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武汉大学2020-2021第一学期高等数学B1期末试卷A卷1、（9分）求极限:.2、（9分）已知曲线满足方程，求曲线在点处的法线方程.3、（10分）求由曲线所围成的图形的面积.4、（10分）（1）求齐次线性微分方程的通解；

（2）求该方程满足初始条件的特解.

（3）对于非齐次方程，用待定系数法给出特解的形式（无需求出其中的待定系数的数值）.5、（9分）求极限.6、（7分）求不定积分.7、（7分）设，计算反常积分.8、（7分）求极限:.9、（7分）等角螺线的极坐标方程为，在附近，其在直角坐标系下可由函数表示，试求以及.10、（7分）计算星形线的弧长，其中.11、（7分）计算函数的导函数；并讨论：是否存在，使得函数在区间内单调递增？说明理由.12、（6分）求解常微分方程：.13、（5分）设函数在区间上有连续的二阶导数，证明：至少存在一点使得

.

武汉大学2019-2020第一学期高等数学B1期末试卷A卷参考解答1、（9分）求极限.解： 5分 9分2、（9分）已知曲线满足方程，求曲线在点处的法线方程.解：对方程两边关于求导得：， 4分

代入解得. 7分

因此，法线的斜率为,在点处的法线方程为：. 9分3、（10分）求由曲线所围成的图形的面积.解：显然当时有，因此面积

5分

8分

10分4、（10分）（1）求齐次线性微分方程的通解；

（2）求该方程满足初始条件的特解.

（3）对于非齐次方程，用待定系数法给出特解的形式（无需求出其中的待定系数的数值）.解：(1)该微分方程的特征方程为：， 4分

它有特征根：故而该齐次线性微分方程的通解为： 6分（2）代入初值条件得方程组：，解得：，得微分方程的特解为：. 8分（3）特解的形式为：. 10分5、（9分）求极限.解： 5分 9分

6、（7分）求不定积分.解： 4分 7分7、（7分）设，计算反常积分.解： 3分 5分 7分8、（7分）求极限:.解： 3分

5分

7分9、（7分）等角螺线的极坐标方程为，在附近，其在直角坐标系下可由函数表示，试求以及.解：可以将方程改写成参数方程，则

4分

7分10、（7分）计算星形线的弧长，其中.解：曲线弧长 4分

7分11、（7分）计算函数的导函数；并讨论：是否存在，使得函数在区间内单调递增？说明理由.解：当时，，另一方面，

，因此 3分

对任意，取，显然且，代入可得：

，由于导函数在处连续，存在使得，且在区间内小于0，即有在区间单调递减，因此，不存在，使得函数在区间内单调递增. 7分12、（6分）求解常微分方程：.

解：显然是方程的特解；当时方程两边同除以的方程：

，

令，有，原方程就可化为如下线性方程： 3分

，用一阶线性微分方程的求解公式得： 6分13、（5分）设函数在区间上有连续的二阶导数，证明：至少存在一点使得.证明：令，由于在区间上有连续的二阶导数，因此在区间上有连续的三阶导数，取，由泰勒公式得：

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