2026年二项式定理二轮-专题

2026年二项式定理二轮---专题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．[2026届·安徽滁州·二模]试估计(

)（精确到0.0001）A.1.1462 B.1.1463 C.1.1045 D.1.1046答案：D解析：，因为，所以第五项及之后均可忽略不计，所以.2．[2025春·高二·山东聊城·期中校考]的计算结果精确到0.001的近似值是(

)A.0.930 B.0.931 C.0.932 D.0.933答案：C解析：.故选：C.3．[2026春·高二·厦门双十中学·月考]的展开式中,的系数是(

)A.60 B.30 C.20 D.10答案：A解析：由题意得,由二项式定理得的通项为,欲求的系数,则令,此时对应项为,后续我们再从找到只含的项即可,由二项式定理得的通项为,令,解得,此时对应项为,故的系数为,故A正确.故选:A4．[2026春·高二·长沙市第一中学·月考]展开式中的系数为(

)A.56 B.42 C.84 D.120答案：B解析：二项式展开式的通项公式为,因此展开式中含的项为,所以展开式中的系数为42.故选：B5．[2026春·高三·山东济南·月考校考]在的展开式中,的系数为(

)A.3 B.6 C.60 D.30答案：C解析：根据二项式定理,可得展开式的通项为（）.要求的系数,则的次数,此时.同样根据二项式定理,展开式的通项为（）.要得到,则令,解得.当,时,的系数为在的展开式中,的系数为60.故选:C.6．[2025秋·高三·新疆乌鲁木齐·月考校考]随机变量,若,则的展开式中的系数为(

)A.12 B.15 C.16 D.20答案：B解析：因为随机变量,正态曲线关于对称,由,可得,即,解得.则展开式的通项为,令,得,所以的系数为.故选：B.7．[2026春·高二·江苏·期中联考]记,若,则(

)A.1 B. C. D.答案：C解析：令,由,得,则,.8．[2026春·高二·江苏南京·月考校考]除以7的余数是(

)A.1 B.2 C.5 D.6答案：D解析：因为，其中所以，即，因此除以7的余数是6，故D正确.9．[2026春·高二·江苏南京·月考校考]二项式的展开式中的系数为(

)A. B. C. D.答案：C解析：二项式的通项为，则其展开式中的系数为.故选：C.10．[2026春·高二·江苏南通·月考校考]已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为(

)A.2 B.3 C.4 D.5答案：C解析：由题知，又，所以，展开式通项为，令，则，所以展开式中有4项的有理项.故选：C11．[2026春·高二·江苏连云港·月考校考]若展开式中常数项为60.则常数a的值为(

)A.4 B.2 C.8 D.6答案：A解析：展开式的通项为：.取得到常数项为，解得.故选：A.12．[2026春·高二·江苏连云港·月考校考]若，则(

)A.22 B.19 C. D.答案：C解析：由题意得所以.故选：C13．[2026春·高二·江苏南京·月考校考]下列选项中与最接近的数为(

)A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15答案：B解析：从选项可知精确到0.01即可.所以原式.14．[2026春·高二·江苏南京·月考校考]若的展开式中的系数为30，则(

)A.9 B. C.10 D.答案：A解析：由二项式定理，的通项为..其中产生项的来源有两部分：①与中项相乘：令，得，该项系数为；②与中项相乘：令，得，该项系数为.因此的系数为：.代入组合数计算：，，即，解得，.15．[2026届·四川眉山·二模]若的展开式中各项的二项式系数和为64，则展开式中含项的系数为(

)A.1 B.6 C.15 D.20答案：B解析：因为二项式系数之和为64，则，则.则二项展开式通项为，令，解得，则含的项的系数为.16．[2026届·青海海东地区·二模]的展开式中的系数为(

)A.8 B. C.32 D.答案：D解析：由题设，展开式通项为，时，的系数为.17．[2026春·高二·云南·月考校考]已知随机变量,且,则展开式中各项系数之和为(

)A.32 B.64 C. D.答案：A解析：因为,所以,解得,设,则当时,,故选：A.18．[2026春·高二·安徽宿州·月考联考]已知的展开式中的系数为48,则实数(

)A.2 B.1 C. D.答案：B解析：二项式的通项公式为.的展开式中,的系数为,解得.故选：B.19．[2026届·浙江温州·二模]若，则的值为(

)A.0 B.16 C.32 D.64答案：C解析：因为，令，得到，所以.20．[2026届·安徽·二模联考]被7除所得的余数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案：A解析：依题意，，而是7的整数倍，所以被7除所得的余数为1.21．[2026春·高三·北京海淀区·期中]已知，则(

)A. B.10 C. D.80答案：C解析：由二项式展开式的通项为，当时，可得，因为，所以，解得.22．[2026届·北京昌平区·一模]在的展开式中，含x的项的系数为(

)A. B. C.16 D.24答案：D解析：的展开式中含x的项为：，故含x的项的系数为2423．[2026届·北京西城区·二模]，则(

)A.16 B.65 C.80 D.81答案：C解析：由于，则，令，得，又因为，所以.24．[2026春·高二·重庆北碚区·月考校考]二项式的展开式中的常数项为(

)A.30 B.20 C.15 D.6答案：C解析：的通项为:,令,则展开式中的常数项为:.故选:C25．[2026届·黑龙江哈尔滨·一模]“的展开式中的系数为”是“”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：的展开式中的系数为，若的系数为60，则，故，所以“的展开式中的系数为60”推不出“”，反之，若，则展开式中的系数为，故“”能推出“的展开式中的系数为60”，故“的展开式中的系数为60”是“”的必要不充分条件.26．[2026届·吉林长春·二模]的展开式中的系数为160，则(

)A. B. C. D.2答案：D解析：二项式展开式的通项公式为，令，则可得展开式中的系数为，所以，解得.27．[2026届·江苏镇江·模拟考试联考]已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为(

)A. B.252 C. D.28答案：B解析：由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故，展开式中的系数为，故选：B28．[2026届·青海西宁·一模校考]设，则(

)A.1 B.2 C.31 D.32答案：C解析：令得：，令得：，所以.29．[2026届·北京房山区·一模]的二项展开式中的一项是(

)A. B. C. D.答案：D解析：因为,所以ABC不是的二项展开式中的项,是的二项展开式中的项.30．[2026届·河南洛阳·一模联考]已知,则(

)A.224 B. C. D.448答案：D解析：31．[2026春·高二·河南许昌·月考校考]的展开式中,的系数等于(

)A.45 B.10 C. D.答案：A解析：的通项为,令,解得,故的系数等于.故选：A.32．[2026春·高二·河南许昌·月考校考]若,则(

)A.243 B.27 C.1 D.答案：D解析：展开式通项为,当k为偶数时,为正数；当k为奇数时,为负数.所以.故选：D.33．[2026届·湖北咸宁·模拟考试校考]展开式中的系数为()A.56B.42C.84D.120答案：B解析：二项式展开式的通项公式为,因此展开式中含的项为,所以展开式中的系数为42.故选:B34．[2025春·高二·湖北·月考联考]除以7的余数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：由,所以S除以7余数为2.故选：C.35．[2026届·北京丰台区·一模]已知，则(

)A.8 B. C.40 D.答案：D解析：二项式的通项公式为，，，所以.36．[2026届·四川南充·二模]的展开式中的系数为(

)A.1 B.6 C.15 D.20答案：B解析：化简得到，的展开式通项为。令，即，得到，故的系数为6.二、填空题37．[2026届·河北·模拟考试]在的展开式中,常数项为__________.答案：解析：的展开式通项公式为,令,得,故.故答案为：.38．[2026届·内蒙古巴彦淖尔·二模校考]若的展开式的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为_______________.答案：60解析：由题可得,解得,所以展开式的通项为,令,解得,所以常数项为.故答案为:60.39．[2026届·河北保定·一模]若，则_____________.答案：32解析：题目给出二项式展开式，要求计算的值.观察所求表达式的结构：每一项可写为，因此整个表达式等价于将展开式中的x替换为后的结果，即：计算左边代入后的结果：40．[2026届·西藏拉萨·二模联考]二项展开式中项的系数是_____________.答案：40解析：展开式的通项公式为：，当时，的系数为.故答案为：40.41．[2026届·北京顺义区·模拟考试]已知,则________;________.答案：1;/解析：的展开式的通项是,令,得,则,令,得,则,令,得,则,,.42．[2026届·北京朝阳区·模拟考试]在的展开式中,常数项是__________.（用数字作答）答案：24解析：展开式的通项公式为令,即.的展开式中,常数项是故答案为24.43．[2026届·甘肃张掖·三模]的展开式中的系数为__________.答案：解析：因为的展开式通项为，其中含项的系数为0，含项的系数为，所以的展开式中的系数为.44．[2026届·内蒙古包头·二模]在的展开式中，含的项的系数是_____________.答案：16解析：易知含的项为，因此其系数为16.45．[2026届·湖北·二模联考]多项式的展开式的各二项式系数的和等于_____________.答案：32解析：多项式的展开式的各二项式系数的和等于.46．[2026届·陕西西安·二模校考]的展开式中常数项为_____________.答案：29解析：展开式的通项公式为，令，解得，则；令，解得，则，所以的展开式中常数项为.47．[2026春·高二·福建厦门·月考校考]的展开式中的系数为720,则__________.答案：2解析：二项式展开式的通项公式为,所以当时,展开式中的系数为.故答案为:248．[2026届·陕西西安·模拟考试校考]在的展开式中,的系数为___________.（用数字作答）答案：解析：展开式的通项,令得,所以的系数为.49．[2026春·高二·江苏南京·月考校考]展开式中的系数为____________.（用数字作答）答案：解析：展开式中含的项为，故展开式中的系数为.50．[2026届·湖南师大附中·一模]已知，则______________.答案：243解析：因为，令，得，两边同时乘以32，得.51．[2026届·广西河池·二模]展开式中含的系数为___________.答案：解析：根据二项式定理，展开式的通项为.所以通项为.令，代入得：.因此系数为.52．[2026届·辽宁鞍山·二模]的展开式中的系数为________.答案：解析：展开式的通项是，当时，，则的系数为53．[2026届·四川宜宾·一模校考]若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为_____________.答案：40解析：二项式系数之和为，所以，因为的展开式的通项公式为：，当时，所以，则展开式中的系数为40.故答案为：40.54．[2026届·天津北辰区·一模]展开式中的系数为_____________.（结果用数字表示）答案：28解析：因为展开式的通项公式为，所以展开式中的系数为.故答案为：2855．[2026届·安徽淮北·三模校考]若的展开式中的系数是，则实数_______.答案：解析：因为，所以由，因此.56．[2026届·陕西榆林·二模]的展开式中的系数为________.答案：解析：的展开式中的项为：，所以的展开式中的系数为.57．[2026届·湖南·二模联考]已知展开式中的系数为，则_________.答案：解析：的展开式的通项为，则的系数为，解得.58．[2026届·河北·一模联考]已知二项式展开式中的系数为40，则实数______.答案：解析：二项式的通项为，因为二项式展开式中的系数为40，所以令，解得，即，解得.59．[2026届·山西太原·二模联考]的展开式中的系数为______.答案：解析：的展开式中的系数即为的展开式中的系数，又二项式的展开式的通项为，令，可得，的展开式中的系数为.60．[2026届·天津东丽区·一模]在的展开式中x的系数为_____________.答案：20解析：因为的展开式中x的项为，所以的展开式中x的系数为20.61．[2026届·天津·一模联考]在的展开式中，的系数为_____________.（结果用数字表示）答案：45解析：根据二项式定理，的展开式为.要在的展开式中得到项，需分两种情况计算：①取2与中的项相乘：中项的系数为，此部分的系数为.②取与中的项相乘：中项的系数为，此部分的系数为.综上所述，的系数为.62．[2026届·甘肃武威·模拟考试联考]的展开式中所有奇数项的系数和为________.答案：121解析：展开式的通项为,,当,2,4时,,,,其系数和为.63．[2025春·高二·山东菏泽·期中]的展开式中,的系数为______________.答案：解析：把变形为,可得：要得到,则的展开式中x的次数与y的次数之和为,即,解得.当时,.再根据二项式定理展开,要得到,则,此时该项系数为.因为中展开式中的系数为6,所以展开式中的系数为.故答案为:.64．[2026春·高二·安徽合肥·月考联考]的展开式中的常数项为______________.答案：解析：因为,二项式的展开式的通项为,,所以的展开式中的常数项,所以的展开式中的常数项,所以的展开式中的常数项,故的展开式中的常数项为.65．[2026届·江西·二模联考]的展开式中的系数为______________.答案：解析：含的项为，系数为.66．[2025春·高二·湖南娄底·期中联考]展开式中的常数项为_______.答案：解析：二项式展开式的通项为（且）,令,解得,所以,即展开式中的常数项为.故答案为:67．[2026届·江苏南京·二模联考]已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等,则__________.答案：6解析：由题得,所以,故答案为:6.68．[2026届·江苏南京·二模联考]对满足的任意正整数对,定义函数如下:,,则________________（结果用含i的式子表示）;__________________（结果用含j的式子表示）.答案：;解析：由可得,,,,,…,,累乘得:,,,（）,令,则;因为,所以,,故答案为:,69．[2026届·全国·二模联考]的展开式中的系数为________________.答案：解析：的展开式中的系数即为的展开式中的系数.又二项式的展开式的通项为，令，可得，的展开式中的系数为.70．[2026届·济南市历城第二中学·一模]的展开式中的系数是____________.答案：5解析：的展开式通项为，令解得，所以展开式中的系数是.71．[2026届·贵州遵义·二模]的展开式中的系数是____________.答案：5解析：的展开式通项为，令解得，所以展开式中的系数是.72．[2026届·甘肃陇南·二模校考]在的展开式中，若各项系数和为0，则____________.答案：1解析：在的展开式中，各项系数和即在中令可得，所以当时，，所以.故答案为：1.73．在的展开式中，项的系数为_____________.答案：10解析：中项的系数，即从4个括号中选择一个括号出常数，其余3个括号出x，常数可能为1，2，3，4，所以项的系数为.74．[2026届·浙江嘉兴·一模联考]展开式中的系数为_________.答案：42解析：,先计算第一个式子项的系数为=35,再计算第二个式子的项的系数为,所以原式项的系数为35+7=42;故答案为:42.75．[2026春·高二·河南许昌·月考校考]在的展开式中,项的系数为___________________.答案：解析：因为,其中展开式的通项为,,所以的展开式中含的项为,所以项的系数为.故答案为：.76．[2026届·北京石景山区·模拟考试]若的展开式的二项式系数和为32,则__________,的系数为__________.答案：5;解析：由题意知,展开式的二项式系数和为32,即,所以,故展开式的通项公式,令,可得,所以展开式中的系数是.77．[2026届·天津和平区·模拟考试]在的展开式中,的系数为___________.（用数字作答）答案：解析：展开式的通项,令得,所以的系数为.78．[2026届·天津河北区·模拟考试]二项式的展开式中常数项为__________.(用数字作答)答案：60解析：二项式的展开式的通项公式,由,得,则,所以二项式的展开式中常数项为60.故答案为:6079．[2026届·甘肃定西·模拟考试联考]的展开式中,项的系数为______.（用数字作答）答案：解析：先根据二项式定理写出展开式的通项公式,再令通项公式中x的次数为3,求出对应的r值,最后代入通项公式求出项的系数.三、解答题80．[2026春·高二·河南洛阳·月考校考]已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求的展开式中,(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项.答案：(1)(2)解析：(1)令,则的系数和为,而的二项式系数和为,由题设,,可得,则,解得,所以的展开式通项为,要使二项式系数最大即,则.(2)要使系数的绝对值最大,即最大,则,可得,所以,又,即,故系数的绝对值最大的项为.81．[2026春·高二·福建·月考]设.已知.（1）求n的值;（2）设,其中,求的值.答案：（1）;（2）-32.解析：（1）因为,所以,.因为,所以,解得.（2）由（1）知,..解法一:因为,所以,从而.解法二:.因为,所以.因此.82．[2026春·高二·江苏连云港·月考校考]设，求：（1）；（2）；（3）.答案：（1）；（2）8256；（3）16384.解析：（1）取得到，取得到，两式相加得到.（2）根据（1）知：.（3）展开式的通项为：，故当r为偶数时，对应系数为正；当r为奇数时，对应系数为负，故.83．[2025春·高二·吉林·月考校考]已知（）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是.(1)求二项式系数之和；(2)求展开式中各项系数的和；(3)求展开式中含的项.答案：(1)256(2)1(3).解析：(1)由题意知：展开式的通项为,所以第五项系数为,第三项系数为,则,解得：,或（舍去）.所以二项式系数之和为；(2)令可得展开式中各项系数的和为；(3)二项式的通项公式为,令,则,展开式中含的项为.84．[2026春·高二·重庆北碚区·月考校考]已知的展开式中,第3项与第5项的二项式系数相等,（1）求n;（2）求展开式的常数项;（3）求展开式中系数最大的项.答案：（1）6（2）160（3）解析：（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等,所以,解得.（2）由已知得,其展开式的通项为,令,解得,则展开式的常数项为.（3）由已知得展开式的通项为,则第项的系数为,设第项的系数最大,则,解得,因为是整数,所以,此时系数最大的项为.85．[2025春·高二·山东菏泽·期中](1)请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选,则按第①个计分）；①,②.(2)某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队,并选举1人担任班长,共有多少种不同的选举方法?一方面,可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队,再从8人中选取1人做班长,则共有种选举方法；另一方面,也可以首先从50名同学中选取1人做班长,再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委,则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论,并证明你的结论；(3)化简：.答案：(1)证明见解析；(2),证明见解析；(3).解析：(1)①证明：；②证明：.(2)令50为n,8为m,由,可得.证明：.(3)由(2)得,即,原式.86．[2025春·高二·山东菏泽·期中]已知,求解：(1)；(2)；(3)；(4).答案：(1)(2)(3)(4)解析：(1)令,得①.(2)令,得②,由①②,得,所以.(3)因为,的展开式通项为,所以,当k为奇数时,；当k为偶数时,.所以.(4),两边分别求导,得,令,得.87．已知数列中，，当时，为的展开式第3项的二项式系数.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，数列的前n项和为，求证：.答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）因为的展开式的第3项为，所以当时，，当时，，所以.（2）因为，所以当时，，所以数列的前n项和，当时，，又，所以.四、多项选择题88．[2026春·高三·山东济南·月考校考]已知二项式的展开式中各二项式系数和为64,则下列说法正确的是(

)A.展开式共有6项 B.二项式系数最大的项是第4项C.展开式的常数项为120 D.展开式中各项的系数和为1答案：BD解析：由题知,得到,所以展开式共有7项,故选项A错误,对于选项B,因为,由二项式系数的性质知二项式系数最大的项是第4项,所以选项B正角,对于选项C,二项式的展开式的通项公式为,由,得到,所以展开式的常数项为,所以选项C错误,对于选项D,令,则,所以展开式中各项的系数和为,故选项D正确,故选:BD.89．[2026春·高二·江苏·期中联考]下列各式正确的是(

)A.已知,则x的取值为6或7B.C.将8个相同小球放入4个不同盒子中,每个盒子至少放一个小球,则共有70种不同放法D.的展开式中的系数为答案：ABD解析：对于A,因为,所以或,解得或,故A正确；对于B,由组合数的性质可知：,所以,所以,故B正确；对于C,利用隔板法可知,原问题即为将8个相同小球排成一列,在中间7个空隙中放入3个隔板即可,所以共有种不同放法,故C错误；对于D,因为的展开通项为：,而的展开式中的系数由两部分组成：第一部分是与的展开式中的系数的积,即；第二部分是的系数-1与的展开式中的系数的积,即,所以的展开式中的系数为,故D正确.90．[2026春·高二·福建厦门·月考校考]已知,且第5项与第8项的二项式系数相等,则(

)A. B.展开式的二项式系数和为C.展开式的各项系数和为 D.答案：AD解析：对于A:由题意可得,则,故A正确;对于B:因为,所以展开式的二项式系数和为,故B不正确;对于C:令,则展开式的各项系数和为,所以C不正确;对于D:令,得,令,得,所以,故D正确.91．[2026春·高二·福建·月考]若,则下列选项正确的有(

)A.B.展开式中所有项的二项式系数的和为C.奇数项的系数和为D.答案：ABD解析：对于A:因为,因此,故A正确;对于B:展开式中所有项的二项式系数的和为,故B正确;对于C:令,可得;再令,可得,将两式相加,即得展开式中所有奇数项系数的和为,故C错误;对于D:令,则,再令,可得,所以,故D正确.92．[2026届·山东青岛·模拟考试校考]设函数，且记，则(

)A.数列的首项为1 B.数列的前10项和为512C.数列的前10项和为 D.数列的前10项和为0答案：BD解析：由题意知，是常数项，是x的系数，……