2025-2026学年下学期湖北鄂北六校高一数学2026年4月期中联考试卷（含答案）

高一数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1.已知i为虚数单位,复数z=1+i2+i，复数A.1B.3C.iD.32.已知向量a,b满足a=4，且a+b=A.4B.2C.8D.33.如图，在△ABC中，AN=13AC，NM=23NBA.29B.C.−134.设a=sin18∘A.a<b<cB.b5.如图，在半径为r的圆C中，有一条长度为2的弦AB，则AB⋅A.2B.4C.8D.126.函数fx=2cosx−π2cosx−2sin2xA.π8B.π6C.−7.如图所示，一半径为4米的水轮,水轮圆心O距离水面2米,已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则下列说法错误的是(A.点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)之间的函数解析式为hB.点P第一次到达最高点需要20秒C.当水轮转动95秒时，点P距离水面1米D.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米8.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，记△ABC的面积为SA.1,5B.2+1二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的说法为()A.若a//b,bB.在△ABC中，若A>BC.两个非零向量a,b，若a−b=a+b，则D.若a//b，则存在唯一实数λ使得10.已知函数fx=AA.函数fx的最小正周期为B.sinC.函数fx在π2D.方程fx=sin2x+11.正方形ABCD的边长为2,E在BC上,且BE=13BC,如图,点P是以AB为直径的半圆上任意一点，A.λ最大值为0.5B.μ最大值为1C.AP+12ADD.AP⋅AE最大值是三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量e1,e2不共线，且向量a=2e1−3e213.已知复数z=m2−m−14.已知函数fx=2sinxcosx2+sinx+cosx四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(13分)如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且∠AOB=π2(1)若α=π6，求点(2)若点A的坐标为45,m，求16.(15分)已知函数fx(1)求fx(2)在△ABC中，fA=1，sinB=2sinC，△ABC17.(15分)已知在△ABC中,N为AB中点,BM(1)设AB和AC的夹角为θ，若cosθ=14，求证:(2)若AM=194，求18.(17分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)求cosA(2)若△ABC的面积为16①已知E为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AE②求内角A的角平分线AD长的最大值.19.(17分)如图，设α∈0,π，且α≠π2，当∠xOy=α时，定义平面坐标系为α的斜坐标系.在α的斜坐标系中,任意一点P的斜坐标这样定义:设e1,e2分别为Ox,Oy(1)若向量OP=4,2，求(2)若向量a,b的斜坐标分别为sin2x,3cos2x和1,−①若hx+fπ8x+π6②比较gsinπ4x1与52高一数学参考答案题号1234567891011答案BDDCAACDBCABDBD12.−214.611.BD以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,如图,则A−1,0,B1,0,E1,23,D−1,2,C1,2.设Pcosθ,sinθ,θ∈0,π,则AP=cosθ+1,sin对于B,−1≤cosθ≤1,0≤cosθ+12≤对于C,AP+12AD=1+cosθ,sinθ+1,则AP+12AD=对于D,AP⋅AE=2cosθ+2+23sinθ=2103sinθ+β+2,其中锐角15.(1)因为α=π6，所以cosα=32,sinα=12，所以点A坐标为32,12，..3分又因为(2)由A点在单位圆上，得452+m2=1，又点A位于第一象限，则m=35，..8分所以点所以sinβ=sin所以sinα+16.(1)fx=令−π2解得−π所以函数fx的单调递增区间为−π(2)因为fA=2sin2A+π6=1，又A为△所以2A+所以A=π设角A,B,C所对边分别为a,b,c因为三角形的面积为3，所以12由①②解得:b=22c由余弦定理得BC所以BC=617.(1)因为N为AB中点，所以AN=1则CN=AN根据向量数量积的分配律可得:CN已知AB=1,AC=代入可得CN⋅AB=12×1−1即CN⊥AB(2)因为BM=14BC又因为BC=则AM=AB那么AM2展开可得:AM2=已知AB=1,AC=2,AM=194，根据向量数量积公式AB⋅AC所以∠BAC=18.(1)因为3sinA−sinBsinC整理得c2+则cosA=(2)A∈0,π①由题意可得12bcsinA=1632由于AE=12AB=14当且仅当b=c=4时取等号,所以②因为AD为角A的角平分线，则sin∠BAD=sin∠因为S△ADB+S△且A2∈0,π2,则sin又因为cosA=2cos2A2−1=且bc=16,则AD又因为b+c≥2bc=则3263=ADc+19.(1)因为向量OP=4,2，所以OP=4所以OP2=4e1+(2)①因为向量a=x1,y1所以a⋅化简得a⋅b所以fx=a⋅b=sin所以fπ8x