山西省2026年初中学业水平考试数学模拟试卷（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页山西省2026年初中学业水平测评（二）数学注意事项：1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1．下列有理数中，最小的数是（

）A． B．0 C． D．12．某校为庆祝“青春无问西东，奋斗自成芳华”主题校园文化节的成功，定制了一批各面分别刻有“奋”“斗”“自”“成”“芳”“华”的正方体纪念品．如图是该正方体的一种展开图，则“奋”字所在面的相对面上的汉字是（

）A．自 B．成 C．芳 D．华3．如图，直角三角板角的顶点在直尺（两边缘平行）的边缘上．若，则∠2的度数为（

）A． B． C． D．4．一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．6．如图，是的中位线，是的中点连接并延长，与边交于点，则的值为（）A． B． C． D．7．如图，四边形为的内接四边形，为的直径，连接．若，则的度数为（

）A． B． C． D．8．体育课上，小强、小刚、小文进行三人传球游戏．游戏规则为：传球时，持球人将手中的球随机传给其他两人中的任意一人．已知开始时，持球人是小强，则经过两次传球后，球回到小强手中的概率为（）A． B． C． D．9．某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据：通电时间01234…水温2030405060…则下列说法正确的是（）A．加热到用时B．与之间的函数表达式为C．加热过程中，水温高于的时间为D．小林在8：06可以接到不低于的水10．如图，是的直径，点，在上，，过点作的切线交的延长线于点．若，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．第II卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置）11．计算：______．12．如图是甲、乙两名运动员最近10次百米跑测试成绩（单位：s）的折线统计图．已知两名运动员这10次测试成绩的平均数相同，若从中选择一名发挥较稳定的运动员参加市级百米跑比赛，则应选择_____运动员．（填“甲”或“乙”）13．随着科技的发展，智能手表逐渐成为人们关注的电子产品．若某品牌智能手表原售价为元/个．现进行促销活动，先打八折，再优惠元，那么该智能手表现在的售价为_____元/个．（用含，的代数式表示）14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，顶点的坐标为，对角线轴．若，则点的坐标为_____．15．如图，在中，为边上一点，，为边的中点，连接．若，，，则的长为_____．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．计算和解方程组(1)；(2)17．现有两种热门文创产品：青铜器书签和青花瓷钥匙扣．某校决定购买这两种文创产品作为运动会的奖品．已知购买4个青铜器书签的费用与购买5个青花瓷钥匙扣的费用相同，用320元购买青铜器书签的数量比用320元购买青花瓷钥匙扣的数量少2个．求青铜器书签和青花瓷钥匙扣的单价．18．随着人工智能的快速发展，对于中学生来说，大模型辅助学习应该定位为一个“启发式助教”或“知识伙伴”，其核心目标是利用激发学生的好奇心、辅助理解难点，同时严防其对自主思考和基础能力造成冲击．某校研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，抽取了该校50名学生一周使用大模型辅助学习的时间（单位：），将所得数据分组整理，得到如下不完整的频率分布表与扇形统计图．一周使用大模型辅助学习时间频率分布表组别AI大模型辅助学习时间频率ABCDE请根据以上信息，完成下列问题：(1)表格中_____，其中D组的人数为_____，B组所在扇形圆心角的度数为_____．(2)若将A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取，，，，，请求这50名学生一周使用大模型辅助学习时间的平均数．(3)若学校规定：一周使用大模型辅助学习的时间低于90min比较合理．根据本次调查的数据结果，请对该校学生大模型辅助学习的情况作出评价，并提出一条合理化建议．19．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴的正半轴上，且的面积为24，反比例函数的图象经过的中点．(1)求的值．(2)若点，在反比例函数的图象上，且点，的横坐标分别为2，6，请直接写出直线的表达式和的面积．20．在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树(如图1)的高度，下面是测量该松树高度的实践报告．主题测量松树的高度测量过程如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B的仰角∠BPO，并测得斜坡PA的坡度i，然后他沿着斜坡PA行走至点A，在坡顶A处又测量松树顶B的仰角．(图中所有点均在同一竖直平面内)示意图测量数据∠BPO=45°，∠BAC=55°，AP=13m，坡度参考数据请你根据以上实践报告；求出松树的高度BC（结果保留整数）．21．阅读与思考下面是小欣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．垂等四边形【概念理解】对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形．

例如，图1中的四边形的对角线与满足关系：，且，则四边形是垂等四边形．【问题解决】问题1：如图2，在垂等四边形中．对角线与交于点．若，，，则对角线的长为▲．问题2：如图3，在四边形中，，，且．求证：四边形是垂等四边形．证明：如图3，过点作的垂线，交的延长线于点．，，．又，……任务：(1)请直接写出问题1中“▲”处空缺的内容为_____．(2)请补全问题的证明过程．(3)智慧小组进行了探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动．如图4，在中，已知是弦，，是半径．求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

22．综合与实践问题背景：为贯彻落实相关精神，各地市近年来普遍提升了中考体育的分值，某市自2026年起实施新的中考体育方案，总分由原来的60分提升至70分，其中掷实心球是该市中考体育考试选考项目之一．相关数据：根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球落地点到起点的水平距离大于或等于时，即可获得满分．数据收集：体育课上，小明投掷实心球，并利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的数据如下表：01234567数学建模：建立如图所示的平面直角坐标系，根据表中的数据描点、连线，小明发现，实心球的运动路径是二次函数图象的一部分．(1)求实心球运动路径对应的函数表达式，并求出其运动过程中的最大高度．问题解决：(2)投掷实心球后，在实心球运动的过程中，当实心球的竖直高度为时，求实心球到起点的水平距离．(3)根据该市中考体育考试评分标准（男生版），判断小明在此次投掷中是否能得到满分，请说明理由．23．综合与探究问题情境：数学活动课上，老师带领同学们进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题．初步探究：(1)如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明．拓展探究：(2)“逐梦组”改变四边形的形状继续探究．如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．若，，求的值．（用含，的代数式表示）深入探究：(3)在（2）的基础上，若，，为射线上一点，且，请直接写出的长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】根据有理数大小比较法则，负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的数反而小比较各数即可．【详解】解：∵，，且，∴，由此可得四个数的大小关系为，因此最小的数是．2．D【详解】解：“奋”字所在面的相对面上的汉字是“华”．3．C【分析】根据角的和差求出，再根据平行线的性质即可求解．【详解】解：如图，∵，，∴，∵尺子的两边平行，∴．4．A【分析】计算判别式的值后与0比较大小，即可判断方程根的情况.【详解】解：∵一元二次方程为，∴，，，计算根的判别式得，∴该一元二次方程有两个不相等的实数根.5．A【分析】分别求出每一个不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为，表示在数轴上如图所示：6．B【分析】由三角形中位线的性质得到，，再由点M是的中点，得到，由得到，根据相似三角形的对应线段成比例即可求解．【详解】解：∵是的中位线，∴，，∴点M是的中点，∴，∵，∴，∴，∴．7．B【分析】由是直径得到，进而求出，再根据圆的内接四边形的对角互补求解即可．【详解】解：∵是直径，∴，∵，∴，∵四边形为的内接四边形，∴．8．A【分析】找出所有可能传球路线，得到等可能的情况总数，再找出球最后回到小强手中的情况数，根据概率公式计算即可．【详解】解：所有可能传球路线为∶小强→小刚→小文；小强→小刚→小强；小强→小文→小刚；小强→小文→小强；因此共有4种等可能情况，其中球最后回到小强手中的有2种情况，故概率为．9．D【分析】根据表格数据判断与为一次函数关系，求出函数表达式和停止加热时的通电时间，再逐一判断各选项即可．【详解】解：由表格数据可知，通电时间x每增加，水温增加，因此是的一次函数．设，∵当时，；当时，，∴，解得，∴当时，，解得，∵加热到，养生壶自动停止加热，∴，∴与的函数表达式为．对各选项逐一判断：A选项：当时，，解得，即用时，故本选项错误；B选项：函数表达式为，不是，故本选项错误；C选项：当时，，解得，∵，∴水温高于的时间为，故本选项错误；D选项：∵8∶00接通电源，8∶06接水，∴通电时间为，当时，，∵∴小林在8：06可以接到不低于的水，故本选项正确．10．D【分析】连接，，由圆周角定理得到，，在中解直角三角形得到，再求得，根据扇形面积公式求出．由是切线得到，解直角三角形求出，从而根据求解即可．【详解】解：连接，，∵是直径，∴∵，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴．∵是切线，∴，∴，∴，∴．11．##【分析】运用完全平方公式，结合二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：．12．乙【分析】根据统计图，得到乙的数据波动小，求解即可．【详解】解：根据题意，得乙的数据波动小，故选乙．13．【分析】先求出原售价打八折后的价格，再减去优惠的金额，即可得到现在的售价．【详解】解：原售价为元/个，打八折后的售价为元/个，再优惠元，因此现在的售价为元/个．14．【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合点在轴上及轴，利用中点坐标公式确定点的横坐标．过点作轴的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出点的纵坐标即可求解．【详解】解：设点的坐标为四边形是平行四边形对角线与互相平分点的坐标为，轴点的横坐标为3点在轴上点的横坐标为0设与的交点为，则点为的中点点的横坐标为又点为的中点点的横坐标为，解得过点作轴于点点的坐标为在中，，由勾股定理得：点在第一象限点的坐标为．15．

3177【分析】过点作于点，利用锐角三角函数及勾股定理求出的长，根据三角形外角的性质及已知条件证明为等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质得出，证明，利用相似三角形的对应边成比例求出的长．【详解】解：过点作于点，在中，，设，则，由勾股定理得，即，解得(负值舍去)，，，，在中，，是的外角，，，，，为的中点，，，，，，又，，，为的中点，，，．16．(1)0(2)【分析】（1）先计算绝对值，立方根，括号内的加法，再计算乘法，最后计算加减即可．（2）运用加减消元法求解即可．【详解】（1）解：．（2）解：，，得，解得，把代入②，得，解得，∴方程组的解为．17．青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元．【分析】设青铜器书签的单价为x元，则青花瓷钥匙扣的单价为元，根据数量差列方程并解方程即可．【详解】解：设青铜器书签的单价为x元，则青花瓷钥匙扣的单价为元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的根．此时，答：青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元．18．(1)；10；(2)(3)见解析【分析】（1）根据频率之和等于1，频数等于样本容量乘以频率，圆心角的计算办法，求解即可．（2）根据加权平均数的定义求解即可．（3）根据学习的需要去解答即可．【详解】（1）解：根据题意可知，,故；D组的人数为；B组所在扇形圆心角的度数为．（2）解：根据题意，得．（3）解：学生使用大模型辅助学习超过了规定时间，应予以管理；建议学生合理安排使用大模型辅助学习，避免过度依赖，把时间控制在合理范围内．19．(1)12(2)；16【分析】（1）设点，点，根据题意，得，，求解即可；（2）根据反比例函数解析式，确定P、Q的坐标，利用待定系数法，分割法求解即可；【详解】（1）解：设点，点，的面积为24，反比例函数的图象经过的中点，，，，，．（2）解：根据题意，得反比例函数的解析式为，当时，，∴；当时，，∴；设直线的解析式为，根据题意，得，解得，∴．如图，过点P作轴于点N，过点Q作轴于点M，令交于点G，∴，，根据反比例函数的性质，得，∴，∴，∴，∴．20．23m【分析】过点A作，延长交于点E，利用三角函数得出，利用坡比的概念，进而即可求解．【详解】解：过点A作，延长交于点E，则四边形是矩形，∵的坡度，，∴设，∴，解得：（负值舍去），∴，设，则，∴，∵，∴，即，解得：答：松树的高度约为．21．(1)10(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据，求得，等量代换求解即可．（2）根据定义证明即可．（3）根据圆的性质，定义作图即可；【详解】（1）解：在垂等四边形中．对角线与交于点．，且，，，，，解得故对角线的长为10．（2）证明：如图，过点作的垂线，交的延长线于点．，，．又，四边形是平行四边形，．，，，，，故四边形是垂等四边形．（3）解：作的垂直平分线，交于点G，并在此垂直平分线上，截取，则，根据，得到，，延长分别交圆于点C，D，连接，则，故，故，故四边形是垂等四边形．则四边形即为所求．22．(1)；；(2)(3)不能得到满分，见解析【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入两个点的坐标，求解即可；（2）根据题意，得，解方程即可．（3）当时，得，求得实心球到起点的水平距离，与满分成绩对比，解答即可