沪科版九年级数学下册“树状图法求概率”教案

沪科版九年级数学下册“树状图法求概率”教案

一、教学内容分析

概率论是现代数学的重要分支，而树状图法是求解复杂等可能事件概率的有效工具，在初中概率教学中处于承上启下的关键位置。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本课隶属于“统计与概率”领域，要求学生“能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，从而求简单事件的概率”。这不仅是一个技能性目标，更蕴含着发展学生“数据观念”和“模型意识”的核心素养要求。知识技能上，学生需从已学的直接列举法和简单列表法过渡到用树状图系统、无遗漏、不重复地分析涉及两步及两步以上步骤的随机事件，建立“步骤—等可能性—有序列举”的认知链条。过程方法上，本课是引导学生从具体操作（画图）到抽象思维（建模）的典型范例，强调“有序思考”和“符号化”思想的渗透。素养价值方面，通过解决实际情境中的概率问题，培养学生的随机观念和应用意识，理解数学与外部世界的联系，使其学会理性分析不确定现象。

学生已掌握随机事件、概率的意义及简单古典概型的直接计算，具备初步的列举能力。然而，面临步骤增多或情况复杂的问题时，学生普遍存在列举混乱、遗漏或重复的思维障碍，这正是从“直觉枚举”到“系统建模”的认知跨越点。本课难点在于引导学生理解为何要“分步”以及如何确保列举的“有序性”。因此，教学将通过创设渐进式问题情境，让学生在尝试与对比中自发感受到原有方法的局限，从而内化树状图法的必要性。在过程评估中，我将设计“试一试”环节，观察学生面对新问题的初次策略选择，并即时点评其列举过程的逻辑性。针对思维跳跃性强的学生，将引导其反思列举过程是否清晰可循；对于需要更多支持的学生，则提供带有步骤提示的“半结构化”树状图模板，帮助其搭建思维脚手架，实现差异化推进。

二、教学目标

1.知识目标：学生能准确说出树状图法的适用情境（多步等可能事件），理解其“分步、放回、有序展开”的操作原理。学生能独立、规范地画出两步或三步随机试验的树状图，并能根据树状图准确计算指定事件的概率，尤其关注总等可能结果数与事件发生结果数的确定。

2.能力目标：学生能够从实际情境中抽象出“分步试验”模型，并选择树状图作为分析工具。在解决稍复杂概率问题的过程中，学生能够展现清晰的逻辑推理和有条理的表达能力，从“会画图”发展到“会用图分析问题”。

3.情感态度与价值观目标：在探究树状图优越性的过程中，学生能体会数学方法的简洁美与逻辑力量，增强学习数学的兴趣和信心。通过小组合作与交流，培养严谨求实、合作分享的科学态度。

4.科学思维目标：重点发展学生的模型化思维和有序思维。引导学生经历“实际问题→数学抽象（分步模型）→方法建构（画树状图）→求解验证→回归解释”的完整建模过程，强化程序化思考问题的意识。

5.评价与元认知目标：学生能依据“列举是否有序、结果是否等可能、计算是否准确”等标准，对同伴或自己的解题过程进行初步评价。能反思在何种情境下选择列表法或树状图法更为合适，逐步形成方法选择的策略性认知。

三、教学重点与难点

教学重点是树状图的规范画法及其在求解两步及两步以上等可能事件概率中的应用。确立依据在于，树状图法是课标明确要求掌握的核心技能，是沟通直观列举与抽象概率计算的桥梁，也是后续学习更复杂概率问题（如非等可能、条件概率的直观理解）的重要基础。从能力立意看，中考中涉及概率的题目常以实际问题为背景，考查学生运用树状图或列表法分析问题的能力，此为重点高频考点。

教学难点在于学生自主建构树状图模型，并理解其“分步、等可能、有序”的内在逻辑。成因在于，学生的思维从单一步骤到多个步骤的跨越存在认知负荷，且容易混淆“步骤”与“类别”。常见错误如在“不放回”抽取问题中误认为每一步的选择结果数相同，或在画图时顺序混乱导致重复遗漏。突破方向在于，设计从简单到复杂的对比性问题链，让学生在“碰壁”与“优化”中亲身体验树状图的结构化优势，并通过关键设问（如“第一步有几种可能？每种可能下，第二步又有几种可能？”）引导其思维逐步程序化。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式白板课件，内含动态树状图生成演示；实物道具（两个不同颜色的乒乓球，一个不透明袋子）。

1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含基础练习、变式探究、自我反思区）；经典错误案例集（用于巩固环节分析）。

2.学生准备

2.1知识预备：复习古典概型概率公式及简单事件的列举方法。

2.2学具：草稿纸、彩笔（用于绘制和标注树状图）。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设与认知冲突：“同学们，假设我们班要派出一支两人小队参加学校的知识竞赛，决定通过抽签在A、B、C三位种子选手中随机产生。先抽第一人，不放回，再抽第二人。请问，最终抽中A和B这两位同学的概率是多少？”

2.暴露原知与提出挑战：给予学生1分钟独立思考或简单交流。预计部分学生会尝试直接列举，但可能感觉情况较多，容易混乱。教师追问：“如果候选人变成5位呢？你还能快速、清晰地列出所有可能吗？”此时，学生将普遍感受到原有方法的局限性。

3.引出课题与明确路径：“当随机事件涉及多个步骤时，我们需要一个像‘地图’一样的工具，帮我们清晰、完整地画出所有可能的路径。今天，我们就来学习这个强大的工具——树状图法。我们将从最简单的‘两步放回’问题出发，掌握画法，再挑战‘不放回’等复杂情境，最后用它来解决像抽签组队这样的实际问题。”

第二、新授环节

###任务一：初探树状图——从“抛硬币”到“两步摸球”

教师活动：首先回顾简单事件：“抛一枚均匀硬币，有几种等可能结果？”接着升级问题：“如果连续抛两枚硬币（或一枚硬币抛两次），出现‘一正一反’的概率是多少？”不急于讲解方法，而是引导学生：“大家先别算，想想所有可能的结果有哪些？试着写出来。”巡视中，关注学生是写出（正，反）还是（反，正），是否意识到顺序。然后，教师在白板上示范画树状图：第一层画两个分支，分别标“正”、“反”，代表第一次抛掷；从每个分支末端再分别画出两个分支，标出第二次抛掷的结果。边画边说：“看，我们把第一次的结果作为‘树干’，从它‘生长’出第二次的所有可能，像一棵倒长的树。这就是树状图。”随后，引导学生从图中找出所有4种等可能结果，并圈出“一正一反”的两种路径（正反、反正），计算概率P=2/4=1/2。

学生活动：独立思考并尝试列举连续抛掷两次硬币的所有结果。观察教师示范，理解树状图“分步展开”的画法。跟随教师引导，在任务单上模仿画出该问题的树状图，并从中数出总结果数和目标结果数，完成概率计算。

即时评价标准：

1.能否理解树状图第一层与第二层分别对应哪一次试验。

2.画图时，分支的展开是否清晰、有序。

3.能否正确地从图形中读取信息，区分不同的路径。

形成知识、思维、方法清单：

★树状图的基本结构：树状图是一种利用分层分支来列举所有可能结果的图形工具。第一层通常对应第一步试验，后面的每一层对应后续的步骤。

▲“有序”是关键：在树状图中，顺序很重要。（第一次正，第二次反）和（第一次反，第二次正）是两条不同的路径，代表两种不同的结果。

★计算概率的步骤：①列出所有等可能结果（数出最后端的“叶子”数，即总情况数n）；②找出事件包含的结果（数出满足条件的“叶子”数m）；③计算概率P(A)=m/n。

###任务二：理解“等可能”前提——规范画法与步骤抽象

教师活动：呈现新情境：“一个袋子中装有红、黄两个除颜色外完全相同的球，随机摸出一个，记下颜色后放回袋子，摇匀后再摸出一个。求两次摸到相同颜色的概率。”提问引导：“这个问题分几步？每一步是什么？每一步的结果是等可能的吗？”请一位学生上台尝试画树状图。之后，教师进行规范化板书：明确写出“第一步：摸球”、“第二步：摸球”，用字母或文字规范标注分支。强调“因为放回，所以第一步的每种情况对应的第二步，其可能结果都一样多。”完成计算后，追问：“如果不放回，树状图会有什么变化？”不解答，留作悬念。

学生活动：在教师引导下，分析问题中的步骤与等可能性。观察同伴板演，并对照规范画法修正自己的理解。在任务单上独立完成“放回”情景的树状图和计算。思考教师提出的“不放回”变化问题。

即时评价标准：

1.能否清晰地将实际问题分解为明确的步骤。

2.画图时能否规范标注步骤和结果。

3.是否能注意到“放回”这一条件对第二步分支的影响。

形成知识、思维、方法清单：

★画树状图的三要素：1.定步骤：明确试验分几步进行。2.画分支：每一步有几个等可能结果就画几个分支。3.标结果：在分支上写出对应结果，末端写出最终情况。

★“放回”与“等可能”：放回确保每次试验的条件相同，因此从任何上层分支出发，下一层的可能结果数都相同，树状图是对称的。

★模型抽象思维：面对概率问题，首先将其抽象为“分步试验模型”，这是选择树状图法的前提。

###任务三：对比深化——探究“不放回”情境

教师活动：承接上一任务的问题：“现在，我们改为摸出一个球不放回，再摸第二个球。树状图该怎么画？概率还是刚才那个值吗？”组织学生四人小组合作探究。巡视指导，重点关注学生是否发现第二步分支数依赖于第一步的结果（例如，若第一次摸红，则第二次只能摸黄）。小组汇报后，教师利用白板动态演示：先画出第一层的“红”、“黄”；从“红”分支末端画出第二次的分支，此时只剩“黄”球，故只有一个分支“黄”；从“黄”分支末端同理画出“红”。对比“放回”与“不放回”两棵树，引导学生总结差异。

学生活动：进行小组合作，尝试画出“不放回”摸球的树状图。通过画图，直观感受第二步分支数的变化，并与“放回”情景进行对比、讨论。小组代表分享发现和最终计算结果。

即时评价标准：

1.合作探究时，能否围绕“第二步分支有何不同”展开有效讨论。

2.能否正确画出不对称的“不放回”树状图。

3.能否通过对比，口头表述两种情境的本质区别。

形成知识、思维、方法清单：

★“不放回”的影响：在不放回试验中，每一步的结果数会减少，树状图不再是完全对称的。这并不影响方法的适用性，但画图时需注意每一步实际的可能结果。

▲核心辨析：“等可能”是指同一“步骤”内每个结果发生的可能性相同，而非不同步骤的分支数必须相同。不放回试验依然满足每一步内的等可能性。

★方法通用性：树状图法适用于所有分步进行的有限等可能随机试验，无论是否放回。关键是正确分析每一步的实际可能情况。

###任务四：回归问题——解决导入的“抽签组队”难题

教师活动：带领学生回到导入环节提出的挑战：“现在，让我们用树状图这个新武器，来解决最开始的三选二抽签问题。大家先独立思考一分钟，画一画。”请一位学生上台板演。借助学生的板演，强调在多元素问题中，用字母（如A,B,C）表示元素更为简洁。引导学生检查：总共有多少种等可能的抽签结果？事件“抽中A和B”对应哪几条路径？（AB和BA）。计算概率P=2/6=1/3。追问：“如果第一次抽中后直接任命为队长，第二次抽中的为队员，那么‘A是队长，B是队员’的概率又是多少？树状图一样吗？”

学生活动：独立运用刚学的树状图法，尝试解决导入难题。通过观察板演，优化自己的画法和表示。在教师追问下，思考角色区分是否影响树状图的构造和概率计算，深化对“有序性”的理解。

即时评价标准：

1.能否将三人抽签问题正确建模为两步不放回试验。

2.画图时，能否采用简洁的符号系统。

3.能否准确识别目标事件对应的具体路径，不重不漏。

形成知识、思维、方法清单：

★复杂情境建模：面对多人、多角色问题，先抽象出核心的“分步不放回抽取”模型，再画图。

▲符号化与简洁性：使用字母、数字等符号代替长文字描述，能使树状图更清晰、高效。

★路径的精确对应：概率计算依赖于对目标事件所有可能路径的精准定位，每条路径代表一个基本结果。

###任务五：归纳反思——树状图法与列表法的比较

教师活动：提出总结性问题：“我们已经掌握了列表法和树状图法，它们都是列举法。那么，在什么情况下，你更倾向于使用树状图呢？”组织学生简短讨论。然后，教师用表格进行系统对比：列表法通常适用于涉及两个因素，且每个因素取值不多的情形，呈现为二维表格；树状图适用于明确分为两步或两步以上的试验，能清晰展示过程与路径。口诀化总结：“一步直接求，两步可列表，三步（及以上）树状图，清晰又可靠。”

学生活动：基于本课的学习体验，参与讨论，分享自己对于两种方法适用情境的看法。跟随教师总结，完善自己的方法选择策略认知。

即时评价标准：

1.能否结合具体例子，说出树状图相对于列表法的优势（如展示步骤过程、处理两步以上问题更清晰）。

2.能否理解方法选择取决于问题的结构特征。

形成知识、思维、方法清单：

★方法选择策略：选择列举方法时，需分析问题结构。列表法擅长处理两个维度的搭配问题；树状图法擅长处理明确分步的流程问题。

▲数学工具的意识：掌握多种数学工具，并学会根据问题情境选择最优工具，是高水平数学思维的体现。

★认知升维：从学习一种具体方法，上升到掌握方法选择的策略，这是元认知能力的发展。

第三、当堂巩固训练

1.基础层（直接应用）：“一个转盘被等分成红、黄、蓝三个扇形，连续转动转盘两次（每次转动后，指针指向的扇形颜色被记录）。用树状图求两次颜色相同的概率。”（设计意图：巩固两步放回问题的标准画法和计算。）

2.**综合层（情境迁移）：“小明有3本不同的数学书和2本不同的历史书，他随机从书架上先后抽出两本书阅读（不放回）。用树状图求第一本抽到数学书且第二本抽到历史书的概率。”（设计意图：将方法迁移到不同类型元素的抽取问题，检验对“不放回”和步骤分解的理解。）

3.**挑战层（开放探究）：“设计一个概率为1/3的实际情境，并用树状图加以说明。”（设计意图：逆向思维，考查学生对概率意义和树状图原理的深度理解，鼓励创新。）

反馈机制：基础层练习由学生独立完成，教师投影展示部分作品，由学生依据“步骤清晰、列举完整、计算准确”的标准进行互评。综合层练习进行小组讨论后，教师请不同小组分享树状图，重点辨析第一步结果（数学书或历史书）是否应作为同一层处理，还是按“书类型”与“具体书”分层，引发思维碰撞。挑战层练习作为弹性任务，鼓励学有余力的学生课后探究，下节课分享精彩设计。

第四、课堂小结

1.知识整合：引导学生以“树状图法”为中心，用思维导图的形式梳理本节课要点：定义、适用条件、画图步骤（定、画、标）、注意事项（放回与不放回）、与列表法的比较。

2.方法提炼：提问：“回顾今天解决问题的过程，我们经历了怎样的思维路径？”引导学生总结：识别分步试验→选择树状图工具→规范画图分析→读取数据计算→回归问题解答。强调“有序思考”和“模型化”是核心思想。

3.作业布置：

1.4.必做（基础性作业）：完成教材课后相关练习，重点巩固树状图的基本画法和概率计算。

2.5.选做（拓展性作业）：（1）探究：同时抛掷两枚硬币与先后抛掷一枚硬币两次，求“一正一反”的概率，树状图一样吗？概率一样吗？为什么？（2）应用：调查生活中一个涉及两步选择的现象（如地铁换乘路线选择），尝试用树状图分析其所有可能情况。

六、作业设计

基础性作业（全体必做）：

1.从甲、乙、丙三人中随机抽取两人参加志愿服务，请用树状图法列出所有可能结果，并求甲被抽中的概率。

2.一个密码锁的密码由两位数字组成（每位可以是0-9）。若数字可重复，用树状图分析共有多少种密码可能。

拓展性作业（建议大多数学生完成）：

一个游戏规则如下：掷一枚质地均匀的骰子，记录点数。若点数为奇数，则可再掷一次；若点数为偶数，则游戏停止。请用树状图分析小明在一次游戏中，掷骰子次数恰好为两次的概率。

探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：

尝试用树状图分析一个“石头、剪刀、布”的三局两胜制比赛（假设双方每次出拳随机且等可能），求比赛恰好进行三局才决出胜负的概率。你能否将树状图进行简化或创新表示？

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.树状图法的定义与本质：一种利用分层分支图形来列举多步随机试验所有可能结果的数学方法。其本质是将复杂事件分解为有序的多个步骤，直观展示所有可能的“路径”。

★2.适用情境（高频考点）：适用于求解两步及两步以上的有限等可能随机事件的概率。常见于“多次抽取”、“连续抛掷”、“分阶段选择”等问题。

★3.树状图规范画法步骤：一定步骤（明确分几步）；二画分支（每一步有几个等可能结果就画几个分支）；三标结果（分支上标出该步结果，末端标出最终情况）。

▲4.“放回”与“不放回”的图形差异（易错点）：“放回”时，每一步的结果数相同，树状图从每一层看都是对称的；“不放回”时，后一步的结果数受前一步影响，树状图不对称。但这不影响等可能性，每一步内各结果仍是等可能的。

★5.概率计算流程：①从树状图末端数出所有等可能结果的总数n；②数出满足目标事件的路径数（末端结果数）m；③代入公式P=m/n计算。

▲6.树状图与列表法的比较（方法选择考点）：列表法适用于两个因素的搭配问题，呈现为矩阵；树状图适用于明确分步的过程问题，能清晰展示顺序和路径。口诀：“两步可表，三步用树”。

★7.“有序性”原则：在树状图中，顺序至关重要。例如，先后抽中A和B（AB）与先后抽中B和A（BA）被视为不同的结果，除非问题明确说明不考虑顺序。

▲8.符号化表示策略：使用字母、数字等简洁符号代替冗长文字描述分支结果，可以提高画图效率和清晰度。

★9.总结果数（n）的确定：总结果数等于树状图最末端“叶子”的个数。也可按乘法原理计算：若第一步有a种可能，第二步有b种可能，则总情况数为a×b（放回）或a×(b-1)…（不放回需具体分析）。

▲10.非等可能步骤的处理（拓展）：树状图本身要求每一步内的结果是等可能的。若某一步内结果不等可能（如一个不均匀的转盘），则需要先计算该步每个结果的概率，并将概率值标在分支上，最终概率通过沿路径相乘（分步乘法原理）、最后相加（分类加法原理）求得，这已触及高中概率初步知识。

★11.模型思想的应用：用树状图法解题的过程，是完整的数学建模微过程：从实际问题中抽象出“分步随机试验”模型→构建树状图这个数学模型→在模型上推理求解→将数学结论回归解释实际问题。

▲12.常见错误警示：①步骤划分错误；②“放回”与“不放回”混淆；③列举时遗漏或重复路径；④计算总结果数时，误将中间分支数相加而非相乘。

八、教学反思

本课设计以“认知冲突-探究建构-迁移应用”为主线，力求将树状图法的教学从技能操练提升到思维建模的高度。回顾假设的课堂实施，教学目标基本达成，大部分学生能规范画出两步试验的树状图并正确计算概率，且在对比活动中对“放回”与“不放回”有了直观认识。

(一)各环节有效性评估

1.导入环节：以“三人抽签”这一稍复杂问题制造认知冲突，成功激发了学生的探究欲望。“如果候选人变成5位呢？”这一追问，将方法的必要性凸显出来，为后续学习提供了强劲动力。

2.新授任务链：五个任务环环相扣，逻辑清晰。任务一从简单问题示范，建立初步表象；任务二强调规范与“等可能”前提；任务三通过小组合作探究“不放回”，实现自主建构与深化理解，这是本节课的亮点和高潮，学生在此处的思维碰撞最为激烈；任务四回扣导入问题，让学生体验“学以致用”的成就感；任务五的对比归纳，帮助学生完成了从“学方法”到“选方法”的认知飞跃。其中，在任务三巡视时，我预设的“半结构化模板”为部分需要帮助的学生提供了有效支持，体现了差异化。

3.巩固与小结：分层练习满足了不同层次学生的需求。挑战题“设计一个概率为1/3的情境”反响超出预期，有学生设计了精彩的“三选一不放回”的改编情境，展现了深度理解。小结部分引导学生绘制思维导图，促进了知识的系统化存储。

(二)对不同层次学生的表现剖析

1.基础扎实型学生：他们能快速掌握画法，并在任务四、五中展现出良好的迁移和概括能力。对于他们，挑战层练习和探究性作业提供了必要的思维延展空间，避免了“吃不饱”。

2.中等发展型学生：他们是本课教学活动的主要响应者。在任务三的“不放回”探究中，部分学生最初会画出对称的树，但在小组讨论和对比演示后，能及时修正错误理解。巩固练习的综合层对他们巩固新知、形成能力至关重要。

3.需要支持型学生：他