：(1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；(2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0)；(3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a).1．(多选)设随机变量X～N(0，1)，f(x)＝P(X≤x)，其中x>0，下列说法正确的是(

)A．变量X的方差为1，均值为0B．P(|X|≤x)＝1－2f(x)C．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增D．f(－x)＝1－f(x)ACD解析：随机变量X～N(0，1)⇒σ2＝1，μ＝0，则A正确；P(|X|≤x)＝P(－x≤X≤x)＝1－2[1－f(x)]＝2f(x)－1，则B错误；随机变量X～N(0，1)，结合正态曲线易得函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则C正确；正态分布的曲线关于x＝0对称，f(－x)＝P(X≤－x)＝P(X≥x)＝1－f(x)，则D正确．BC解析：由题意可知，X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，P(X<1.9)≈0.8413，所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.8413＝0.1587<0.2，所以A错误，B正确．因为Y～N(2.1，0.12)，所以P(Y<2.2)≈0.8413，P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.8413－0.5＝0.3413，所以P(