2025-2026学年江苏省南京二十九中九年级（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南京二十九中九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注.据第三方（QuestMobile）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户.数据310000000用科学记数法可表示为（）A.3.1×10-8 B.31×107 C.0.31×109 D.3.1×1082.面积为16的正方形边长是（）A.16的平方根 B.16的立方根 C.16的算术平方根 D.16开平方的结果3.实数a,b在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（）

A.-a B.a+b C.a-b D.|a|-|b|4.计算2m+2m+2m+2m=4n，则m与n的关系是（）A.4m=n B.2m=n C.m+2=n D.m+2=2n5.如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形.以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切.其中所有正确结论的序号是（）A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③6.从某个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形ABCD为矩形，E、F分别是AB、DC的中点.若AD=8，AB=6，则这个正六棱柱的侧面积为（）A.48

B.96

C.144

D.96二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。7.计算|-2|+20的结果是

.8.计算：=

.-=

.9.分解因式：-2x2+4x-2=

.10.以一元二次方程x（x+2）-3=0的两根之和为横坐标，两根之积为纵坐标的点在平面直角坐标系中位于第

象限.11.如图，在△ABC中，若AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AE是边BC上的中线，点D与点E不重合.若用反证法证明，则第一步应假设

.

12.学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）.最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成.已知小兰、小竹两位选手的评分如下：唱功舞台表现音色创意小兰90k8885小竹92869089若小兰的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为

.13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC.若∠AOC=114°，则∠ADC的度数为

°.

14.已知N市出租车原收费标准如下：不超过3km的路程按起步价10元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费.为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：

设出租车行驶的路程为xkm,当0＜x≤20时，按原收费标准收费；

超过20km以外的路程，按原单价2.4元/km的1.5倍收费.

若行驶路程x超过20km,则收费总额y（元）与x（km）的函数关系式为

.15.如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，点D在上，AE⊥CD于点E.若∠1=30°，BD=6，则CE的长为

.

16.已知一次函数y=-x+m2+1与二次函数y=-（x-m）2+m2+1（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系.若两个函数图象没有交点，则m的取值范围是

；若m=-1时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点，PQ∥x轴，则PQ的最小值是

.三、解答题：本题共10小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题5分)

计算：（x+y）（x-y）-x（x-2y）.18.(本小题10分)

（1）解方程；

（2）解方程组：.19.(本小题8分)

某班有甲、乙两名同学报名参加100米跑步比赛，他们在赛前进行了10次训练.将两人的10次训练成绩分别绘制成如图统计图.

（1）根据统计图把下列表格补充完整：平均数（s）方差（s2）跑进15s以内（不包括15s）的占比甲15①______50%乙150.038②______（2）从两个不同角度评价甲、乙两名同学的训练成绩.20.(本小题8分)

某人仅带27元去文具店，想买7本练习本和3支铅笔，但钱不够，结果买了4本练习本和6支铅笔，还剩3元，请你算一算：2本练习本和3支铅笔哪个价格高？21.(本小题8分)

（1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率；

（2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是______．22.(本小题8分)

如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE=DF，连接AE，CF.

（1）求证△ADE≌△CBF；

（2）连接AF，CE，若AB=AD，求证：四边形AFCE是菱形.23.(本小题8分)

如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA=75厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度．求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

24.(本小题10分)

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD•BC=AC•CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．

（1）求证：AC是⊙E的切线．

（2）若AF=4，CG=5，

①求⊙E的半径；

②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE=______．25.(本小题11分)

定义：三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.

如图，在△ABC中，AD、BE、CF分别是边BC、AC、AB上的中线，三条中线交于重心G.

【性质探究】

（1）小颖发现点E、D分别是AC、BC的中点，由此联想到三角形中位线.请你根据小颖的思路，证明：AG：GD=2：1.

【迁移应用】

（2）经过探究，小颖进一步发现：以△ABC的三条中线AD、BE、CF为边，一定可以构成一个新的三角形.请你帮助小颖完成这一结论的证明.

【创新研究】

（3）探究由三条中线AD、BE、CF为边构成的三角形与△ABC的面积之间的数量关系.若设△ABC的面积为S，由三条中线构成的三角形的面积为S′，请写出S与S′之间的数量关系.26.(本小题12分)

研究函数图象与坐标轴的交点，是分析函数性质、解决函数问题的重要抓手.

（1）如图，一次函数y=kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点A，B.用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）.

①y=-kx+b；②y=2kx-b.

（2）已知二次函数y=m（x-1）（x-m-3）（m为常数，且m≠0）.

①求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

②该函数图象所过的象限随m的值变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围.

（3）如图是用数学软件绘制的函数y=ax3+x2+cx（a、c为常数，且a≠0）的图象.下方的演示图显示当a=-2.7、c=4.5时对应的函数形态.

已知ac＜0，利用函数图象，直接写出关于x的不等式ax3+x2+cx＞0的解集（用含a,c的式子表示）.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】3

8.【答案】

9.【答案】-2（x-1）2

10.【答案】三

11.【答案】点D与点E重合

12.【答案】93

13.【答案】123

14.【答案】y=3.6x-21.2（x＞0）

15.【答案】3

16.【答案】m＜-

17.【答案】-y2+2xy．

18.【答案】x=

19.【答案】解：（1）①0.07，②40%；

（2）两人训练成绩的平均数都是15s，说明两人成绩整体实力相当；

甲的方差大于乙的方差，说明乙的成绩更加稳定．

（答案不唯一）

20.【答案】解：设练习本的单价是x元/本，铅笔的单价是y元/支．

，

由②得3y=12-2x,③

将③代入①得

x＞3，④

将④代入③得

y＜2

∴3y＜6，2x＞6

答：2本练习本比3支铅笔的价格高．

21.【答案】解：（1）画树状图如下：

共有6种等情况数，其中摸出的两个球颜色不同的有3种，

则摸出的两个球颜色不同的概率是=；

（2）.

22.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠ADE=∠CBF，

∵BE=DF，

∴BF=DE，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）连接AC，交BD于点O，

∵AB=AD，四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，

∵BE=DF，

∴EO=FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

又∵AC⊥BD，

∴四边形AECF是菱形．

23.【答案】解：延长CB交AO于点D．

∴CD⊥OA，

设BC=x，则OB=75-x，

在Rt△OBD中，OD=OB•cos∠AOB，BD=OB•sin∠AOB，

∴OD=（75-x）•cos37°=0.8（75-x）=60-0.8x，

BD=（75-x）sin37°=0.6（75-x）=45-0.6x，

在Rt△ACD中，AD=DC•tan∠ACB，

∴AD=（x+45-0.6x）tan37°=0.75（0.4x+45）=0.3x+33.75，

∵AD+OD=OA=75，

∴0.3x+33.75+60-0.8x=75，

解得x=37.5．

∴BC=37.5；

故小桌板桌面的宽度BC约为37.5cm．

24.【答案】（1）∵CD•BC=AC•CE，

∴，

∵∠DCE=∠ACB，

∴△CDE∽△CAB，

∴∠EDC=∠A=90°，

∴ED⊥AC，

∵点D在⊙E上，

∴AC是⊙E的切线；

（2）​①如图1，过E作EH⊥AB于H，

∴BH=FH，

∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，

∴四边形AHED是矩形，

∴ED=AH，ED∥AB，

∴∠B=∠DEC，

设⊙E的半径为r，则EB=ED=EG=r，

∴BH=FH=AH-AF=DE-AF=r-4，

EC=EG+CG=r+5，

在△BHE和△EDC中，

∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°，

∴△BHE∽△EDC，

∴，即，

∴r=20，

∴⊙E的半径为20；

②.

25.【答案】证明：连接DF，如图，

∵点E、D分别是AC、BC的中点，

∴DE为三角形CAB中位线，

∴DE=AB，DE∥AB，

∴△DEG∽△ABG，

∴，

∴AG：GD=2：1

以△ABC的三条中线AD、BE、CF为边，一定可以构成一个新的三角形．

证明：连接EF，DF，如图，

∵AD、BE、CF分别是边BC、AC、AB上的中线，

∴DF，EF为三角形CAB中位线，

∴DF=AC，DF∥AC，EF=BC，EF∥BC，

∴△DFG∽△ACG，△EFG∽△BCG，

∴，，

∴CG=FC，EG=BE，

取AG的中点H，连接GH，如图，

由（1）知：AG：GD=2：1，

∴AH=HG=GD，

∴HG=AD．

∵AH=GH，AE=EC，

∴HE为△AGC的中位线，

∴HE==FC，

∴△HEG的三边分别以△ABC的三条中线AD、BE、CF为为边长，

∴将△HEG的三边扩大三倍即可得到以△ABC的三条中线AD、BE、CF为边的三角形，

∴以△ABC的三条中线AD、BE、CF为边，一定可以构成一个新的三角形

S与S′之间的数量关系为：S′=S

26.【答案】①

②

①证明：当y=0时，m（