(2025年)(完整版)时间序列习题(含答案)

(2025年)(完整版)时间序列习题(含答案)一、基础概念与理论1.判断题（正确填√，错误填×）（1）若时间序列{Xₜ}的均值函数E(Xₜ)=μ（常数），自协方差函数γ(k)=Cov(Xₜ,Xₜₖ)仅与k有关，则{Xₜ}一定是严平稳时间序列。（）（2）白噪声序列的自相关函数（ACF）在k=0时为1，k≠0时恒为0。（）（3）AR(p)模型的平稳性条件是其特征方程的所有根都在单位圆外。（）（4）MA(q)模型的可逆性条件是其特征方程的所有根都在单位圆内。（）2.选择题（单选）（1）以下哪项不是时间序列平稳性的必要条件？（）A.均值为常数B.方差为常数C.自协方差函数仅与滞后阶数k有关D.序列无趋势项和季节项（2）对于AR(2)模型Xₜ=0.5Xₜ₋₁+0.3Xₜ₋₂+εₜ（εₜ~WN(0,σ²)），其平稳性条件为（）A.|0.5|+|0.3|<1B.0.5+0.3<1且0.3-0.5<1C.特征方程1-0.5z-0.3z²=0的根绝对值均大于1D.特征方程1-0.5z-0.3z²=0的根绝对值均小于1（3）若某时间序列的ACF在k=1处显著不为0，k≥2时趋近于0；PACF在k=1处显著不为0，k≥2时趋近于0，则该序列最可能服从（）A.AR(1)B.MA(1)C.ARMA(1,1)D.白噪声二、模型识别与参数估计3.已知某平稳时间序列{Xₜ}的样本自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）如下表：滞后阶数k12345ACF0.60.30.10.050.02PACF0.60.050.030.010.00（1）判断该序列服从的模型类型及阶数；（2）写出该模型的具体形式（假设截距项为0）；（3）若已知γ₀=Var(Xₜ)=5，γ₁=Cov(Xₜ,Xₜ₋₁)=3，求模型的参数估计值。三、预测与应用4.设AR(2)模型为Xₜ=0.8Xₜ₋₁-0.15Xₜ₋₂+εₜ（εₜ~WN(0,1)），已知X₁₀=5，X₉=4，X₈=3。（1）计算一步预测值Ŷ₁₁=E(X₁₁|X₁₀,X₉,X₈,...)；（2）计算两步预测值Ŷ₁₂=E(X₁₂|X₁₀,X₉,X₈,...)；（3）说明预测误差方差随预测步长增加的变化趋势。四、非平稳时间序列分析5.某城市2018-2023年共72个月的月用电量（单位：百万千瓦时）序列{Yₜ}的ADF检验结果如下：检验类型滞后阶数t统计量1%临界值5%临界值10%临界值含截距项2-2.15-3.51-2.89-2.58（1）写出ADF检验的原假设与备择假设；（2）根据检验结果判断{Yₜ}是否存在单位根（显著性水平α=0.05）；（3）若对{Yₜ}进行一阶差分得到ΔYₜ=Yₜ-Yₜ₋₁，其ADF检验t统计量为-4.23（5%临界值-2.89），说明差分后的序列是否平稳。五、综合建模题6.某电商平台2020年1月至2024年12月共60个月的月销售额（单位：万元）序列{Zₜ}的部分分析结果如下：时序图显示序列有明显上升趋势，无显著季节波动；一阶差分后的序列ΔZₜ=Zₜ-Zₜ₋₁的ACF和PACF如下：ACF：k=1时0.4，k=2时0.1，k≥3时绝对值均小于0.05；PACF：k=1时0.4，k≥2时绝对值均小于0.05；单位根检验表明ΔZₜ为平稳序列；尝试拟合AR(1)、MA(1)、ARMA(1,1)模型，AIC值分别为215.3、220.1、217.8。（1）说明原序列{Zₜ}是否为平稳序列，需如何处理；（2）根据差分后的ACF和PACF特征，判断最可能的模型类型；（3）结合AIC准则选择最优模型；（4）若最优模型为ΔZₜ=0.4ΔZₜ₋₁+εₜ（εₜ~WN(0,σ²)），且已知Z₆₀=500，Z₅₉=480，预测2025年1月（t=61）的销售额Z₆₁。答案一、基础概念与理论1.（1）×（严平稳要求所有有限维分布不随时间平移改变，宽平稳仅要求均值和自协方差满足条件）；（2）√；（3）×（AR(p)平稳性要求特征方程根在单位圆外，即|z|>1）；（4）√（MA(q)可逆性要求特征方程根在单位圆内，即|z|<1）。2.（1）D（平稳性是宽平稳的条件，无趋势和季节项是趋势平稳的要求，非必要）；（2）C（AR(p)平稳性条件是特征方程根绝对值大于1）；（3）A（AR(p)的PACF在p阶截尾，ACF拖尾；MA(q)的ACF在q阶截尾，PACF拖尾；本题PACF在k=1截尾，ACF拖尾，故为AR(1)）。二、模型识别与参数估计3.（1）模型类型为MA(1)。理由：ACF在k=1处显著（0.6），k≥2时趋近于0（截尾）；PACF拖尾（无明显截尾），符合MA(q)模型特征（q=1）。（2）MA(1)模型形式：Xₜ=εₜ+θ₁εₜ₋₁（θ₁为MA参数，εₜ~WN(0,σ²)）。（3）MA(1)模型的自协方差函数满足：γ₀=σ²(1+θ₁²)=5，γ₁=σ²θ₁=3。联立方程得：θ₁=γ₁/γ₀×(1+θ₁²)→θ₁=3/5×(1+θ₁²)→5θ₁=3+3θ₁²→3θ₁²-5θ₁+3=0。解得θ₁=[5±√(25-36)]/6（无实根，说明假设截距项为0时可能存在计算误差，实际应使用样本ACF估计θ₁：ρ₁=γ₁/γ₀=3/5=0.6，MA(1)的ρ₁=θ₁/(1+θ₁²)，代入得0.6=θ₁/(1+θ₁²)→0.6θ₁²-θ₁+0.6=0→解得θ₁=1或θ₁=1/0.6≈1.666（舍去绝对值>1的根，因MA(1)可逆性要求|θ₁|<1），故θ₁=1。此时σ²=γ₁/θ₁=3/1=3，验证γ₀=3×(1+1²)=6≠5，说明样本数据可能存在近似，实际取θ₁≈0.6（由ρ₁=0.6直接估计），则σ²=γ₀/(1+θ₁²)=5/(1+0.36)=5/1.36≈3.68。三、预测与应用4.（1）AR(2)模型的一步预测：Ŷ₁₁=0.8X₁₀-0.15X₉=0.8×5-0.15×4=4-0.6=3.4。（2）两步预测时，X₁₁的预测值为3.4，因此Ŷ₁₂=0.8Ŷ₁₁-0.15X₁₀=0.8×3.4-0.15×5=2.72-0.75=1.97。（3）ARMA模型的预测误差方差随预测步长增加而增大，最终趋近于序列的无条件方差。对于AR(2)模型，一步预测误差方差为σ²=1，两步预测误差方差为σ²(1+φ₁²)（具体公式需根据模型参数计算），但总体趋势是随步长增加而递增。四、非平稳时间序列分析5.（1）原假设H₀：序列存在单位根（非平稳）；备择假设H₁：序列无单位根（平稳）。（2）t统计量=-2.15>5%临界值-2.89，未拒绝原假设，故{Yₜ}存在单位根，非平稳。（3）差分后ΔYₜ的t统计量=-4.23<5%临界值-2.89，拒绝原假设，差分后序列平稳。五、综合建模题6.（1）原序列{Zₜ}非平稳（有时序图显示上升趋势，ADF检验应存在单位根），需进行一阶差分处理。（2）差分后的ACF在k=1截尾（k≥2时不显著），PACF拖尾（k≥2时不显著），符合MA(1)模型特征；但实际ACF和PACF在k=1处均显著，可能为AR(1)（PACF截尾）。结合ACF和PACF特征，AR(1)更可能（PACF在k=1截尾，ACF拖尾）。（3）AIC越小模型