初中数学七年级下册《三角形中的动态问题》专题教学设计

初中数学七年级下册《三角形中的动态问题》专题教学设计

一、【课程背景与课标要求】

（一）【基础】课程定位与内容选择

本节专题复习课《三角形中的动态问题》位于北师大版初中数学七年级下册第四章《三角形》的结尾部分，属于章节总结与提升的教学内容。三角形是平面几何中最基础、最重要、也是最核心的图形之一，而“动态问题”则是将静态的几何图形赋予运动变化，让学生在“动”中观察“静”，在“变”中寻找“不变”，这是从直观几何向论证几何过渡的关键阶梯。本专题旨在通过对三角形中动点、动线、图形变换等问题的探究，深化学生对三角形核心概念（如内角和、三边关系、全等判定）的理解，初步渗透函数思想和分类讨论思想，为学生后续学习八年级的轴对称、勾股定理以及九年级的相似三角形、二次函数综合问题奠定坚实的思维基础。

（二）【重要】对应课程标准

本设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》的相关要求：

1.在图形与几何领域，强调让学生经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。

2.建立形与数的联系，几何直观和空间观念是核心素养的集中体现。通过动态问题，引导学生用运动的观点观察图形，用变化的眼光分析问题，发展空间观念和几何直观。

3.通过探索动态过程中某些量之间的关系，初步体会模型思想，建立符号意识，感受数学模型在刻画客观世界中的作用。

4.经历从不同角度分析问题和解决问题的方法，体验解决问题方法的多样性，在探究活动中培养合作交流能力和创新意识。

二、【教材分析与学情研判】

（一）【基础】教材内容解构

本章核心内容是认识三角形及其全等。静态的三角形研究是基础，而动态问题则是将这种研究置于运动变化的情境中。

1.知识关联：本专题涉及的核心知识点包括：三角形的内角和定理（180°）、三角形的三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）、全等三角形的四种判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS）及其应用、三角形中线、高线、角平分线的性质。

2.内容深化：动态问题并未引入新的几何定理，而是要求学生能在运动的全过程中，灵活调用上述定理进行判断和计算。例如，当点在边上运动时，相关线段长度变化，三角形形状变化，但全等判定的条件、内角和的不变性始终是解题的锚点。

（二）【重要】学情具体分析

1.知识储备：学生已经掌握了三角形的基本要素和基本性质，能够对静态图形进行简单的全等证明和角度、线段计算。对图形变化有初步的生活经验和直观感受。

2.能力水平：七年级学生正处于由经验型逻辑思维向理论型逻辑思维过渡的初期。他们的思维仍带有较大的具体性和直观性，对于“运动”、“变化”的数学化描述存在困难，往往难以从动态过程中抽象出不变的几何关系。分类讨论的意识普遍薄弱，容易遗漏解的情况。

3.心理特征：学生对新鲜、具有挑战性的问题有好奇心，但对于复杂问题容易产生畏难情绪。因此，教学需要设计梯度，从直观演示入手，引导学生动手操作、合作探究，将抽象的运动过程具象化，帮助他们在“动”中学会“静”观其变。

三、【教学目标与核心素养】

根据以上分析，确定本节专题课的教学目标如下：

（一）【基础】知识与技能

1.能准确识别三角形动态问题中的“变量”与“不变量”。

2.掌握运用三角形内角和、三边关系、全等判定定理解决动点、动线问题的方法。

3.学会用代数式表示运动过程中的线段长度或角度大小，建立方程或不等式模型求解。

（二）【重要】过程与方法

1.通过几何画板或实物演示，经历观察、猜想、推理、验证的过程，体会从特殊到一般、再由一般到特殊的认知规律。

2.在探索动态过程中的位置关系与数量关系时，初步感悟和运用分类讨论思想、方程思想与转化思想。

3.通过小组合作探究，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程。

（三）【核心素养】情感、态度与价值观

1.感受几何图形的运动之美、变化中的和谐之美（不变性），激发探索数学奥秘的兴趣。

2.培养严谨求实的科学态度和勇于克服困难的意志品质。

3.在解决变式问题的过程中，增强创新意识和应用意识。

（四）【难点】教学重难点

1.教学重点：在三角形动态问题中，寻找“不变量”与“关键临界点”，并运用三角形全等的性质和内角和定理进行推理和计算。

2.教学难点：对运动过程中可能出现的多种情况（如点的不同位置、图形的不同状态）进行完整的分类讨论，并用规范的数学语言进行表达。

四、【教学策略与方法选择】

（一）【核心】教学方法

采用“问题驱动—活动探究—变式提升”的教学模式。以一系列精心设计的动态问题为主线，利用多媒体信息技术（如几何画板）辅助教学，将抽象的运动过程可视化。倡导学生动手操作、动眼观察、动脑思考、动口交流的“四动”学习法。

（二）【重要】学法指导

1.学会“定格”：引导学生把运动过程中的某一瞬间“冻结”，转化为静态的几何问题进行求解。

2.学会“分段”：引导学生在关键点（如动点到达顶点、线段相等时刻）处将运动过程划分为不同的阶段，进行分类研究。

3.学会“翻译”：引导学生用含时间t或某变量x的代数式表示动态的线段长或角度。

五、【教学实施过程】（核心环节，详案）

（一）【情境引入，概念初识】（预计5分钟）

1.课堂活动：

教师利用几何画板展示一个基础动态场景：在△ABC中，点P从点A出发，沿A-B-C的路径运动，速度保持不变。

提问1：“在整个运动过程中，△APC的形状是如何变化的？你能描述一下吗？”

提问2：“哪些量是始终不变的？（如∠A的大小？∠B的大小？）哪些量在发生变化？（如线段AP、PC的长度，∠APC的大小）”

2.设计意图：

【热点】通过直观演示，迅速将学生带入动态情境。打破学生以往研究静态图形的思维定势，建立“运动”、“变化”的第一印象。引导学生关注“变”与“不变”，直指本专题的核心。

（二）【探究活动一：单动点与“不变角”】（预计12分钟）

1.【基础】问题呈现：

如图（教师板书或投影），在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，点D在线段BC上由B向C运动，连接AD。

问题1：在点D运动过程中，∠1（即∠BAD）和∠2（即∠ADC）的大小会发生变化吗？它们的变化趋势是怎样的？

问题2：当∠BAD=20°时，求∠ADC的度数。

问题3：是否存在某一时刻，使得△ABD是直角三角形？若存在，求出此时∠BAD的度数。

2.【重要】师生互动与探究路径：

（1）独立思考：给学生3分钟时间，在学案上尝试画图、计算。鼓励学生用代数式表示角度。

（2）小组讨论：

对于问题1，小组内交流看法。有学生可能直观认为都会变。教师引导学生回归定义：∠1是∠BAD，顶点A固定，边AB固定，AD在动，所以∠1在变大。∠2是∠ADC，是△ABD的一个外角，也是△ADC的一个内角，随着D点移动，它也在变化。

教师追问：“能否找到一个始终不变的量？”引导学生发现，无论D如何运动，只要D在BC上，∠B+∠BAD=∠ADC（外角定理）。而∠B是不变的70°，所以∠ADC的变化与∠BAD的变化存在线性关系：∠ADC=70°+∠BAD。

（3）变与不变的精髓：通过这个关系式，学生豁然开朗，原来变化的量之间存在着不变的关系。对于问题2，学生即可轻松求解：∠ADC=70°+20°=90°。

（4）【难点突破】问题3的分类讨论：

教师引导：“△ABD是直角三角形，哪个角是直角？”引发学生分类意识。

情况一：当∠BAD=90°时，即AD⊥AB，此时D点是否存在？引导学生验证∠B=70°，三角形内角和180°，则∠ADB=20°，符合三角形内角和，D点存在。

情况二：当∠ADB=90°时，由外角定理∠ADC=90°，则90°=70°+∠BAD，解得∠BAD=20°，D点存在。

情况三：当∠ABD=90°时，即∠B=90°，这与已知∠B=70°矛盾，故不存在。

教师强调，分类讨论必须做到“不重不漏”。

3.【高频考点】归纳小结：

解决单动点问题的核心是“动静结合”。选择一个合适的变量（如线段长或角度）表示其他几何量，利用不变的几何定理（内角和、外角、全等性质）建立等量关系。当问题涉及特殊形状（如直角三角形、等腰三角形）时，必须对谁是直角顶点、谁是顶角顶点进行分类讨论。

（三）【探究活动二：双动点与全等存在性】（预计15分钟）

1.【难点】【高频考点】问题呈现：

如图（几何画板演示），在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm。点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C。点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→B运动，终点为B。P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动。设运动时间为t秒。

问题：是否存在某一时刻t，使得△BPQ与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由。

2.【核心】探究路径与思维可视化：

（1）审题与“翻译”：

这是本专题的压轴题型。首先引导学生将文字语言翻译成数学符号语言。

教师引导：“路程、速度、时间，关键要表示出什么？”（BP和BQ的长度）

学生回答：BP=速度×时间=2t。但要注意P的运动路径是折线！这是第一个易错点。

Q从C向B运动，CQ=t，所以BQ=BC-CQ=10-t。

（2）【重要】分段讨论的必要性：

教师提问：“P点走的路径不一样，BP的表达式还能是2t吗？”引发认知冲突。

引导学生分析P点的运动总时间：

从B到A：AB=6cm，速度2cm/s，耗时3秒。

从A到C：AC=8cm，速度2cm/s，耗时4秒。

全程共7秒。Q从C到B：BC=10cm，速度1cm/s，耗时10秒。但根据题意，P先到终点（7秒），所以总运动时间t的取值范围是0≤t≤7。

必须分两段：

当0≤t≤3时，P在AB上运动，BP=2t。

当3<t≤7时，P在AC上运动，此时BP的表达不再是简单的2t。教师引导学生思考，此时P已经走完了AB段，从A点继续向C运动。P从B到A走了6cm，用时3秒，所以t>3秒后，P在AC上的路程为2(t-3)cm。要求BP的长，不能直接得到，需要放在三角形中求解，或者我们转换思路——我们全等的对象是△BPQ，当P在AC上时，△BPQ的三边都在变化，直接计算BP很复杂。这提示我们，全等条件可能指向更简单的对应关系。

（3）【策略优化】化繁为简的对应关系分析：

教师启发：“我们一定要死磕BP的长度吗？△ABC是一个已知三边的三角形。△BPQ要与之全等，对应关系是关键。△ABC的边是AB=6，AC=8，BC=10。△BPQ的边是BQ（我们已表示）、BP、PQ。其中BQ=10-t是一条可以明确表达的边。

如果我们假设△BPQ≌△ABC，那么它们的对应边相等。BQ这条边可能与BC对应，也可能与AB或AC对应。

这样我们就绕开了复杂的BP表达，直接从对应关系入手分类。

（4）【分类讨论】穷举所有可能性：

第一类：BQ与BC是对应边（BQ=BC）。

则10-t=10，解得t=0。此时P在B点，Q在C点，△BPQ不存在（是一个点），舍去。

第二类：BQ与AB是对应边（BQ=AB）。

则10-t=6，解得t=4。

验证t=4的情况：此时t=4在3<t≤7区间内，P在AC上。我们还需要验证另一组对应边。如果△BPQ≌△BAC（注意顶点对应），则BQ=BA=6，PQ=AC=8，BP=BC=10？或者对应关系可能不同。我们先确定一组对应：假设△BPQ≌△BAC，则顶点B对应B，Q对应A，P对应C。那么BQ=BA=6（成立），BP=BC=10，PQ=AC=8。我们需要验证此时BP是否等于10？当t=4时，P在AC上，A到P的距离是2*(4-3)=2cm，所以AP=2cm。BP是△ABP的一边，AB=6，AP=2，∠A是夹角？但我们不知道∠A，无法求BP。或者我们可以从另一边入手：CP=AC-AP=8-2=6cm。在△BCP中，BC=10，CP=6，∠C？仍然无法直接求BP。这个思路又陷入困境。说明我们的对应假设可能不合理，或者我们需要借助其他条件。

这恰恰是动态问题的魅力。教师此时可以引导学生回到全等的本质——边角边、角边角等。我们已知BQ，已知∠B（因为△ABC固定，∠B是固定的），所以我们可以利用“SAS”来思考。

【精讲点拨】既然我们知道了BQ和∠B，那么如果△BPQ要和△ABC全等，且∠B是它们的一个公共角（或者对应角），那么BP就必须等于与∠B相邻的另一条边。

在△ABC中，∠B的两边是BA和BC，长度分别为6和10。

所以，如果△BPQ≌△ABC，并且对应关系是点B与B对应，那么有两种可能：

情况一（SAS）：BP=BA=6，且BQ=BC=10？但BQ=10-t，令10-t=10得t=0，舍去。或者BP=BA=6，BQ=BA=6？那BQ也等于6，即10-t=6，t=4。此时若△BPQ≌△ABC，对应点应为B↔B，P↔A，Q↔C？这样BP=BA=6成立，BQ=BC=10？不成立（BQ=6≠10）。所以不是这种对应。

情况二（SAS）：BP=BC=10，且BQ=BA=6。这正是我们刚才的设想。此时需要BP=10，且BQ=6。由BQ=6解得t=4。需要检验当t=4时，BP是否等于10？当t=4时，P在AC上，我们如何求BP？此时需要作辅助线或利用勾股定理？但题目并未给出∠A或∠C的度数，直接求BP不可行。因此，这种对应关系下的“SAS”判定中，BP的长度我们无法直接验证，所以此路不通。这提醒我们，在全等存在性问题中，有时我们预设的对应方式会因为几何条件的限制而不成立。

（5）【优化策略】从“边”的对应转向“角”的对应，利用等腰三角形。

教师引导学生换个角度：“当P在AC上时，△BPQ是任意三角形。我们不妨先考虑P在AB上的简单情形，看看有无解。”

再回头看P在AB段（0≤t≤3）：

此时BP=2t，BQ=10-t。∠B是公共角。

要使△BPQ≌△ABC，且∠B为对应角，那么夹∠B的两边必须对应相等。

对应方式1：BP对应BA，BQ对应BC。

即2t=6且10-t=10=>t=3且t=0，矛盾，无解。

对应方式2：BP对应BC，BQ对应BA。

即2t=10且10-t=6=>t=5且t=4，矛盾，无解。

所以，P在AB段时，不存在以∠B为对应角的全等。那么是否可能∠B对应的是△BPQ中的其他角？例如，△BPQ中，∠QBP就是∠B，所以∠B只能对应△ABC中的∠B。所以上述分类是完备的，AB段无解。

教师此时可以引导：“看来全等不一定非要以∠B为对应角，也许在运动过程中，三角形的形状变了，对应关系也会变。”但考虑到七年级学生的认知水平，这种复杂对应关系难度过大。因此，本题的教学目标应调整为：让学生深刻理解，在双动点问题中，由于点的位置变化，会导致三角形形状复杂化，从而使得“全等存在性”问题变得异常复杂，往往需要引入“三角形全等的动点问题”的经典模型——即两个三角形的两条边分别用含t的代数式表示，且它们的夹角是固定的，从而利用“SAS”构造方程。

（6）【回归经典模型】修正问题，聚焦核心方法。

教师对原题进行变式，降低难度，聚焦核心方法：

“我们把题目改一下，让两个动点都在三角形的边上运动，这样表示简单，且能构成固定的夹角。例如：在△ABC中，AB=6cm，∠B=60°，BC=10cm。点P在BA上由B向A运动，速度为2cm/s；点Q在BC上由B向C运动，速度为1cm/s。当△BPQ与△ABC全等时，求t。”

这样一改，问题就清晰了：

0≤t≤3（P在BA上，Q在BC上）。BP=2t，BQ=t。∠PBQ=∠B=60°。

要使△BPQ≌△ABC，且∠B为对应角，根据SAS：

情况1：BP=BA=6，BQ=BC=10。

2t=6=>t=3；t=10？显然t=10超出范围，无解。

情况2：BP=BC=10，BQ=BA=6。

2t=10=>t=5（超出范围），t=6（超出范围），无解。

所以不存在全等？这似乎又回到了原点。这时教师点拨：“对应关系除了边与边对应，还有可能是旋转型的全等，即△BPQ≌△CBA。此时，BP对应CB，BQ对应AB。”

情况3：△BPQ≌△CBA，则BP=CB=10，BQ=AB=6。

解得t=5（舍），t=6（舍），无解。

情况4：△BPQ≌△CAB，则BP=CA？CA未知，无法用。而且∠B不是对应角了，不能用SAS，难度超出范围。

通过以上分析，教师可以总结：在全等动点问题中，若两个三角形有公共角或等角，我们优先考虑用“SAS”列方程。如果方程的解符合时间范围和几何意义，则存在；否则不存在。

3.【重要】解题通法提炼：

双动点构造全等三角形问题的解题步骤：

（1）设时间t，用代数式表示相关线段。

（2）明确运动过程中，哪些角的大小保持不变。

（3）根据全等三角形的对应关系（特别注意对应顶点要写在对应位置上），分情况讨论。

（4）利用全等三角形对应边相等列出关于t的方程。

（5）解方程，并检验解是否在时间范围内，是否符合运动的实际情况（如点是否在相应的边上）。

（6）【难点强调】分类讨论是解决此类问题的关键，必须考虑到所有可能的对应方式。

（四）【探究活动三：图形变换中的不变量】（预计8分钟）

1.【基础】问题呈现：

将一副三角板按如图方式摆放（一副含30°角和一副含45°角的直角三角板），固定含30°角的三角板ABC（∠A=30°，∠C=90°），将含45°角的三角板CDE的直角顶点D放置在AC的延长线上，且DE∥BC。现将三角板CDE绕点D逆时针旋转，旋转角为α（0°<α<180°），在旋转过程中，CD与AB边交于点F。

问题：在旋转过程中，∠DFB的度数是否发生变化？如果不变，请求出它的度数；如果变化，请说明理由。

2.【核心】探究过程：

（1）初始状态分析：先分析初始位置，明确各角关系。DE∥BC，则∠EDC=∠DCB=90°？需要仔细分析。实际上，初始状态是为了给出一个已知关系，即点D的位置和DE的方向。旋转后，DE的方向改变。

（2）变量与不变量分析：旋转角α是变量。旋转过程中，△CDE的形状、大小不变，只是位置改变。所以∠CDE=90°始终不变，∠DCE=45°始终不变。另外，大三角形ABC固定，所以∠A=30°，∠B=60°，∠ACB=90°。

（3）建立联系：所求角∠DFB是△AFD的一个外角？或者是四边形某个角。考虑用内角和或外角定理。∠DFB可以看成△BFD的内角，也可以看成△AFD的补角。我们尝试建立与已知角α的联系。

设旋转角为α，即CD边从初始位置（平行于某条线）转过了α。我们需要知道CD的初始位置。从原图“DE∥BC”可知，初始时，∠EDC=90°，且因为DE∥BC，所以DC与BC的夹角等于∠EDC？这容易混淆。教师应引导学生明确：CD的初始方向是与BC垂直的，因为∠DCB是直角。所以，我们可以把CD的初始方向定为垂直于BC的方向。旋转后，CD与初始方向的夹角就是α。

（4）【重要】寻找不变关系：观察△AFD，∠A=30°不变，∠ADF是变化的。∠ADF可以怎么表示？∠ADF=∠ADC-∠CDF？或者看大角。注意到点D在AC延长线上，A、C、D共线。所以∠ACD=180°？不，C在线段AD上。所以∠FCD是△FCD的一个内角，且∠FCD=180°-∠ACB=90°？因为ACB是直角，所以F、C、B的位置关系需要重新审视。实际上，AB与CD的交点F，随着CD旋转，F的位置也在变。

我们尝试用外角定理：∠DFB是△AFD的外角，等于不相邻的两个内角∠A+∠ADF。∠A=30°不变，所以关键是∠ADF是否变化。

∠ADF是线段AD与DF的夹角。AD是直线，方向不变。DF是旋转的直线的一部分，其方向由CD的旋转决定。因为F在CD上，所以DF与CD共线。所以∠ADF就是直线AD与CD的夹角。因为A、C、D共线，所以直线AD就是直线AC。所以∠ADF就是直线AC与CD的夹角。而这个夹角，正是CD从初始位置（垂直于BC）旋转到当前位置所转过的角度α吗？不一定，因为初始时AC与CD的夹角是多少？初始时，因为DE∥BC，且∠CDE=90°，所以CD⊥DE，又DE∥BC，所以CD⊥BC。而AC⊥BC（因为∠C=90°），所以AC与CD都垂直于BC，因此AC∥CD？这出现矛盾，因为AC和CD都过点C？这里题目原始图形可能有误，导致推理混乱。

为了教学的顺畅，教师可以重新设计一个清晰的情境：例如，两个全等的三角形，其中一个固定，另一个绕某顶点旋转，探究旋转过程中某些对应线段所在直线的夹角是否变化。或者用经典的“三角板旋转问题”：将一副三角板的直角顶点重合，旋转其中一块，探究两块三角板的斜边夹角是否变化。

考虑到实际课堂效果，此处应选择一个逻辑清晰、无歧义的题目。假设题目为：将两块全等的直角三角形纸片（∠A=∠D=90°，∠B=∠E=30°）如图放置，点C与点F重合。固定△ABC，将△DEF绕点C（F）逆时针旋转，旋转角为α。在旋转过程中，设直线DE与直线AB交于点G。求证：∠G的大小不变。

【探究】设旋转角为α，则∠BCE=α？我们需要将动态角与静态角联系起来。通过证明三角形全等或四点共圆（但七年级未学），可以用内角和推导。在△BCG中，∠B=30°，∠BCG=α+∠ACB？或者∠BCG=α+∠ECF？其中∠ECF=90°？这种设计又复杂了。

为此，本环节应降低难度，重在思想渗透。改为一个简单的“旋转”问题：

如图，在△ABC中，∠A=α，∠C=β。将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度θ得到△DBE，其中A的对应点为D，C的对应点为E。连接AD，CE。

问题：AD与CE的夹角（锐角）是多少度？它是否随着θ的变化而变化？

【探究】通过测量或推理，可以发现这个夹角等于∠ABC？这是一个有趣的结论。通过证明△ABD和△CBE是顶角相等的等腰三角形，可以推导出AD与CE的夹角等于旋转角θ？或者等于一个定值。这里意在让学生体验，在图形整体旋转的过程中，某些几何关系（如对应点连线之间的夹角）具有不变性。

3.【小结】图形变换中的动态问题，核心是抓住变换的性质（旋转前后图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角）。通过这些不变的性质，去推导其他变化的量之间的关系。

（五）【课堂小结，升华认知】（预计3分钟）

1.知识层面：

（1）回顾了三角形内角和、三边关系、全等判定在动