线段的垂直平分线性质第1课时-人教版八年级数学上册课件

第十三章轴对称13.1轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质温故知新1、轴对称图形2、两个图形成轴对称及图形轴对称性质3、垂直平分线新知引入探究：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离分别相等猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等你能给出证明吗？吗AlP3P2P1B已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．证明：∵l⊥AB∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．PABlC新知引入新知讲解一、垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等应用：∵l⊥AB，AC=CB∴PA=PBPABlC例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(

)A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cmC例题精讲利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．方法归纳ABCDE1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A、6B、5C、4D、32.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长是

.B10cmPABCD图①ABCDE图②牛刀小试思考：反过来，如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB

的垂直平分线上．证法1：过点P

作AB

的垂线PC，垂足为点C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA

和Rt△PCB中，

PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴点P在线段AB

的垂直平分线上．PAB新知讲解你能给出证明吗？吗C证法2：取AB中点C，连接PC，则AC=BC

在△ACP和△BCP中PA=PB，PC=PC，AC=BC∴△ACP≌△BCP（SSS）∴∠ACP=∠BCP∵∠ACP+∠BCP=180°∴2∠ACP=180°

即∠ACP=90°∴PC⊥AB又AC=BC∴点P在线段AB

的垂直平分线上．二、点在垂直平分线上的判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．应用：

∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．AB新知讲解P这些点能组成什么几何图形？想一想：你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？与A，B

的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与A、B两点

的距离相等的所有点的集合.新知讲解lABPM应用：∵PA=PB，MA=MB∴直线PM是线段AB的垂直平分线这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.例2已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,

垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.ABOEDC证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴DE=CE.又∵OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC.∴DO=CO.∴

OE是CD的垂直平分线.例题精讲例3已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，

连接OA，OB，OC.

求证：点O在AC的垂直平分线上.证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴OA=OB.同理OB=OC.∴OA=OC.∴点O在AC的垂直平分线上.例题精讲ABCD已知：直线AB和AB外一点C

.求作：AB的垂线，使它经过点C

.

新知讲解三、尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.KEF（1）为什么任意取一点K，使点K与点C在直线两旁？（2）为什么要以大于的长为半径作弧？（3）为什么直线CF就是所求作的垂线？想一想：新知讲解例4已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.BACMNM'N'P例题精讲证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，∴PA=PB.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.三角形三条边的垂直平分线的交点称为三角形的外心。外心到三个顶点的距离都相等某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC学以致用例5如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.例题精讲(1)∵AD∥BC∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.证明：1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（）A．AB垂直平分CD；B．CD垂直平分AB

；C．AB与CD互相垂直平分；D．CD平分∠ACB

．ＡＢＣＤA学以致用2.在锐角三角形ABC内一点P，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC（）

A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点D4.下列说法：①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有

（填序号）.①②③3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有

种.无数学以致用5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是

cm.ABCDE16学以致用6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，

AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.证明：∵AC=BC，AD=BD，∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，∴CD为线段AB的垂直平分线.又∵AB与CD相交于点O，∴AO=BO.7.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF.∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.ABCDEF学以致用8.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．能力提升解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，