陕西省商洛市2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（含解析）

陕西省商洛市2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B解析：因为，若，则，若，则，若，则，所以，又，.故选：B.2.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B解析：因为，所以，.所以的虚部是．3.已知椭圆，则“”是“的离心率为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A解析：若的离心率为，当的焦点在轴上，则，解得，可得，解得；当的焦点在轴上，则，解得，可得，解得．综上所述，的取值为6或1所以“”是“的离心率为”的充分不必要条件．4.若某社交APP的用户数每月增长，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为（）A.15月 B.25月 C.35月 D.45月【答案】B解析：设用户数从100万户增加到1000万户需要的时间为月，则，即，两边取常用对数得，所以.故选：B.5.在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A解析：因为在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以仅有最大，则，的通项公式，其中，当时，是有理项，所以，即的展开式中有理项的项数是5．故选：A．6.记抛物线的焦点为，为上一点且满足，则的斜率为（）A. B. C. D.【答案】C解析：显然，由抛物线定义知，设函数，，由，知在上单调递增，而，故，于是，而，，故，，于是的斜率.故选：C.7.已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D解析：因为，所以，又，所以，即，又在区间上单调递增，所以，故，，解得，．令得，又，所以；令得；当时，，不合题意．综上，的取值范围为．8.在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C解析：由题意可得共圆，且，所以四边形必为等腰梯形，如图所示，取中点，中点，则，因为，，则，所以，则，所以梯形的面积为定值．因为是等腰直角三角形，为斜边的中点，，所以，要使四棱锥的体积最大，必有平面，此时平面，而点为的外心，因此球心在上，设，球的半径为，则，即，解得，所以，球的表面积．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为，方差为，极差为，则（）A. B. C. D.【答案】AC解析：不妨设，则，因为与，的中位数都是，所以，A正确；当时，，所以B错误；由条件知，因为，所以，所以余下6个数据的方差，所以，C正确；，D错误．10.已知函数，则（）A.曲线关于直线对称 B.的极大值为C.存在， D.有最小值，无最大值【答案】ABD解析：对于A选项，函数的定义域为，，所以曲线关于直线对称，A对；对于B选项，因为，则，由可得或，由可得或，所以函数的减区间为、，增区间为、，所以函数的极大值为，B对；对于C选项，当时，，因为在上是减函数，所以，C错；对于D选项，令，则，设，其中，则，当且仅当时，等号成立，故函数在上只有最小值，无最大值，故函数有最小值，无最大值，D对.故选：ABD.11.已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，集合与轴的交点自上而下分别为，中间白色部分形如美丽的“水滴”，则（）A.B.C.集合中的点到原点距离的最大值为3D.白色“水滴”图形的面积是【答案】BCD解析：对于A，方程中，令，得，所以，其中，所以，所以，解得，所以，所以，，故A错误，B正确；对于C，由，可设，，则集合中的点到原点的距离为，当时，，取得最大值为3，故C正确；对于D，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，它的面积是，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，若与的夹角的余弦值为，则_____________.【答案】解析：设与的夹角为，由夹角公式得，解得.故答案为：.13.已知，且，则___________．【答案】解析：由得，解得或，又，所以，则，所以．14.在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差等比数列”此类数列求和，也可以用“裂项相消法”求解，例如，故的前项和．已知数列满足，则___________；记数列的前项和为，则___________．【答案】；解析：因为，所以，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，则；设，则，解得，所以，所以，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角的对边分别是，且．（1）求；（2）若，求的面积的最大值．解：（1）由，得，所以由余弦定理，得，因为中，，所以，，所以.（2）由和，得，因为，当且仅当时取等号，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的面积，即的面积的最大值为.16.为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表：效果明显效果不明显合计甲方案10002001200乙方案600200800合计16004002000（1）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；（2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望．附：．0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联，，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联．（2）根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名，的取值分别为0，1，2，则，所以的分布列为012．17.如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，为的中点，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）求平面与平面所成二面角的正弦值．（1）证明：因为为的中点，，所以，因为，所以四边形是正方形，所以，因为平面平面，所以，因为平面，所以平面.（2）解：如图，在平面中，过点作的垂线为轴，以为坐标原点，向量方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系．则，设平面的法向量为，，有，取，得，设直线与平面所成的角为，则.（3）解：在（2）的空间直角坐标系中，，设平面的法向量为，则取，得，故平面与平面所成二面角的正弦值为.18.已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2．（1）求的方程；（2）记的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由；（3）直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围．解：（1）的渐近线方程为，设双曲线上一点，则，又在上，所以，即，代入可得，又，代入可得，所以的方程为.（2）由（1）易得，设，由，可得，即得，(*)，又，所以，即，，即，又，所以.因为，所以，，又，所以，即，所以，所以，又，所以，所以，解得，即为定值.（3）设，由消元得，由，解得，则有.因为，所以因为点在上，所以，即，因，故得，即，即，代入韦达定理，可得整理得.当时，等式左边，右边，因为左边右边，不合题意；当时，因，则，解得，产生矛盾，舍去；当时，，解得或，故或.综上，的取值范围为.19.已知函数．（1）若，求证：；（2）若，求证：在上恰有两个零点；（3）若不等式对任意的恒成立，求的值．（1）证明：若，则，当且仅当时等号成立，令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当且仅当时，等号成立，又等号不能同时取到，所以.（2）证明：若，所以，当时，，所以.当时，记，，故在上单调递增，又，所以，使得，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，又，所以在上恰有1个零点；因为，所以在上恰有1个零点．综上，在上恰有两个零点.（3）解：若不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成