对学生数学抽象能力和建模能力的培养的实践-高一-数学-论文

对学生数学抽象能力和建模能力培养的实践徐刚成都市实验中学【摘要】一元二次不等式在高中阶段具有承上启下的重要作用，它既衔接了初中一元二次方程、二次函数的内容，同时与为高中阶段学习新的初等函数之后的不等式恒成立问题做了铺垫。本文将从教材变化、三者间联系、常考点三个方面分析一元二次不等式问题对数学抽象、数学建模等能力的培养，体现了一元二次不等式的重要性。【关键词】一元二次不等式；二次函数；一元二次方程；数学抽象；数学建模1新教材中一元二次函数、方程与不等式的重要地位普通高中教科书（人民教育出版社A版2019年）REF_Ref149660102\r\h[1]将一元二次不等式由旧版（人民教育出版社）的必修五REF_Ref149660396\r\h[2]第三章第2节调整为必修第一册第二章第3节，将基本不等式从人教旧版当中的放在第2节（图1），因此新教材中一元二次函数、方程及不等式在人教版新教材当中的承上启下作用更加明显。（图左）（图右）图1（图左为人教A版新教材、图右为旧教材）人教版新教材将一元二次函数、方程与不等式放到第一章的后面，不难看出，其目的是更好的让教师针对初中阶段数学知识相对具体，高中阶段数学知识相对抽象这一特征，帮助学生完成从初中到高中学习的过渡REF_Ref149659826\r\h[1]。用函数理解方程和不等式是数学的基本方法。通过对一元二次函数、方程与不等式这一单元的学习，帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式，理解函数方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性REF_Ref149660495\r\h[4]。通过对现实情境或数学情境中，概括出数学对象的一般特征，初步学会用自然语言、图形语言、符号语言表达数学研究对象，重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。2一元二次不等式、方程与二次函数的联系类比初中的一次函数、一元一次方程、不等式，我们很清楚的知道函数图像上方所有点的横坐标组成的集合就是一元一次不等式的解集，下方所有点的横坐标组成的集合就是一元一次不等式的解集，与坐标轴的交点和横坐标就是一元一次方程的实数根。由一次的函数、不等式、方程三者之间的关系我们可以类比得到二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系，如下表1：表1二次项系数，二次函数、一元二次方程、不等式的联系判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根的解集的解集3一元二次不等式的常考题型题型1一元二次不等式与二次函数关系①意味着中部分，②意味着中部分，处理技巧：，求出两个根，；根据图像可知：开口向上时，大于取两边，小于取中间，开口向下时，大于取中间，小于取两边.注意：处理此题时，主要确定的正负及快速画出图象在处理这一类问题时，我们虽然抽象出来一元二次不等式本质就是二次函数当中（或者）部分，但是在处理时我们往往借助于数形结合的思想帮助我们解决不等式的问题。如下面例1.例1：不等式的解集是（）A． B． C． D．解：第一步：解一元二次方程第二步：开口向上，小于取中间 故答案为C题型2一元二次不等式与韦达定理模型一：已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式.对于这一类问题，我们主要根据不等式当中的解集端点值往往就是一元二次方程的两根（），我们在解题时往往把握住方程根与系数之间的关系列出方程组，通过等量代换的方式求解。但是如果我们把握住不等式本质特征做一定变形，由不等式的解集，得到不等式的解集，即不等式的解集.通过数学抽象的能力将我们的代数式当中蕴含的一个关系抽象概括出来，在解决某一类问题时，会帮助我们节约很多时间。由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．模型二：已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集例2：已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的一元二次不等式的解集为（）A． B．C．，D．，，解：常规方法由于关于的一元二次不等式的解集为，所以，所以，所以不等式等价于，即，解得.故选C.特殊方法：题型3一元二次不等式与判别式①已知关于的不等式的解集为，则约束条件一定满足．②已知关于的不等式的解集为，则约束条件一定满足．③已知关于的不等式的解集为，则约束条件一定满足．④已知关于的不等式的解集为，则约束条件一定满足．从另外一种角度去思考如果我将不等式左边的函数看成一个函数关于已知关于的不等式的解集为就变为了不等号右边函数在区间R上恒大于0，因此需要满足的条件为函数的最小值一定要大于0，这就意味着，这也为解决函数的恒成立问题奠定了基础，通过数学抽象的思维，我们就把握住了恒成立问题可以函数的最大值，最小值问题进行求解。只是学生还未学习到后面的幂函数、指数函数、对数函数等，并且二次函数的性质较为特殊，所以在这里可以通过讨论二次项系数以及的范围进行求解。但是我们不能忘记恒成立问题可以转化为函数最大值、最小值问题进行求解，在解决这类问题时，通常借助函数的性质，如单调性、奇偶性解决问题。例3：不等式的解集为，那么()A． B． C．D．解：因为不等式的解集为，所以对应的二次函数开口向上，与轴无交点或只有一个交点即可，所以需满足.故选：C题型4一元二次含参的一元二次不等式问题二次项系数为1的含参一元二次不等式应遵循以下步骤：第一步：分解因式得到，求出两个根，．第二步：比较两个根的大小，令；解得第三步：当时，画出对应的图象，得出答案. 当时，画出对应的图象，得出答案.当时，画出对应的图象，得出答案.二次项系数含参的一元二次不等式问题应遵循以下步骤：第一步：①二次项系数含参②③利用分解因式或求根公式，求根且根中含参，两个方程根相等求出④方程根=区间端点求出第二步：根据的值，分区间讨论（在每个区间里随便取个值验证两根的大小）第三步：画出图象，秒出答案例4：设函数.解关于x的不等式.解：不等式，即为，即为，第一步：求①二次项系数含参，②③利用分解因式或求根公式，求根且根中含参，两个方程根相等求出④方程根=区间端点求出，无区间无需讨论第二步：根据的值，分区间讨论①时，不等式为，其解集为；②时，不等式为，其解集为；③时，不等式为，（ⅰ）时，解集为；（ⅱ）时，解集为；（ⅲ）时，解集为.例5定区间动轴与动区间定轴问题针对此类题目应遵循以下步骤第一步：快速画出三个图象（谁定先画谁，然后左中右）第二步：分别写出三个图象的约束条件从而求参数范围.例5：关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C． D．解：此题属于定区间动轴问题第一步：快速画出三个图象动轴为，定区间为图2图3图4第二步：分别写出三个图象的约束条件图2：图3：图4：综上：题型六：通过一元二次不等式解决实际问题与一元二次不等式相关的一些实际问题往往与经济、面积等问题有关，对于生活中实际问题来讲我们一般要从我们的文字语言中抽象出我们的数学语言，并且根据数学语言的信息，建立合适的函数模型进行求解。学生往往在做题时往往出现问题的并不是不知道如何解决数学问题，难点在于对文字语言和数学语言当中的转化，学生能够准确无误的将实际问题转化为数学问题借助其数学抽象以及数学建模能力。例6：某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（

）A． B．C．D．分析：根据已知条件，先求出该厂每天获得的利润的函数解析式，再结合每天获利不少于1300元，列出不等式求解即可．解：设该厂每天获得的利润为y元，则．由题意，知，即，解得：，所以日销量x的取值范围是．故选：B．4总结在教学中教师应当重点培养学生数学抽象和数学建模能力，学生能够通过学习，获得必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，培养发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，这就是我们作为一名数学教师的初衷。参考文献人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．人教A版普通高中教科书•数学•必