商不变性质应用与探索（练习课）·四年级下册数学沪教版

商不变性质应用与探索（练习课）·四年级下册数学沪教版

一、教学背景与设计理念

本课时是学生初步建立“商不变性质”概念之后的深化与拓展阶段。在此之前，学生已经通过观察、比较，初步发现并表述了“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（零除外），商不变”这一规律。然而，从感性认识到理性运用之间存在着关键的“认知跨越”。传统的练习课往往陷入机械计算与重复操练的误区，忽略了性质背后深刻的数学思想及其在解决复杂问题中的工具性价值。

本设计秉持“以用促思，练中建联”的理念，立足于2022年版义务教育数学课程标准核心素养导向，旨在通过结构化的练习体系，将“三会”要求落地：

会用数学的眼光观察现实世界：引导学生从算式变形中看到不变的“商”，即透过变化的量捕捉不变的量，感悟变与不变的数学美学。

会用数学的思维思考现实世界：通过正向、逆向、开放的练习，引导学生经历“观察—猜想—验证—结论”的完整思维链，培养推理意识与严谨的逻辑思维能力。

会用数学的语言表达现实世界：鼓励学生用准确的数学语言（文字表述、字母公式、举例说明）描述规律，并解释其在简算中的合理性，提升数学交流与表达能力。

本课不仅是对单一知识点的巩固，更是以此为载体，培养学生结构化思维、转化思想以及模型意识的关键节点。我们将练习置于真实的计算情境与问题解决情境中，使性质成为学生主动调用的“思维工具”，而非需要死记硬背的“条文”。

二、教学目标

基于核心素养的层级递进，本课教学目标设定如下：

（一）基础性目标（指向知识掌握）

通过辨析与填空练习，进一步理解并熟记商不变性质的内涵，特别是对“同时”、“相同的数”、“零除外”这三个核心要件的精准把握。【基础】【重要】

能熟练运用商不变性质，将除数转化为整十、整百、整千数进行简便计算，提高运算能力与计算效率。【基础】【高频考点】

（二）发展性目标（指向能力与方法）

经历从具体算式到抽象规律的逆向与变式推理过程，能根据商不变性质推导出被除数或除数的变化，培养逆向思维与推理能力。【重要】【难点】

在解决有余数的除法简算以及实际生活问题（如购物、分配）的过程中，理解商不变性质的应用边界，特别是对余数变化的正确认知，发展思维的深刻性与批判性。【重要】【难点】

（三）高阶性目标（指向素养与视野）

通过构建“性质树”或思维导图，主动关联商不变性质与分数基本性质、比的基本性质，初步感悟数学知识体系的内在统一性与结构美，形成跨学科（数学内部知识域）的宏观视野。【非常重要】【拓展】

在小组共学与互评中，培养合作交流的习惯与反思质疑的意识。

三、教学重难点

教学重点：深化对商不变性质中“同时”、“相同”、“零除外”关键词的理解，并能将其灵活应用于各类计算与判断之中。【非常重要】【高频考点】

教学难点：

在应用商不变性质进行被除数、除数末尾有0的除法简算时，对余数变化的正确理解与处理。【难点】【易错点】

突破思维定势，能够在非标准形式的算式（如带有加减法、带有余数）中准确辨析性质是否适用。【难点】

四、教学准备

教师：多媒体课件（PPT），包含分层练习题的电子学习单，微课视频（讲解“余数的变化”）。

学生：常规练习本，四色反应牌（用于课堂快速判断），预习单（回顾性质的文字表述与字母公式）。

五、教学实施过程（核心环节）

（一）唤醒与激活——锚定知识的“锚”

教学实施：

1.口算热身，直击本质：

教师开门见山，课件快速闪现一组口算题，要求学生不计算，直接根据第一题的答案说出后面几题的结果，并用手势（伸手指表示商）快速反应。

出示：240÷60=4

2400÷600=？

240÷30=？（此处设计一个陷阱：除数变化，被除数不变）

120÷30=？

240÷60=（240÷2）÷（60÷2）=？→4

240÷60=（240×5）÷（60×□）=4→让学生猜□里的数

2.追问思辨，揭示课题：

当学生快速反应后，教师针对“240÷30”这一题进行追问：“刚才我们根据第一题商是4，很多同学立刻认为240÷30的商也是4，对吗？为什么不对？它违反了商不变性质中的哪一条？”

引导学生辨析：被除数不变，除数缩小，商反而扩大。从而再次明确商不变的前提是“被除数和除数同时变化”。

教师顺势揭题：看来大家对性质已经有了初步印象，但要真正让它成为我们的计算利器，还需要更深入、更灵活的练习。今天我们就来上一节“商不变性质的应用与探索”练习课。

【设计意图：此环节摒弃了简单的“背公式”导入，采用带有认知冲突的口算，快速扫描学生对性质的掌握情况，直击“同时变化”这一核心要件，为后续深层次练习做好认知铺垫。】

（二）辨析与内化——概念要素的深度解构

教学实施：

1.第一关：火眼金睛（判断并说理）——【重要】

课件出示一组辨析题，学生先独立判断，再用四色牌（红色对、绿色错）集体展示，并随机抽取学生进行“说理小法官”陈述。

题目设置：

（1）因为48÷12=4，所以(48×5)÷(12×5)=4。（√）——【基础】

（2）因为48÷12=4，所以(48÷4)÷(12÷4)=4。（√）——【基础】

（3）因为48÷12=4，所以(48×3)÷(12÷3)=4。（×）——强调“同时”且运算要“相同”（不能一个乘一个除）。

（4）因为48÷12=4，所以(48+10)÷(12+10)=4。（×）——强调必须是“乘或除”，不能是“加或减”，这是学生极易混淆的迷思概念。【高频易错点】

（5）因为48÷12=4，所以(48×0)÷(12×0)=4。（×）——重点讨论：为什么错？（因为除数为0，算式无意义），再次强化“零除外”的重要性。【非常重要】

2.第二关：神猜妙想（逆向推理）——【难点】

不计算，运用性质在□里填数，并说出思考过程。

（1）如果a÷b=30，那么(a÷5)÷(b÷5)=□。（引导学生：同时除以5，商不变，还是30）

（2）如果a÷b=30，那么(a×10)÷b=□。（制造冲突：这里除数没变，违反了性质，不能直接用性质，需要根据乘除法的关系推理——被除数乘10，除数不变，商也乘10，结果是300。通过对比，让学生明白性质使用的“条件性”。）

（3）两数相除的商是8，如果被除数乘2，除数除以2，这时商是多少？（提示：可以举例验证，如16÷2=8→32÷1=32，商扩大了4倍。从而引导学生推导：被除数乘2导致商乘2，除数除以2也导致商乘2，连续变化导致商乘4。）

【设计意图：本环节通过正反对比、变式辨析，将性质的关键词拆解开来逐一攻破。特别是逆向推理和条件变化的题目，打破了学生的思维定势，培养了他们根据运算关系进行逻辑推导的能力，使对性质的理解从“机械记忆”走向“意义建构”。】

（三）应用与深化——简算工具的价值体验

教学实施：

1.第三关：智算妙方（简便计算）——【重要】【高频考点】

教师引导：商不变性质不仅会“看”，更要会用。当除数不是整十、整百数时，我们往往计算很麻烦。你能利用性质把它们变得“友好”一点吗？

出示典型简算题组：

（1）350÷50（一眼能看出，口算，作为铺垫）

（2）700÷25【核心例题】

（3）3000÷125【核心例题】

（4）4250÷250

教学流程：

自主尝试：学生尝试用简便方法计算700÷25。

展示交流：预设学生可能出现的方法：

方法一：直接列竖式。

方法二：(700×4)÷(25×4)=2800÷100=28。

方法三：(700÷5)÷(25÷5)=140÷5=28。

方法四：700÷25=7×100÷25=7×4=28。（这种方法虽不是直接用性质，但体现了数的分解思想，应予以鼓励）

对比优化：引导学生对比方法二和方法三。提问：为什么有人选择“乘4”，有人选择“除以5”？你发现了什么秘诀？（乘4是为了凑100，除以5是为了将除数变成一位数，目的都是为了将除数变成整十、整百或一位数，使计算简便）。【非常重要】

迁移练习：独立完成3000÷125。提问：看到125，你会想到哪个数？（8，因为125×8=1000）。所以我们可以将被除数和除数同时乘8。

规范板书：选取一题（如3000÷125）进行规范板演，强调递等式的书写格式。

3000÷125

=(3000×8)÷(125×8)

=24000÷1000

=24

2.第四关：追根溯源（有余数的除法）——【难点】【易错点】

创设情境：班级开展读书活动，王老师带了930元去买书，每套书50元，可以买多少套？还剩多少元？

列式：930÷50。

常规计算：学生列竖式计算，得到93÷5=18（套）……3（元）？但实际是930÷50，如果利用商不变性质，我们同时除以10，变成93÷5，商18，余3。这个余3到底表示3元还是30元？

小组辩论：分成正反两方进行辩论。

引导探究：利用“商×除数+余数=被除数”进行验算。18×50+3=900+3=903≠930，说明余数不是3；18×50+30=900+30=930，余数应该是30。

得出结论：在应用商不变性质进行简算时，商不变，但余数发生了变化——余数也随着被除数和除数同时乘或除以了那个相同的数。要想得到原来的余数，必须把简化后的余数“还原”回去（即乘以或除以相同的数）。【非常重要】

跟进练习：6700÷200=？学生独立完成，重点检查余数的处理。

【设计意图：简便计算环节是性质应用的核心，通过典型题组，引导学生从“凑整”的角度主动构造“相同的数”，体验转化思想。而有余数除法的处理是本课的制高点，通过制造认知冲突、验算反证，让学生深刻理解性质应用的局限性，培养严谨、全面的数学思维。】

（四）拓展与联结——从“一”到“类”的视野提升

教学实施：

1.第五关：纵横联通（寻找“亲戚”）——【拓展】【非常重要】

教师设问：同学们，商不变性质就像孙悟空，不仅自己能72变，它还有好多孪生兄弟。想一想，在我们学过的知识中，或者即将要学的知识中，哪里还藏着“变中不变”的思想？

引导学生回忆与联想：

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（零除外），分数的大小不变。

（教师引导：除法、分数、比本就是“一家人”。除法中的被除数相当于分数的分子、比的前项；除数相当于分数的分母、比的后项；商相当于分数值、比值。）

比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（零除外），比值不变。

2.思维导图初建：

师生共同在黑板一角构建“性质树”：

树根：商不变性质

树干：同时乘或除以相同数（0除外）

树枝1：除法简算（凑整）

树枝2：分数基本性质（约分、通分）

树枝3：比的基本性质（化简比）

教师总结：数学就是这样，很多知识都是相通的。掌握了商不变性质，你就拿到了打开分数和比这两扇大门的钥匙之一。

3.终极挑战（机动）：

用简便方法计算：44444÷25（提示：观察数字特点，可以考虑乘以4）

【设计意图：跳出知识点本身，将商不变性质置于整个数与代数的知识网络中，帮助学生建立结构化的认知体系。这不仅是知识的回顾，更是学习方法的渗透——学会联想、学会类比、学会总结。这种跨单元、跨年级的联结，正是核心素养中“高迁移”能力的体现。】

六、教学反思与重建

本课时的教学设计，力图改变练习课“刷题”的刻板印象，通过五层递进的闯关活动，将思维训练、技能培养与素养提升融为一体。在教学实施后，预计学生将在以下方面获得显著发展：

概念的精准性：不再只是背诵“同时乘除”，而是能敏锐地辨析“加减”、“不同时”等干扰项。

应用的灵活性：能从“为了简算而凑整”的被动应用，逐步走向根据数据特征主动构造“相同倍数”的主动应用。

思维的深刻性：对余数的处理从“死记硬背”到“理解性掌握”，初步形成检验和反思的习惯。

视野的开阔性：初步感知数学知识的内在统一性，为后续学习分数和比埋下伏笔，激发了探究欲望。

后续重建方向：在练习设计中，可进一步增加“开放性”与“项目化”元素，例如设计一个“装修预算”的项目，让学生在运用商不变性质进行大量数据计算中，感受其实际价值，真正实现“学以致用”。

七、板书设计

商不变性质应用与探索（练习课）

一、核心法则：