沪教版六年级数学“数的整除”大单元视角下分解素因数深时教学案

沪教版六年级数学“数的整除”大单元视角下分解素因数深时教学案

一、教学背景与设计基石

（一）学科定位与学情锁定

本教学案锁定为九年义务教育阶段五四学制六年级第一学期（初中预备年级），学科为数学，具体定位在“数与代数”领域中“数的整除”这一核心知识模块。学生正处于由算术思维向初等数论初步思维过渡的关键期，在认知储备上已完成正整数、整除、因数与倍数的学习，能够熟练进行四则运算。然而，六年级学生的思维特征仍以经验型抽象逻辑思维为主，对于“素数”这一通过“因数个数”这一二阶属性定义的抽象概念，极易与以“能否被2整除”定义的“奇数/偶数”发生混淆。本设计精准锚定此认知冲突点，以大概念教学为统摄，旨在帮助学生完成数概念的一次重要形式化提升。

（二）教材位置与课标解码

本内容对应沪教版（五四制）六年级第一学期第一章“数的整除”第1.4节《素数、合数与分解素因数》第二课时，亦可作为单元整合教学的核心探究课。依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第三学段（5~6年级）要求，本内容不仅承载“认识质数、合数，会用短除法分解质因数”的具体技能目标，更承担着培养“抽象能力”、“推理意识”以及“结构化思维”的核心素养任务。课标强调“内容结构化”，本设计将分解素因数置于整个数论大厦的地基位置——它是后续求最大公因数、最小公倍数的算法基础，更是初中阶段学习约分、通分乃至二次根式化简的算理源头。

（三）【核心素养指向】

本设计全程贯穿三大核心素养导向：

1.抽象能力：从具体整数的因数列表，抽象出素数、合数的本质属性（因数的个数）；

2.推理意识：基于分解素因数的唯一性（算术基本定理），推导一个数的因数个数、进行应用问题建模；

3.模型观念：将“分组问题”、“面积问题”转化为求公因数或分解素因数的数学模型。

二、教学目标与层级指标

（一）【基础·全员必达】

1.理解素因数、分解素因数的意义，能准确区分“因数”与“素因数”；

2.掌握用短除法分解合数（100以内）的规范格式，做到除到商为素数为止，书写格式无误；

3.能根据分解结果说出一个合数含有哪些素因数及相应指数。

（二）【重要·发展性目标】

1.经历从“树枝法”到“短除法”的算法优化过程，体会算法多样化与最优化；

2.能运用分解素因数解决简单的实际应用问题（如长方形面积与边长、分组问题）；

3.通过辨析“素数与奇数”“合数与偶数”，形成批判性思维，完善数概念认知结构。

（三）【核心·高阶拓展目标】

1.初步感悟算术基本定理（整数的唯一分解定理），能用分解素因数的方法解释“为什么1不是素数”；

2.经历数学化的过程，将生活情境中的整除问题抽象为数论模型，培养跨情境迁移能力；

3.通过“哥德巴赫猜想”史料阅读与无暇素数探究，感受数学文化的魅力与数论研究的人文温度。

三、教学重难点及突破策略

（一）【教学重点·高频考点】

1.用短除法分解素因数（必考技能，占本章考查权重60%以上）；

2.素因数与因数的辨析（填空、选择高频陷阱题）；

3.将合数写成标准分解式（按素因数从小到大排列，指数形式初步渗透）。

（二）【教学难点·深层障碍】

1.【难点1】概念层面的固着点：为何“1”不是素数也不是合数？为何“2”是唯一的偶素数？

——突破策略：采用“因数个数”唯一标准，通过韦恩图进行正整数分类的结构化图示。

2.【难点2】技能层面的易错点：短除法除到不彻底（商为合数即停止）；选取除数不是素数（如用4去除）。

——突破策略：实施“商哨机制”，每步除完后必须问“商是素数吗？”；建立“除数检验”习惯，左除数必须来自素数表。

3.【难点3】思维层面的混淆点：分解素因数与分解因数的异同。

——突破策略：对比教学，同时呈现“12=3×4”与“12=2×2×3”，引导学生辨析“谁在终点站下了车”。

四、教学实施过程（深时学习范式，约65分钟长课时或两课时连排）

（一）【激活·认知冲突】——概念精准锁门（约10分钟）

1.前测与反例冲击

教师出示整数集合：2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，23，25，27，29，31，37，41，43，47。

指令：“请用‘因数个数’这把尺子，将这些数分成两类。你认为可以分成哪两类？”

学生独立分类后小组交流，典型分法呈现：

1.2.分法A：2个因数的/多于2个因数的；

2.3.分法B：奇数的/偶数的（错误分类，教师暂不纠正）；

3.4.分法C：能写成两个数相乘的/不能的（朴素分类）。

5.【概念建构·基础】素数/合数定义的精准锁定

教师借住学生分法A，正式锚定定义：

1.6.素数（质数）：只有1和它本身两个因数的正整数。【重要·定义基石】

2.7.合数：除了1和它本身，还有其他（至少一个）因数的正整数。【重要·定义基石】

3.8.特殊数1：只有一个因数（1本身），既不属于素数也不属于合数。【必考·高频易错】

即时辨析：【热点·必考题】“所有的奇数都是素数，所有的偶数都是合数”这句话对吗？请用反例击破。

学生举反例：9是奇数但是合数；2是偶数但是素数。

教师升华：两类分类标准——按“能否被2整除”得奇数/偶数；按“因数个数”得素数/合数/1。两种分类是正交的十字坐标系。

（二）【探究·算法发生】——从因数分解到素因数分解（约12分钟）

1.问题驱动：合数的“基因测序”

教师呈现合数“6、30、28”，提问：“你能把它们写成尽可能多的整数相乘的形式吗？”

学生板书：6=1×6=2×3；30=1×30=2×15=3×10=5×6；28=1×28=2×14=4×7。

追问：“在这些乘法算式中，哪个算式里的乘数都是‘拆不动’的？”（学生回答：2和3，2和15中的2和3和5，4和7中的7是素数但4还能拆）

2.【核心概念生成·基础】素因数定义

教师提炼：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式。这里的每个素数，叫做这个合数的素因数（质因数）。【必考·填空】

把合数用素因数相乘表示出来，叫做分解素因数。【核心行为动词】

3.历史浸润与跨学科链接（数学史视角）

教师简介：“2000多年前，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中证明了，任何一个大于1的整数，要么本身是素数，要么可以唯一地写成几个素数的乘积。这是数论的基石，称为算术基本定理。”【跨学科视野·数学文化】

此处渗透唯一性思想，为后续最大公因数、最小公倍数的“独看法则”埋下伏笔。

（三）【建模·技能建构】——短除法的形式化与程序化（约20分钟）

1.对比优化：从“树枝法”到“短除法”

出示48，要求学生分解素因数。

1.2.策略1（树枝法）：48=6×8=（2×3）×（2×4）=（2×3）×2×（2×2）=2×2×2×2×3。【基础】

2.3.策略2（逐级口算）：先用2除，得24；再用2除，得12；再用2除，得6；再用2除，得3；3是素数，停。

教师将策略2竖式格式化，引出短除法规范格式。【核心技能·高频考点·必考】

4.短除法“三阶规范”教学（步骤化、可视化）

【第一阶】：格式定型。

板书标准模板：以60为例。

2|60

2|30

3|15

——|——

5

规范要求：除号像倒“L”，除数写在左侧且必须是素数，每次除得的商写在下方，一直除到商是素数为止。

【第二阶】：书写标准化。

最终分解式必须写成：60=2×2×3×5。

【非常重要·考试采分点】：

（1）必须用乘号连接，不能用点或省略；

（2）因数必须按从小到大顺序排列；

（3）同级素因数可合并为指数形式（渗透但不强制）：60=2²×3×5。

【第三阶】：验算习惯。

倒乘法验算：把右侧和底部的素数连乘，看是否得回原数；检查每个左侧除数及余商是否均为素数。

5.【难点粉碎】易错点集中诊疗

出示学生常见错例进行“找茬”：

错例A：4|48错例B：2|24

2|122|12

2|62|6

——|————|——

33

诊断：错例A用合数4做除数，违规；错例B虽结果对，但第一次应用2去除24，第二步又用2去除12，第三步还用2去除6——虽可，但浪费步数，建议直接用最大的素数因数去试，但初学阶段鼓励规范逐级用最小素数除。

纠错策略：建立“除数准入制”——写除数前先默背20以内素数表，只允许2,3,5,7,11,13...进入除数位置。

6.分层练习与即时反馈（组内互评）

练习A（保底）：用短除法分解35、56、72。【基础·全员过关】

练习B（提速）：分解84、144，并尝试用指数形式表示。【重要·中位提升】

练习C（挑战）：用短除法分解231（引导学生发现231÷3=77，77÷7=11，素因数3、7、11）。【思维拓展】

组内交换批改，重点检查“除数是否是素数”“商除净了没有”“连乘式是否还原”。

（四）【思辨·概念清障】——因数与素因数、1的身份大讨论（约10分钟）

1.概念辨析【高频考点·必考选择/判断】

呈现选择题：

“在等式24=2×12中，2和12都是24的（）；在等式24=2×2×2×3中，2和3都是24的（）。”

A.因数B.素因数C.倍数D.合数

通过此题厘清：因数的集合包含1、合数因数、素数因数；素因数是因数集合中的“素数子集”。【逻辑层次】

2.【难点攻克】为什么“1”被排除在素数之外？

采用反证法：如果1是素数，那么6=2×3，也可以写成6=1×2×3，还可以写成1×1×2×3……分解结果不唯一，破坏了算术基本定理的“唯一性”。因此，数学共同体规定1不是素数。【深层理解·大概念锚固】

（五）【应用·问题建模】——分解素因数的跨情境迁移（约13分钟）

1.模型一：长方形面积与边长问题（几何背景）

题目：面积为72平方厘米的长方形，长和宽都是大于1的整数，且长和宽都是合数。求这个长方形的周长可能有多少种？【热点·应用】

解决路径：72=2³×3²。

长宽配对：（8，9）周长34；（12，6）周长36；（18，4）周长44；（24，3）排除，3是素数；（36，2）排除，2是素数。共3种。

模型价值：将“合数”条件翻译为素因数分配时，两个因数都不能是素数。

2.模型二：分组问题（公因数前置渗透）

题目：把24本数学练习本和36本英语练习本平均分给若干个小组，每个小组得到的两种练习本数量分别相等，最多可以分给几个小组？

解决路径：本质上求24和36的最大公因数。用短除法分别分解24=2³×3，36=2²×3²，公有部分2²×3=12。

此处仅作渗透，让学生感悟：分解素因数是求最大公因数的“前置芯片”。为下一节课做认知铺垫。

3.模型三：数字谜题与数论推理（培优）

【拓展·高阶】已知A=2×3×a，B=2×5×b，且A、B的最大公因数是10，最小公倍数是210，求a、b的值。

此题为学有余力者设计，需结合分解式的唯一性进行推理。

（六）【内化·元认知监控】——课堂小结与概念图谱编织（约5分钟）

1.师生共建思维导图（语言叙述）

以“正整数”为根，分三支：1、素数、合数。合数通过“短除法”这一工具，被“解剖”成素因数的连乘。这个分解式既揭示了数的内部结构，又是后续学习的万能钥匙。

2.【重要·必记口诀】教师原创短除法操作口诀：

“短除号，倒L架；左侧只把素数挂。

除到商是素数罢；连乘还原别落大。

从小到大排好队；指数写法顶呱呱。”

五、知识点全息罗列与考点标注

【模块A：概念发生层】

1.素数的定义：只有1和本身两个因数。【基础】【必考·选择第一题】

2.合数的定义：除了1和本身还有别的因数（至少3个因数）。【基础】【必考】

3.特殊的1：既不是素数也不是合数。【重要】【高频易错·填空】

4.正整数按因数个数分类的三分法：1，素数，合数。【基础】

5.20以内的素数表（2,3,5,7,11,13,17,19）。【基础】【必背】【高频口算】

6.最小的素数是2，最小的合数是4，唯一的偶素数是2。【重要】【高频填空】

【模块B：技能操作层】

7.素因数的定义：是因数，且这个因数是素数。【基础】【概念辨析】

8.分解素因数的定义：把一个合数写成素因数相乘的形式。【核心定义】

9.树枝分解法（树形图）：适用于小数，直观展示分叉过程。【基础】

10.短除法分解步骤（核心技能）：【非常重要】【高频考点·大题】

（1）写短除号，合数被除数在内；

（2）用能整除的素数（最小开始）作除数，商写在下方；

（3）商若是合数，继续除，直到商为素数；

（4）把所有除数和最后的商连乘。

11.短除法格式规范：除数左侧，商下位，横线齐平。【重要】【考试扣分重灾区】

12.分解式的书写规范：合数=素数×素数×...（从小到大）。【必考】【规范分】

13.指数形式的初步认识：相同素因数合并为幂的形式（如12=2²×3）。【拓展】

14.用计算器辅助分解大数：试商法结合素数表。【工具素养】

【模块C：思辨与应用层】

15.素数与奇数的包含关系：奇数包含素数及合奇数（9、15等）；素数包含奇素数及偶素数2。【难点】【热点】

16.合数与偶数的包含关系：偶数包含合偶数及素数2。【难点】【高频判断】

17.分解素因数与分解因数的区别：分解因数到任意因数为终点；分解素因数必须到全是素数终点。【核心辨析】

18.分解素因数的应用：长方形的边长组合、分组问题、数字排列、密码学初步。【热点】

19.算术基本定理的感性认识：大于1的整数分解素因数形式唯一（不计顺序）。【大概念】

【模块D：拓展与挑战层】（供分层教学选用）

20.无暇素数：两位素数，十位与个位互换后仍是素数（如13与31）。【趣味】【跨单元】

21.哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数可表示为两个素数之和（如100=3+97）。【文化素养】

22.辗转相除法与短除法的关联：当数字较大时求最大公因数的前置算法。【学术拓展】

六、作业设计与评价反馈

（一）【基础性作业】（必做，约15分钟）

1.用短除法分解下列各数：36、54、75、105。要求书写工整，符合规范，结果写成从小到大连乘形式。【技能巩固】

2.填空题：（1）最小的合数与最小的素数