与对话高三数学（文）一轮复习课时跟踪训练第八章立体几何课时跟踪训练42

课时跟踪训练(四十二)[基础巩固]一、选择题1．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交[解析]当两条直线无公共点时，可知两直线异面；当两异面直线中的一条直线与两条直线交于一点时，可知两直线相交，选D.[答案]D2.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M[解析]∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又C∈γ，M、C∈β，∴γ与β的交线必通过点C和点M.选D.[答案]D3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1DA．A1、M、O三点共线 B．M、O、A1、A四点共面C．A、O、C、M四点共面 D．B、B1、O、M四点共面[解析]因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，O也是A1C的中点，所以点O在直线A1C上，又直线A1C交平面AB1D1[答案]D4．以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3[解析]对于①，不共面的四点中，其中任意三点不共线，故①正确；对于②，若A，B，C共线时，A，B，C，D，E不一定共面，故②不正确；对于③，b，c也可异面，故③不正确；④是错误的．选B.[答案]B5．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)[解析]如图，连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角或其补角．连接A1C1，设AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).[答案]D6．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是()A．两条相交直线 B．两条平行直线C．两个点 D．一条直线和直线外一点[解析]如图，在正方体ABCD－EFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点，故选C.[答案]C二、填空题7．(2017·陕西汉中调研)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．[答案]b与α相交或b⊂α或b∥α8．(2018·江西上饶月考)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________(把你认为正确的结论序号都填上)．[解析]由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1[答案]③④9．(2017·广东华山模拟)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．[解析]取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1设AB＝1，则A1A＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(3)，B1E＝eq\f(\r(3),2)，AE＝eq\f(3,2)，故∠AB1E＝60°.[答案]60°三、解答题10．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．[解](1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1∵M、N分别是A1B1、B1C1∴MN∥A1C1.∵A1A綊C∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．理由如下：假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α.∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD－A1B1C1D1∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．[能力提升]11．如图，平面α与平面β交于直线l，A，C是平面α内不同的两点，B，D是平面β内不同的两点，且A，B，C，D不在直线l上，M，N分别是线段AB，CD的中点，下列判断正确的是()A．若AB与CD相交，且直线AC平行于l时，则直线BD与l可能平行也有可能相交B．若AB，CD是异面直线时，则直线MN可能与l平行C．若存在异于AB，CD的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，则AB，CD不可能是异面直线D．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交[解析]对于A，直线BD与l只能平行；对于B，直线MN与l异面；对于C，AB与CD可能为异面直线．当直线AB与CD的中点M，N重合时，必有直线AC∥l，故不可能相交，综上所述，故选D.[答案]D12．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1AA.eq\f(\r(3),2)B.eqB.\f(\r(2),2)C.eqC.\f(\r(3),3)D.eqD.\f(1,3)[解析]解法一：∵α∥平面CB1D1，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，α∩平面ABCD＝m，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴m∥B1D∵α∥平面CB1D1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，α∩平面ABB1A1＝n，平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD∴n∥CD1.∴B1D1，CD1所成的角等于m，n所成的角，即∠B1D1C∵△B1D1C为正三角形，∴∠B1D1∴m，n所成的角的正弦值为eq\f(\r(3),2).解法二：由题意画出图形如图，将正方体ABCD－A1B1C1D1补形为两个全等的正方体如图，易证平面AEF∥平面CB1D1，所以平面AEF即为平面α，m即为AE，n即为AF，所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角．因为△AEF是正三角形，所以∠EAF＝60°，故m，n所成角的正弦值为eq\f(\r(3),2).[答案]A13．如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是__________．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得GF∥EH∥BD；③存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上．[解析]当H，G分别为AD，BC的中点时，直线GF，EH，BD平行，所以①错，②正确；若存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上，则平面α0与CD的交点不可能是CD的中点，故③错．[答案]②14．(2017·安徽安庆调研)如图所示，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．[解析]取DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HF綊eq\f(1,2)AD.∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．在△GHF中，可求HF＝eq\r(2)，GF＝GH＝eq\r(6)，∴cos∠GFH＝eq\f(\r(2)2＋\r(6)2－\r(6)2,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),6).[答案]eq\f(\r(3),6)15．(2017·河南许昌模拟)如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱锥P－ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．[解](1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱锥P－ABC的体积为V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq\f(3,4).16．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥O－ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．[解](1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S＝4，所以，四棱锥O－ABCD的体积V＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角)，由已知，可得DE＝eq\r(2)，EM＝eq\r(3)，MD＝eq\r(5)，∵(eq\r(2))2＋(eq\r(3))2＝(eq\r(5))2，∴△DEM为直角三角形，∴tan∠EMD＝eq\