专题04平行线的证明压轴题（期中真题）辽宁某校七年级数学下册新教材北师大版 含答案

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1.已知：，点E在直线，外，连接，．探究，，之间的数量关系．

（1）如图1，过点E作，∵，∴，∴，，则，，之间的数量关系为______；（2）如图2，过点E作，猜想，，之间的数量关系，并证明；（3）如图3，过点E作，直接写出，，之间的数量关系为______．

2.【课题学习】平行线的“等角转化”．

如图3，已知点A是外一点，连接，．求的度数．

解：过点A作，

∴，________，

又∵．

∴_________．

【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．

【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．

【方法运用】（2）如图4，已知，交于点E，，求的度数．

（3）如图5，若，点P在外部，请直接写出，，之间的关系．

3.学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：

已知：如图，．

【初步感知】（1）如图，若，求的度数；

【拓展延伸】（2）如图，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：；

【类比探究】（3）如图，若，，若，，直接写出的度数．

4.【问题初探】

数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，，点在之间且点在点右侧，求证：；

【类比分析】

李老师将图①进行了变换并提出了下面问题请你解答：如图②，，点在之间且点在点左侧，猜想之间的数量关系，并证明；

【学以致用】

如图③是超市的购物车，图④是其侧面示意图，已知，通过测量得知，求的度数．

5.综合与实践

【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．

归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系．

【独立思考】

（1）如图1，，，之间的数量关系是_______．

（2）如图2，，，之间的数量关系是_______．

【问题迁移】

（3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________．

【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足．

（4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由．

6.综合与实践

学习了平行线的知识后，老师了解到小学已经学习了三角形内角和为，于是提议利用三角板与平行线为主题开展数学活动．

（1）第一小组是这样操作的：如图，已知直线，将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上，形成，，转动三角板，他们发现，与存在一个数量关系，请你直接写出这个关系．（2）第二小组把一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置在两条平行线和之间，顶点，分别落在直线，上，他们发现，与存在一个数量关系，请你写出这个关系．小明通过认真思考发现，如果为任意三角形，上面的关系仍然存在，请你帮助他证明这个结论．（3）第三小组利用第二小组的结论提出了下面的问题：如图，已知，和分别平分和，与交于点，若，求的度数．

7.【阅读理解】

我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．例如：如图1，，点M，N分别在直线，上，点P在直线，之间．设，，求证：．

证明：如图2，过点P作，∴．

∵，，∴，

∴，∴．

【类比应用】（1）如图3，，，°，则

（2）如图4，，点M，点N分别在直线，上，点P在直线的上方，连接，．则，与之间有何数量关系？请说明理由．

【拓展应用】（3）如图5，，点M，N分别是，上两点，点E在，之间，连接，．点P在直线的上方，连接，，若的延长线平分，求的度数．

8.如图，直线，直线与直线，相交于点，点是射线上的一个动点（不包括端点）．

（1）若，交的平分线于点，，求的大小．（2）如图，连接．将沿折叠，顶点落在点处．

①若，点刚好落在其中的一条平行线上，则的大小为___________；

②若，，则的度数___________．

9.2025年央视春节联欢晚会上，一群穿卷花棉袄的人形机器人科技感爆棚，这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技求领域的重大突破，

【提出问题】

图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？

【思考过程】

依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，借要添加辅助线构建新的图形．

【问题解决】

解：如图②，过点作，过点作，则．

因为，，

所以．

因为，，

所以．

所以（

）．

因为．

所以

，

所以

．

【迁移应用】

如图③是一款手推车的平面示意图，．（1）若，，则

．（2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由．

【拓展提高】

如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则

．

10.如图，已知直线，点、分别为直线、上的点，点在两条平行线之间，连接、．

（1）如图，若，求证：；（2）如图，点、是直线上的两点，点在点、之间，且，点在线段上，过点作射线交于点（点不与点重合），试探究，与之间的数量关系，并说明理由．

11.直线，点分别在直线上，点在直线之间，连接．

（1）如图1，求证：；（2）如图2，过点作，点在线段上，若，，求的度数；（3）如图3，平分，平分，过点作，猜想与的数量关系，并加以证明．

12.应用题

如图，锦州东湖公园某处湖道两岸所在直线平行，在湖道两岸安装探照灯和，若灯发出的光线自射线逆时针旋转至射线便立即回转，灯发出的光线自射线逆时针旋转至射线便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯转动的速度是度／秒，灯转动的速度是度／秒，为湖面上一点．

（1）若把灯发出的光线自射线转至射线，或者灯发出的光线自射线转至射线称为照射一次，请求出，两灯照射一次各需要的时间．（2）秒时，两光束恰好在点汇聚，求的度数．（3）在两灯同时开启后的秒（包括秒）内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？请直接写出结果．

13.如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板按如图放置，，，，，此时点与点重合．

（1）如图，直线经过点，求的度数；（2）如图，固定的位置不变，将绕点按顺时针方向旋转度，与相交于点，求的度数（用含的式子表示）；（3）如图，在的条件下，与的角平分线相交于点，在旋转过程中，的度数是否发生变化，若不变化，求出其值；若变化，用含的式子表示．

14.数学课上，老师提出问题：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有怎样的数量关系？小颖认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论，请按她的思路完成探究：问题已知与，，，探究与的数量关系．情况①两边方向均相同，射线与交于点．②两边方向均相反，点在的外部，反向延长射线交射线于点．③一边方向相同，一边方向相反，射线与交于点．图示发现______________说理，

（依据），

，

，

．____________________________结论如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系为：______________．（1）情况①说理过程中的“依据”是：______________；（2）请补全情况②的说理过程；（3）请补全情况③的发现和说理过程；（4）请补全小颖的结论．

15.【问题情境】

在数学课上，老师组织七年级（1）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，．

【探索发现】

第一小组经过探索后发现：（1）当时，可求的度数为________，请说明理由；（2）不断改变的度数，与始终存在某种数量关系，用含的式子表示为__________；

【操作探究】（3）第二小组利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在射线上的什么位置，和之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由；（4）点继续在射线上运动，当运动到使时，若，请直接写出的度数．

16.【问题情境】

在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动．将三角尺角的顶点放在直线上，直线与直线相交于点．

【操作探究】（1）聪聪同学将三角尺按图所示放置，若，求的度数；（2）明明同学将三角尺绕点旋转至图位置时，与有什么数量关系，猜想并证明；

【深入探究】（3）如图，如果直线不动，慧慧同学加大了平行线与之间的距离，使平行线之间的距离大于．绕点旋转三角尺，点始终在平行线之间，请直接写出与所有可能的数量关系．

17.【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“幸福角”，其中一个角叫做另一个角的“幸福角”．

例如：，，，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”．

（1）已知和互为“幸福角”，且，若和互补，则_______；（2）如图所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点．

①若，且和互为“幸福角”，则________；

②如图所示，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“幸福角”，求的度数．

18.定义：在平面内，对于和，若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如：，，有，则是的“2系数补角”．(1)若，求的“5系数补角”的度数；

(2)在平面内，直线，直线在上方，直线分别交直线，于点E，F，且，点H为直线右侧一个动点，的平分线与的平分线交于点M．

①如图，若点H在直线上方，且，，求的度数；

②已知，，是的“3系数补角”，且，请直接用含m和n的式子表示x．

参考答案与试题解析专题04平行线的证明压轴题（期中真题汇编，辽宁某校七年级数学下学期新教材北师大版一、解答题1.【答案】,证明见解析【解析】（1）利用两直线平行，内错角相等即可解答;（2）同理（1）利用两直线平行，内错角相等可得,再利用周角的定义即可解答;（3）利用两直线平行，内错角相等可得,,再根据,即可解答.【解答】（1）解：

,

;（2）解：,证明如下:

同理（1）可得,

;（3）解：

.2.【答案】，；(2)；(3)【解析】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质；

(1)根据平行线的性质得，再利用等量代换即可；

(2)过点E作EFAB，根据平行线的性质得，，再利用，进行等量代换求解即可；

(3)根据三角形外角的性质得，再根据平行线的性质得出，即可求解.【解答】解：过点A作ED//BC，

又

故答案为：，

(2)如图，过点E作

(3)

又

3.【答案】见解析【解析】（1）根据平行线的性质，可知，结合，即可得到答案；（2）过点作交于点，那么，所以，，由，得到，结合，得证；（3）设和的交点为，由可知，，那么，那么，由，那么有得到答案．【解答】（1）解：，

，

，

，

；（2）证明：过点作交于点，如图所示：

，，

，

，，

，

，

，

，

，

；（3）解：设和的交点为，如图所示：

由可知，

，

，，

，

，，

，

，，，

，

，

．4.【答案】证明见解析；；【解析】本题考查了平行线的性质探究角度之间的关系，正确作出辅助线是解题的关键．

如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证；

如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证；

如图，过点作，过点作，可得，，即得，即得到，又由平行公理的推论得，即可得，进而即可求解；【解答】证明：如图，过点作，则，

，

，

，

，

；

如图，过点作，则，

，

，

，

，

即；

如图，过点作，过点作，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

．5.【答案】【解析】此题暂无解析【解答】解：如图1，过E作

故答案为：

(2)如图2，过E作

图2

故答案为：；

(3)如图3，

图3

分别是的角平分线，

由（1）得

由(2)得

故答案为：

(4)理由：

如图4，过C作，则

图4

6.【答案】，见解析【解析】（1）根据直角三角板可知：，则，再根据平行线的性质可得出．（2）过点作，根据平行线的性质得出，，则可得出，即．（3）由角平分线的定义可设故设，，由得，，再结合已知条件可得出，再根据可得出．【解答】（1）解：如下图：

根据题意可知：，

，

，

，

即．（2）如果为任意三角形，则．

证明：过点作，

，

，

，，

，

即，

故如果为任意三角形，则．（3）解：和分别平分和，

故设，，

由得，，

，

，

．7.【答案】70；，理由见解析；【解析】（1）延长CD至G，根据对顶角的性质求出，由[阅读理解]知：，结合即可求解；（2）过P作PQ，根据平行线的性质得出，根据平行线的传递性得出PQ，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论；（3）设，则由（2）知：，由[阅读理解]知：，结合，可得出，求出，即可求解.【解答】（1）延长CD至G，

图3

则

由[阅读理解]知：又即

故答案为：70；（2）

理由：如图，过P作

图4

则

则

又

（3）设，则

的延长线MF平分

由（2）知：

由[阅读理解]知：

8.【答案】①或；②或【解析】（1）根据平行线的性质和三角形的内角和即可得到结论；（2）①分两种情况讨论：当点落在上时，利用折叠的性质和三角形内角和定理计算即可．当点落在上时，利用折叠的性质和平行线的性质，三角形的内角和定理计算即可．②分两种情形：当点在平行线，之间时．当点在下方时，结合平行线的性质，即可解决问题．【解答】（1）解：，

，

平分，

，

，

，

；（2）解：①当点落在上时，

由折叠的性质得：，

．

当点落在上时，

由折叠的性质得：，

，

，

，

，

，

．

综上所述，满足条件的的值为或，

故答案为：或．

②当点在平行线之间时．

由折叠的性质得：，

，即，

，

，

，

，

，

，

解得：；

当点在下方时，

由折叠的性质得：，

，

，，

，

，

，

，

，解得：，

；

综上所述，的度数为或．

故答案为：或9.【答案】130；，理由见解析；拓展提高：【解析】（1）过点G作GLCD，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得EFGL，然后根据平行线的性质求解即可得；（2）过点G作GLCD，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得EFGL，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得；

拓展提高：过点P作PQ//AB，过点H作HKAB，先求出，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得.【解答】（1）如图，过点G作GLCD，

，GLCD，

（2），理由如下：

如图，过点G作GLCD，

又

拓展提高：如图，过点P作PQ//AB，过点H作HKAB，

，

即

10.【答案】见解析或或【解析】（1）过点作，根据平行线的性质证明，，根据，即可得出结论；（2）分三种情况进行讨论：当点在点左侧，点在点右侧时，当点在点左侧，点在点左侧时，当点在点左侧时，分别画出图形，进行求解即可．【解答】（1）解：过点作，如图所示：

则，

，

，

，

，

；（2）解：当点在点左侧，点在点右侧时，延长交于点，如图所示：

，

，

，

，

，

，

，

，

；

当点在点左侧，点在点左侧时，延长交于点，如图所示：

，

，

，

，

，

，

，

，

；

当点在点左侧时，延长交于点，如图所示：

，

，

，

，

，

，

，

；

综上分析可知：，与之间的数量关系为或或．11.【答案】见解析，证明见解析【解析】（1）得，由已知条件可得，再根据两直线平行，同旁

(1)过P作PK//AB.根据平行线的性质求解即可；（2）设，，由（1）得，由此条件可得，再根据两直线平行，向内角互补得到，求出，即可求解；（3）方法一：延长FQ交AB于点J，设，.根据平行线的性质，得到，再结合角平分线的定义，得到，，再根据（1）结论求解即可；方法二：连接EF，根据平行线的性质，得到，，从而得到，设，，根据角平分线的定义得到，，再根据（1）结论求解即可.

（1）证明：如图1，过P作PK//AB

（图1）

(2)解：设

由（1）得

(3)解：

证明：方法一：如图2，延长FQ交AB于点J，

（图2）

设

平分

平分

方法二：如图3，连接EF

（图3）

AB||CD

即

设，则，

平分

平分

【解答】此题暂无解答12.【答案】灯照射一次需要的时间是秒，灯照射一次需要的时间是秒秒或秒或秒【解析】（1）利用时间等于除以转动速度计算即可．（2）先求秒时，两光束各自转动的角度，再过点作，利用平行线的性质，求的度数即可．（3）设两灯开启的时间为秒，两灯的光束交点为．得到，

或或，解答即可．

本题考查了平行线的性质，垂直的定义，分类思想，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【解答】（1）解：由题意知，两灯照射一次，转动的角度均为，灯转动的速度是度／秒，灯转动的速度是度／秒，

所以灯照射一次需要的时间是（秒），

灯照射一次需要的时间是（秒）．（2）解：因为转动秒时，两光束恰好在点汇聚，

所以，．

如图①，过点作，

则有．

所以，．

所以，

所以．

（3）解：设两灯开启的时间为秒，两灯的光束交点为．

①当时，如图，过点作，

则有，

所以，．

因为两灯的光束互相垂直，所以，

解得；

②当，返回，第一次与垂直时，如图所示，

过点作，则有．

所以，，

因为两灯的光束互相垂直，所以，

解得；

③当，返回，第二次与垂直时，

过点作，则有．

所以，．

因为两灯的光束互相垂直，所以，解得．

综上所述，开启秒或秒或秒后，两灯的光束互相垂直．13.【答案】不变，是【解析】（1）根据平行得到，再由即可求解；（2）过点作，则，则，再由即可求解；（3）过点作，则，那么，，则，由角平分线可得，再相加即可求解．【解答】（1）解：，

，

；（2）解：过点作，

，

，

，，

，

，

，

；（3）解：不变，是，理由：

过点作，

，

，

，，

与的角平分线相交于点，

，

．14.【答案】两直线平行，同位角相等见解析见解析相等或互补【解析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求解；（2）根据两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等即可求解；（3）根据两直线平行，同位角相等和两直线平行，同旁内角互补即可求解；（4）根据①②③的论证即可求解．【解答】（1）解：，

，

，

，

，即，

“依据”是两直线平行，同位角相等；（2）解：说理过程：，

，

，

，

；（3）解：发现：，

说理过程：，

，

，

，

，；（4）解：根据①②得到如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系为相等；

根据③得到如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系为互补；

如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系为相等；相等或互补，

故答案为：相等或互补．15.【答案】，见解析；，见解析；【解析】（1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，即可求解；（2）根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的性质可得，即可求解；（3）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，，即可；（4）结合（2）（3）的结论可得出，根据平行线的性质以及角的和差关系可求，则，求出，即可求解。【解答】（1）解：,

,

又,

,

,

,

;（2）解：,

,

,

,

,

,

;（3）解：，理由如下：

,

,

,

,