福建省福州教育学院附属中学高三12月月考数学（文）试题

2017年福州教院附中高三第三次月考数学（文科）试题班级：座号：姓名：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）若集合，则A.B.C.D.在中，角所对的边分别为，那么是的条件．A.充分且必要B.充分不必要C.必要不充分D.不充分且不必要若复数在复平面内对应的点关于x轴对称，且，则A.B.C.D.函数图象的一个对称中心为A.B.C.D.双曲线的两条渐近线夹角是A.B.C.D.设是等差数列，，则这个数列的前8项和等于A.12B.24C.36D.48设，则的大小关系是A.B.C.D.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.B.C.D.2

函数的大致图象是A.B.C.D.在中，分别为三个内角A、B、C所对的，若，则的面积为A.B.C.D.椭圆的中心在原点，分别为左、右焦点，分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率等于A.B.C.D.已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知向量与的夹角为，且，则______．设变量满足条件，则目标函数的最小值为______．已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C被直线所截得的弦长为4，则圆C的标准方程为__________________．底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为__________．三、解答题（本大题共7小题，共70分） 设三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且其中角B为锐角．求B的大小；求的取值范围．已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且求数列和的通项公式求前n项和在四棱锥中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点底面为BE的中点．Ⅰ求证：平面ACF；Ⅱ求证：；Ⅲ若，求三棱锥的体积．

已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点F在抛物线的准线上，且椭圆C过点，直线与椭圆C交于两个不同点．求椭圆C的方程；若直线的斜率为，且不过点P，设直线的斜率分别为，求证：为定值．已知函数．Ⅰ若函数的最小值为0，求a的值；Ⅱ设，求函数的单调区间；Ⅲ设函数与函数的图象的一个公共点为P，若过点P有且仅有一条公切线，求点P的坐标及实数a的值．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为与C交于A、B两点．Ⅰ求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；Ⅱ设点，求的值．已知函数Ⅰ当时，解关于x的不等式Ⅱ若函数存在零点，求实数a的取值范围．（稿纸）

【答案】1.C

2.A

3.B

4.C

5.B

6.D

7.B

8.C

9.D

10.B

11.D

12.A

13.14.15.16.17.解：由根据正弦定理，得，故．因为角B为锐角，故分分，故．故的取值范围是分18.解：，，，又，；分，，；分19.证明：Ⅰ连接由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．又F为BE的中点，．又面面ACF，平面分由底面底面ABCD，，由ABCD是正方形可知，，又、平面ACE，平面ACE，又平面ACE，分解：取BC中G，连结FG，在四棱锥中，底面ABCD，是的中位线，底面ABCD，，三棱锥的体积．分20.解：抛物线的准线方程为，由题意知．故设椭圆C的方程为．则由题意可得，解得．故椭圆C的方程为．分证明：直线的斜率为，且不过点，可设直线．联立方程组，消y得又设，故有，所以，所以为定值0．分21.解：Ⅰ，，时，，函数在递增，无最小值，时，，令，解得：，令，解得：，函数在递减，在递增，故函数在处取得最小值，，解得：；分Ⅱ，，当时，，定义域内递增；当时，令或，当时，定义域内递增；当时，当时，函数的增区间为，减区间为；

当时，函数的增区间为，减区间为；当时，定义域内递增．分Ⅲ符合题意，理由如下：此时设函数与上公共点，依题意有，即得到，构造函数，可得函数在递增，在递减，而方程有唯一解，即分22.解：Ⅰ曲线C的参数方程为为参数，普通方程为C：；直线l的极坐标方程为，即：

分Ⅱ点在l上，l的参数方程为为参数代入整理得，，由题意可得

分23.解：Ⅰ当时，不等式可化为或或分解得或，不等式的解集为或分Ⅱ若函数存在零点，则，，解得．分【解析】1.解：由A中不等式变形得：，解得：，即，，，故选：C．求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的并集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.解：在三角形中，若，由正弦定理，得．若，则正弦定理，得，所以，是的充要条件．故选：A在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键．3.解：，又复数在复平面内对应的点关于x轴对称，，则．故选：B．由已知求得，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.解：令，可得对称中心为，，对称中心为，故选：C．由题意，令，可得对称中心为，即可得出结论．本题考查正弦函数的对称中心，体现了转化的数学思想，比较基础．5.解：双曲线的两条渐近线的方程为：，所对应的直线的倾斜角分别为，双曲线的两条渐近线的夹角为，故选B．由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角．本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．6.解：是等差数列，，，解得，又，，则这个数列的前8项和．故选：D．利用等差数列的性质、求和公式即可得出．本题考查了等差数列的性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.解：由于，故有，故选B．根据，从而得到的大小关系．本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，属于基础题．8.解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，也可以看成是一个半圆柱与三棱柱的组合体，其底面面积，高，故几何体的体积，故选：C由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，棱柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题．9.解：由题意，，排除B，，排除A，，排除C，故选D．利用排除法，即可得出结论．本题考查函数的图象，考查排除法的运用，比较基础．10.解：在中由正弦定理可知：，由，则，，由余弦定理可知：，即，解得，的面积，故选：B．由题意和正余弦定理可得的值，由同角三角函数的基本关系可得，代入三角形的面积公式计算可得．本题考查三角形的面积，涉及正余弦定理的应用，属基础题．11.解：如图所示，把代入椭圆方程，可得，又，，，化为：．，即．故选：D由已知可得，又，由，得，化为，即可求解．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.解：函数在上是增函数，可得：，解得：．故选：A．利用函数的单调性，列出不等式组，求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查计算能力．13.解：；又；．故答案为：．可先求出，从而根据即可求出数量积的值．考查根据向量坐标求向量长度的方法，以及数量积的计算公式．14.解：由得作出不等式组，对应的平面区域如图阴影部分：平移直线，由图象可知当直线，过点A时，直线的截距最大，此时z最小，由，解得．代入目标函数，得，目标函数的最小值是，故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．15.解：令得，所以直线，与x轴的交点为所以圆心到直线的距离等于，因为圆C被直线所截得的弦长为4，所以所以圆C的方程为；故答案为：．欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆C的圆心是直线与x轴的交点，求出圆心；圆C被直线所截得的弦长为4，求出半径，即可求出圆C的方程．本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．16.解：正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，或此时O在的延长线上，在中，得球的表面积故答案为：．画出图形，正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为O，求出，解出球的半径，求出球的表面积．本题考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力，是基础题．17.由根据正弦定理，得，进而得出．利用和差公式、三角函数的单调性即可得出．本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.根据等差数列与等比数列的概念即可分别求出公差与公比，从而求出通项公式；，利用错位相减即可求出前n项和；本题考察了等差数列与等比数列的概念，以及利用错位相减求特殊数列的前n项和，属于中档题．19.Ⅰ利用线面平行的判定定理证明平面ACF；Ⅱ利用线面垂直的判定定理先证明平面ACE，然后利用线面垂直的性质证明；Ⅲ取BC中G，连结FG，推导出底面ABCD，由此能求出三棱锥的体积．本题主要考查了空间直线和平面垂直的判定定理和性质定理的应用，要求熟练掌握相应的定理，是中档题．20.求出抛物线的准线方程为，推出，故设椭圆C的方程为点在椭圆上，列出方程组求解可得椭圆C的方程．直线的斜率为，且不过点，设直线联立方程组，消y，设，利用判别式以及韦达定理，表示，推出定值．本题考查抛物线以及椭圆的位置关系的综合应用，直线与椭圆的位置关系的应用，定值问题的处理方法，考查计算能力．21.Ⅰ函数整理为，求导，由题意可知，函数的最小值应在极值点处取得，令，代入求解即可；Ⅱ函数整理为，求导得，对参数a进行分类讨论，逐一求出单调区间；Ⅲ设出公共点坐标的坐标，求出坐标间的关系，得到，通过讨论函