七年级数学下册期末强化试卷含答案

七年级数学下册期末强化试卷含答案

学校：姓名：_班级:考号:

一、选择题

1.下列计算正确的是()

A.(a2)4=a8B.a2*a4=a8

C.(a+b)2=a2+b2D.a2+a2=aA

2.如图，图中的内错角的对数是()

C.5对D.6对

3.不等式2x—Kx+1的解集在数轴上表示正确的是()

A-J―।-।―i_।।_R—।—।—।—k—।-।—

-1012345-1012345

r-J_I_I_,111”

.-1012345

D.»।।1—1_।-I—►

-1012345

4.下列计算正确的是()

A./+/=/B.ah4-6z2='C.(/)=a'D.2ax3a=6«2

6x-5>a

若。使得关于的不等式组工有且仅有个整数解，且使得关于的方程

5.xx-1<一12y4y

146------2

-3a=2(y-3)有正数解，则所有满足条件的整数a的个数为()

A.6B.5C.4D.3

6.下列命题是真命题的是()

A.如果a</?<0,则->7

ab

B.如果|a|=|b|,那么a=b

C.两个锐角的和是钝角

D.如果一点到线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点

7.某电子玩具底座平面是一个正方形48c。，甲、乙两只电子蚂蚁分别沿着底座的外围环

行:，已知A8=50cm,甲、乙分别从正方形A8co的顶点4C出发，同时沿正方形的边开

始移动，甲依顺时针方向环行，乙依逆时针方向环行，若乙的速度为4cm/s,甲的速度为

lcm/s,则它们第2021次相遇在边（)上.

BCC.CDD.DA

8.如图所示，在四边形纸片ABCD中，ZA=80°,ZB=70°,将纸片沿着MN折叠，使C,D

分别落在直线AB上的C,步处，则NAW7+ZBNC等于（)

A.50°B.60°C.70°D.80°

二、填空题

9.计算：（gq3b）•（-2bc2）=_.

10.“若两条直线不相交，则这两条直线平行”是命题.（填"真〃或"假"）

11.已知一个多边形的每一个内角都等于150。，则这个多边形的边数是.

12.若m2=〃+2021,n2=m+2021那么代数式加一的值

x=2f/nx+ny=8______

।是二元一次方程组{।的解，则万不二的值为________.

{y=1[nx-my=I

14.如图，△A8c的边长A8=3cm,8c=4cm,AC=2cm,将△48C沿8c方向平移acm（o

<4cm）,得到△OEF,连接AD,则阴影部分的周长为cm.

D

B

15.若某个正多边形的每一个外角都等于其相邻内角的3,则这个正多边形的边数是

16.如图，NC4。和NCBD的平分线相交于点P.请写由NC、N。、NP的数量关系

三、解答题

17.计算：

(1)-I202、(」]_(3.[4一4)。；

\2)

(2)(一,『)3-6/•/：

(3)(2x+y)(>'-2x)+(x-3y)2.

18.因式分解:

(1)4x2-9y2；

(2)3m2n-1Smir+27n.

19.解方程组：

2x-7<3(x-l)①

20.解不等式组

21.请填空，完成下面推理过程.

如图，AB//CD,AD//BC,8E平分448C,。尸平分NA0C.求证：BEHDF.

13

证明：

•「AB//CDt（已知）

ZABC+ZC=180°.

又7ADI/BC,（已知）

ZADC+ZC=180°.

ZABC=ZADC.

•.・应'平分。尸平分/AQC（已知）

/.Z1=-Z^C,Z2=-ZADC.

22------

Z1=Z2.

AD//BC,（已知）

N2=/3.

N1=N3,

BEUDF.

22.快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣.已知购买甲型机器

人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24

万元；两种机器人的单价与每小时分拣快递的数量如下表：

甲型机器人乙型机器人

购买单价（万元/台）mn

每小时拣快递数品（件）12001000

（1）求购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价m和，分别为多少万元/台？

（2）若该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，购买甲型机器人不超过4台，并且使

这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8400件，则该公司有几种购买方案？哪种方

案费用最低，最低费用是多少万元？

23.材料1：我们把形如心+by=c（。、b、。为常数）的方程叫二元一次方程.若。、b、

。为整数，则称二元一次方程与为整系数方程.若卜|是向，网的最大公约数的整倍

数，则方程有整数解.例如方程31+4），=2,7%-3），=5,公+2y=6都有整数解；反过来也成

立.方程6x+3），=10和4x-2y=l都没有整数解，因为6,3的最大公约数是3,而10不是3

的整倍数；4,2的最大公约数是2,而1不是2的整倍数.

材料2：求方程5x+6y=100的正整数解.

解：由已知得：x=1O°-6V=1Q°-1V-V=20-..…①

设］=%（4为整数），贝口=5攵……②

把②代入①得：x=20-6^.

x=20-6k

所以方程组的解为，

y=5k

20-6攵>0

根据题意得:

5k>0

解不等式组得0<kV号.所以女的整数解是1,2,3.

Y=[4x=8x=2

所以方程5x+6y=IOO的正整数解是：’一一

y=5（y=10[y=15

根据以上材料回答下列问题：

（1）下列方程中：①3X-9），=11,②15x—53，=70,③6x+3y=lll,（4）27x-9y=99,

⑤9Lx-26=169,⑥22x+121y=324.没有整数解的方程是（填方程前面的

编号）;

（2）仿照上面的方法，求方程版+4），=38的正整数解；

（3）若要把一根长30m的钢丝截成2m长和3m长两种规格的钢丝（两种规格都要有）,问

怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程）

图1图2图3

（习题回顾）己知：如图1,在-A4C中，ZACT=90°,是角平分线，C。是高，AE.

。。相交于点F.求证：NCFE=NCEF；

（变式思考）如图2,在.44。中，NAC3=90。，C。是AB边上的高，若.A4C的外角4AG

的平分线交。。的延长线于点尸，其反向延长线与4c边的延长线交于点E,则NCEE与

NC£F还相等吗？说明理由；

（探究延伸）如图3,在,A3C中，48上存在一点力，使得NAC£>=N8,NBAC的平分线

AE交CD于点、F.八3c的外角NBAG的平分线所在直线MN与的延长线交于点M.直

接写出NM与NCFE的数量关系.

25.在一八区。中，射线AG平分的。交8C于点G,点。在边上运动（不与点G重合）,

过点。作DEIIAC交AB于点E.

（1）如图1,点。在线段CG上运动时，DF平分NEDB.

AA

①若N&1C=1O（V,ZC=30\则Z4">=_____；若N6=40'，则Z4H）=:

②试探究NAH）与D8之⑶的数量关系？请说明理由；

（2）点。在线段BG上运动时，N8DE的角平分线所在直线与射线AG交于点心试探究

N4U>与DZ?之间的数最关系，并说明理由.

【参考答案】

一、选择题

1.A

解析：A

【分析】

根据完全平方公式，幕的乘方公式，同底数幕的乘除法法则逐一判断选项即可.

【详解】

解：A.（出）4=*,故该选项正确；

B.a2^=a6,故该选项错误；

C.（a+b）2=a2+2ab+b2,故该选项错误；

D.a2+a2=2a2,故该选项错误.

故选A.

【点睛】

本题主要考查整式的运算，熟练掌握完全平方公式，累的乘方公式，同底数鬲的乘除法法则

是解题的关键.

2.C

解析：C

【分析】

利用内错角的定义分析得出答案.

【详解】

解：如图所示：内错角有：NFOP与NOPE,NGOP与NOPD,

NCPA与/HOP,NFOP与/OPD,NEPO与NGOP都是内错角，

故内错角一共有5对.

故选：C.

G

C.

F

【点睛】

此题主要考查了内错角的定义，正确把握内错角的定义是解题关键.

3.B

解析：B

【分析】

不等式移项合并，把x系数化为1,求出解集，表示在数轴上即可.

【详解】

解：不等式移项合并得：把2,

表示在数轴上，如图所示：

-1012345

故选：B.

【点睛】

此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

4.D

解析：D

【分析】

分别根据合并同类项、同底数累的除法、哥的乘方、整式的乘法法则进行计算，即可求解.

【详解】

A、/与/不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不合题意；

B、原选项计算错误，不合题意;

C、(/)'=/,原选项计算错误，不合题意；

D、2ax3a=6/,原选项计算正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了合并同类项、同底数塞的除法、幕的乘方、整式的乘法等知识，熟知相关运算公

式和法则是解题关键.

5.B

解析：B

【分析】

解不等式组，利用有且只有2个整数解，确定a的取值范围；解4y-3a=2(y-3),利用有

正数解，也可确定a的取值范围.同时满足两个条件的。的取值范围最终确定，由于。为整

数，取。的整数解，结论可得.

【详解】

6x-52afx<4

解：解不等式组xx-11，得、5+〃，

------------<-x>-------

〔4626

••・不等式组有且只有2个整数解，即x=2,3；

解得：1<a7.

•/4y-3a=2(y-3),解得，y=6,

关于y的方程4y-3a=2(y-3)有正数解,

3a-6

——>0,

2

a>2,

2<a<7,

.「a为整数，

a=3,4,5,6,7.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了一元一次不等式组的解法，含参数的方程的解法.依据已知条件得出a的取

值范围是解题的关键.

6.A

解析：A

【解析】

分析：根据不等式的性质对A进行判断；根据绝对值的意义对B进行判断；根据锐角在大

小对C进行判断：根据中点的定义对D进行判断.

【解答】解：A、因为。<〃<0,所以所以A选项正确；

ab

B.|a|=|b|,则丹=13或3=七，所以B选项错误;

B、三角形的一个外角大于与之不相邻的任何一个内角，所以B选项错误；

C、两个锐角的和有可能是锐角，有可能是直角，也有可能是钝角，所以C选项错误；

D、线段上一点到该线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点，所以D选项错误.

故选：A.

点睛：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命

题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理.

7.D

解析：D

【分析】

先求出第?071次相遇时点4的总路程，再求出点4移动的圈数和余数，可得结果.

【详解】

解：第一次相遇：

路程和为：100cm,

相遇时间:100-r(4+1)=20秒，

第二次相遇：

路程和为：50x4=200cm,

相遇时间：200-5-(4+1)=40秒，

之后的每次相遇，相遇时诃都为40秒，

则第2021次相遇所需总时间为：20+40x2020=80820秒，

此时甲的总路程为：80820xl=80820cm,

808204-200=404...20,

即甲从4点出发走了404圈，另加20cm,即在AD上，

故选D.

【点睛】

本题主要考查行程问题中为相遇问题，规律型问题，难度较大，注意先通过计算发现规律然

后再解决问题.

8.B

解析：B

【分析】

首先根据四边形内角和定理可得ND+/C=210。，再利用折叠性质可得/MDB^D,

NNCA=4C,即NMDB+4NCA=210。，从而得出NMDA+ZNCB=150。,最后进一步

利用三角形内角和定理求解即可.

【详解】

•••ZA=80°,ZB=70°,

ZD+ZC=3600-ZA-ZB=210%

由折叠性质可得：ZMDB=ND，NNCAMC,

ZMDB+/NCA=210c,

••/MDA+ZNCB=360<-(ZMDB+/NCA)=150。，

「•/AMD+N8NC=360°-(/MDA+ZNCB)-(ZA+Z8)=60°,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了三角形与四边形内角和定理以及折叠的性质，熟练掌握相关概念是解胭关

键.

二、填空题

9.--a3b2c2

3

【分析】

直接利用单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里

含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，进而得出答案.

【详解】

12

解：(-a3h)•(-?br2)=——a3b2c2,

33

故答案为：一2c2.

【点睛】

本题考查了单项式乘单项式法则，熟练掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键.

10.假

【分析】

若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行，也有可能异面.

【详解】

解：若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面，故是假命题.

故答案为：假.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查学生的推理能力，属于基础题.

11.12

【分析】

先求出多边形一个外角的度数，然后根据多边形的外角和为360。，求出边数即可.

【详解】

解：•・•多边形的每一个内角都等于150。，

•••多边形的每一个外角都等于180°-150°=30°,

•••边数〃=360。+300=12.

故答案为：12.

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，解题的关健根据外角和定理求出多边形的边

数.

12,-2021

【分析】

将两式WF+2021,〃2=m+2021相减得出将加=o+2021两边乘以m,n2=m+2021

两边乘以。再相加便可得出.

【详解】

解：将两式m2=〃+2021,M=m+2021相减，

得m2-n2=n-m,

(m+n)(m-n)=n-m,(因为mwc,所以"”0),

m+n=-lt

将m2=n+2021两边乘以m,得m3=mn+2021m①，

将n2=m+2021两边乘以得n3=mn+2O21n②，

由①+②得：m3+n3=2mn+2021(m+n),

m3+n3-2mn=2021(m+n),

m3+n3-2mn=2021x(-1)=-2021.

故答案为-2021.

【点睛】

本题考查因式分解的应用，代数式m3-2m〃+〃的降次处理是解题关键.

13.2

【分析】

X=2|77LV4-/7y=8

根据题意，将"弋入二元一次方程组｛1,得到关于m、〃的二元一次方程组,

y=i—殴=1

求出后代入即可.

【详解】

JV=2nixIny=8

将।代入二元一次方程组,,

y=\[/ir-my=J

+〃=8

得r「

2n~/n=]

in=3

解得,，

n=2

yflm-n>

=>j2x3-2，

="，

=2»

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考杳了解二元一次方程组，算术平方根，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解

法.

14.A

解析：9

【分析】

根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC-BE可得出EC的长，进而得

出阴影部分周长.

【详解】

将△沿方向平移

VAB=3cvnf8c=4cm,AC=2cm,ABC8cacm

/.DE=AB=3cm,BE=acm

EC=BC-BE=(4-a)cm

阴影部分周氏=2+3+(4-a)+a=9cm

故答案为：9

【点睛】

本题考查平移的特点，解题关键是利用平移的性质，得出EC=BC-BE.

15.8

【分析】

根据每个外角都等于相邻内角的，并且外角与相邻的内角互补，就可求出外角的

度数；根据外角度数就可求得边数.

【详解】

解：设外角是x度，则相邻的内角是3x度.

根据题意得：xi3x=180

解析：8

【分析】

根据每个外角都等于相邻内角的：，并且外角与相邻的内角互补，就可求出外角的度数；根

据外角度数就可求得边数.

【详解】

解：设外角是x度，则相邻的内角是3x度.

根据题意得：x+3x=180,

解得x=45.

则多边形的边数是：360°T45°=8.

故答案为：8.

【点睛】

本题考查了多边形的内角和与外角和的知识.此题难度不大，注意掌握方程思想的应用是解

题关键一

16.2ZP=ZD+ZC

【分析】

根据三角形的外角性质、角平分线的定义得到NCAD+NP=NCBD+ZC,

NCAD+ND=NCBD+NP,两式相减整理即可.

【详解】

解：,/ZBFA=NPAC+ZP,Z

解析：2NP=Z。+NC

【分析】

根据三角形的外角性质、侑平分线的定义得到:/C4D+/P=g/C8D+NC,C4D-ZD

=^CBD^P,两式相减整理即可.

【详解】

解：ZBFA=Z.PAC+Z.P,ZBFA=NPBC+Z.C,

ZPAC+Z.P=NP8C+NC,

■「NCAD和NCBD的平分线相交于点P,

：.ZPAC=Z.PAD=g/CAD,ZP8C=ZPBD=；NCBD,

CAD+2P=-ZCBD+NC①，

ZDEP=Z.PAD+ND,ZDEP=Z.EBP+Z.P,

：.jZCAD+ZD=^-ZCRD+ZP②，

①-②，得NP-N0=NC-NP,

整理得，2/P=ZD+ZC,

故答案为：2ZP=ND+ZC.

上B

/^E\/

D\/C

P

【点睛】

本题考查角平分线定义，三角形外角性质，以及等式的性质，掌握角平分线定义，三角形外

角性质，以及等式的性质是解题关键.

三、解答题

17.（1）2；（2）；（3）

【分析】

（1）利用乘方，负指数累，零指数基法则分别计算，再作加减法；

（2）利用哥的乘方和同底数累的乘法法则计算，再合并；

（3）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并

6

解析：（1）2；（2）-7«;（3）-3X2+10/-6AT

【分析】

（1）利用乘方，负指数累，零指数辕法则分别计算，再作加减法；

（2）利用哥的乘方和同底数哥的乘法法则计算，再合并；

（3）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并即可得到结果.

【详解】

解：（1）-叫+6）_（3.14一万）。

=-1+4-1

=2；

(2)(-t/2)-6a2-a4

=-a6-(>a('

=-7a6；

(3)(2x+y)(y-2x)+(x-3y)2

=y2-4x2+x2+9y2-6.p

=—3/+1Oy2-

【点睛】

此题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.(1)；(2)

【分析】

(1)利用平方差公式分解因式即可得到答案；

(2)先提取公因式“3n〃，再利用完全平方公式分解因式即可得到答案.

【详解】

解：(1)

*9

(2)

【点睛】

本题主

解析：(1)(2x+3)，)(2x—3)，)；(2)3〃(〃L3〃)2

【分析】

(1)利用平方差公式分解因式即可得到答案；

(2)先提取公因式“3”，再利用完全平方公式分解因式即可得到答案.

【详解】

解：⑴4x2-9y2

=(2叶-(3»

=(2x+3y)(2x-3y);

(2)3/7?%-1+27〃'

=3〃(〃/-6/7W+9n2)

=3〃(〃7-3〃)2.

【点睛】

本题主要考杳了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握分解因式的方法.

19.(1).(2)

【分析】

(1)利用代入法计算即可；

(2)利用加减消元法计算即可.

【详解】

解：⑴，

把②代入①得，3x-2x=5,

解得：x=S,

把x=5代入②得：y=10,

」•方程组的

x=5x=5

解析：(1)(2),

y=\0)'=1

【分析】

(1)利用代入法计算即可；

(2)利用加减消元法计算即可.

【详解】

3x-y=5①

解：⑴

y=2x@

把②代入①得，3x-2x=5,

解得：x=5,

把x=5代入②得：y=lC,

x=5

方程组的解为

y=10

J-jr+2y=-3@

(2)x+y=6®，

①+②得，3y=3,

解得：y=l,

把y=l代入②式得：x=5,

x=5

•••方程组的解为

v=l

【点睛】

本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运月二元一次方程组的解法，本题属J-

基础题型.

20.【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间

找、大大小小解不了确定不等式组的解集即可.

【详解】

解：解不等式①得，，

解不等式②得，，

.•.原不等式组的解集为.

解析：-4<x<2

【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小

小解不了确定不等式组的解集即可.

【详解】

解：解不等式①得，x>-4,

解不等式②得,工2,

.•・原不等式组的解集为2.

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；

同小取小；大小小大中间找；大大小小解不了〃的原则是解答此题的关键.

21.两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；角平分线的定义；两直线平

行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行

【分析】

根据平行线的性质与判定，角平分线的定义进行证明即可得到答案.

【详解】

解析：两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；角平分线的定义；两直线平行，内错

角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行

【分析】

根据平行线的性质与判定，角平分线的定义进行证明即可得到答案.

【详解】

证明：・••ABUCD,（已知）

J.ZABC+ZC=180，（两直线平行,同旁内角互补）

又AD//BC,（已知）

NAOC+NC=180.

ZABC=ZADC,（同角的补角相等）

•••BE平分〃BC,力川平分/ADC（已知）

Z2=1/ADC,（角平分线的定义）

Z1=Z2.

,/AD//BC,（已知）

/2=/3.（两直线平行，内错角相等）

Z1=Z3,（等量代换）

BE//DF.（同位角相等，两直线平行）

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关

知识进行求解.

22.（1）甲、乙两种型号的机滞人每台价格分别是6万元、4万元；（2）公司有

3种购买方案，分别是购买甲型机器人2台，乙型机器人6台，购买甲型机器人

3台，乙型机器人5台，购买甲型机器人4台，乙型机器人4台；

解析：（1）甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元；（2）公司有3种购买

方案，分别是购买甲型机器人2台，乙型机器人6台，购买甲型机器人3台，乙型机器人5

台，购买甲型机器人4台，乙型机器人4台；该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6

台这个方案费用最低，最低费用是36万元

【分析】

（1）根据甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元和购买甲型机器人2台，乙型机

器人3台，共需24万元，列出方程组，进行求解即可；

（2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人（8-a）台，根据两种型号的机器人共8

台，每小时分拣快递件数总和不少丁8400件，列出不等式，求出a的取值范围，再利用

次函数找到费用最低值.

【详解】

解：（1）根据题意得：

fm+2n=14

12m+3〃=24'

m=6

解得：

n=4

答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元.

（2）设该公可购买甲型机器人。台，乙型机器人（8-。）台，

根据题意得：1200。+1000（8-。）28400,

解得：a>2,因为。工4,a为正整数，

」.a的取值为2,3,4,

•••该公司有3种购买方案，分别是

购买甲型机器人2台，乙型机器人6台，

购买甲型机器人3台，乙型机器人5台，

购买甲型机器人4台，乙型机器人4台，

设该公司的购买费用为w万元，则w=&，+4（8-a）=2a+32,

1/k=2>0,

・•.w随a的增大而增大，

当a=2时,w最小，叫小=2x2+32=36（万元），

.•.该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元.

【点睛】

此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的应用，分析题意，根据关键描

述语，找到合适的数最关系是解决问题的关键.

23.（1）①⑥；（2）,,；（3）有四种不同的截法不浪费材料，分别为2长的钢

丝12根，3长的钢丝2根：或2长的钢丝9根，3长的钢丝4根：或2长的钢丝

6根，3长的钢丝6根；或2长的钢丝3根，3长的钢丝8根

t=2x-*6x]0

解析：（1）①⑥；（2）'一°,~,一r；（3）有四种不同的截法不浪费材料，分

y=8（y=5[y=2

别为2m长的钢丝12根，3m长的钢丝2根；或2m长的钢丝9根，3m长的钢丝4根：或

2m长的钢丝6根，3m长的钢丝6根；或2m长的钢丝3根，3m长的钢丝8根

【分析】

（1）依据题中给出的判断方法进行判断，先找出最大公约数，然后再看能否整除C,从而

来判断是否有整数解；

（2）依据材料2的解题过程，即可求得结果；

（3）根据题意，设长的钢丝为工根，3〃?长的钢丝为了根（尤丁为正整数）.则可得关于

x,y的二元一次方程，利用材料2的求解方法，求得此方程的整数解，即可得出结论.

【详解】

解：（1）①3x+9y=ll,因为3,9的最大公约数是3,而11不是3的整倍数，所以此方

程没有整数解；

②15x-5.y=70,因为15,5的最大公约数是5,而70是5的整倍数，所以此方程有整数

解；

③6x+3y=lll,因为6,3的最大公约数是3,而111是3的整倍数，所以此方程有整数

解；

④27x-9），=99,因为27,9的最大公约数是9,而99是9的整倍数，所以此方程有整数

解；

⑤91x-26=169,因为91,26的最大公约数是13,而169是13的整倍数，所以此方程

有整数解；

⑥22x+121y=324,因为22,121的最大公约数是11,而324不是11的整倍数，所以此

方程没有整数解：

故答案为：①⑥.

（2）由已知得：变三1=空等二2=12—y+g.①

设—=k（k为整数），则y=2—3h②

把②代入①得：x=10+4A.

x=10+4左

所以方程组的解为r>.

y=2-3k

10+4/;>0

根据题意得:

2—3攵>0

解不等式组得：一生vkv］

所以a的整数解是-2,-1,0.

x=2fx=6fx=10

故原方程所有的正整数解为：。，〈，c

y=8Iy=5［y=2

（3）设2加长的钢丝为x根，长的钢丝为丁根（苍）为正整数）.

根据题意得：2.C3），=30.

所以.空=咨二2=157-］.

设］=女（女为整数），则y=2h

x=15—3k

.二4

…j=2A'

［15-3^>0

根据题意得：2Q0'解不等式组得：OS".

所以攵的整数解是1,2,3,4.

r=l2x=9x=6x=3

故2x+3y=30所有的正整数解为：;~

，<»

&=2y=4y=6[y=8

答：有四种不同的截法不浪费材料，分别为2，〃长的钢丝12根，3m长的钢丝2根；或2，“

长的钢丝9根，3加长的钢丝4根；或2机长的钢丝6根，3"?长的钢丝6根；或2加长的钢

丝3根，3机长的钢丝8根.

【点睛】

此题主要考查了求二元一次方程的整数解，理解题意，并掌握利用一元一次不等式组求二元

一次方程的整数解的方法及是解题的关键.

24.［习题回顾］证明见解析；［变式思考］相等，证明见解析；［探究延伸］

ZM+ZCFE=90°,证明见解析.

【分析】

［习题回顾］根据同角的余角相等可证明NB=ZACD,再根据三角形的外角的性质

即可

解析：［习题回顾］证明见解析；［变式思考］相等，证明见解析；［探究延伸］NM+/CFE=90。,

证明见解析.

【分析】

［习题回顾］根据同角的余角相等可证明/B=ZACD,再根据三角形的外角的性质即可证明；

【变式思考］根据角平分线的定义和对顶角相等可得/CAF=ZDAF、再根据直角二角形的性质

和等角的余角相等即可得出痔；

［探究延伸］根据角平分线的定义可得NEAN=90°,根据直角三角形两锐角互余可得

ZM+ZCEF=90\再根据三角形外角的性质可得NCEF=NCFE,由此可证NM+NCFE=90。.

【详解】

［习题回顾］证明：•••NACB=90°,CD是高,

ZB+ZCAB=90°,ZACD+ZCAB=90°,

ZB=ZACD,

AE是角平分线,

ZCAF=ZDAF,

ZCFE=ZCAF+ZACD,ZCEF=ZDAF+ZB,

ZCEF=ZCFE；

［变式思考］相等，理由如F：

证明：:AF为/BAG的角平分线，

ZGAF=ZDAF,

,.1ZCAE=ZGAF,

/.ZCAE=ZDAF,

,「CD为AB边上的高，ZACB=9O°Z

ZADC=90°,

ZADF=ZACE=90\

/.ZDAF+ZF=90°,ZE+ZCAE=90°,

/.ZCEF=ZCFE；

［探究延伸］/M+ZCFE=90%

证明：•「（：、A、G三点共线AE、AN为角平分线，

/.ZEAN=90°,

又•••ZGAN=ZCAM,

ZM+ZCEF=90°,

ZCEF=ZEAB+ZB,ZCFE=ZEAC+ZACD,ZACD=ZB,

ZCEF=ZCFE,

ZM+ZCFE=90°.

【点睛】

本题考查三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的有关证明，等角或同角

的余角相等.在本题中用的比较多的是利用等角或同角的余角相等证明角相等和三角形一个

外角等于与它不相邻的两个内角之和，理解并掌握是解决此题的关键.

25.(1)①115。，110。：②，证明见解析：(2),证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)①根据角平分线的定义求得NCAG=NBAC=50。；再由平行线的性质可得

ZEDG=ZC=30°,ZFMD=

解析：(1)①115°,110°：@ZAFD=9O°+1ZB,证明见解析；(2)ZAFD=90°,

证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)①根据角平分线的定义求得NCAG=；NBAC=50。；再由平行线的性质可得

ZEDG=ZC=30\ZFMD=ZGAC=50°；由三角形的内角和定理求得NAFD的度数即可；已知

AG平分NBAC,DF平分NEDB,根据角平分线的定义可得NCAG=-ZBAC,ZFDM=-ZEDG；

22

由DF//AC,根据平行线的性质可得/FDG=ZC,/FMD=ZGAC：即可得/FDM

+ZFMD=-ZEDG+ZGAC=-ZC+-ZBAC=-(ZBAC+ZC)=-xl40o=70°；再由三角形的

22222

内角和定理可求得/AFD=1100；

②NAFD=90°+1zB,已知AG平分NBAC,DF平分/EDB,根据角平分线的定义可得

J

ZCAG=-ZBAC,ZFDM=-ZEDG：由DE〃AC,根据平行线的性质可得NEDG=NC,

22

ZFMD-ZGAC：由此可得/FDM+ZFMD--ZEDG+ZGAC--ZC+-ZBAC--(NBAC+zC)

2222

=-x(180°-ZB)=90°--zB；再由三角形的内角和定理可得NAFD=90°+,/B；

222

(2)ZAFD=90°-yZB,已知AG平分/BAC,DF平分NEDB,根据角平分线的定义可得

ZCAG=-ZBAC,ZNDE=-ZEDB,即可得NFDM=NNDE='/EDB；由DE〃AC,根据平行

222

线的性质可得NEDB=NC,ZFMD=ZGAC；即可得到NFDM=NNDE='/C,所以/FDM