商不变规律（导学案）-小学数学四年级上册核心素养导向下的深度学习设计

商不变规律（导学案）——小学数学四年级上册核心素养导向下的深度学习设计

一、教学内容与学情分析

（一）教学内容定位【非常重要】

本课“商不变规律”是北师大版小学数学四年级上册第六单元“除法”中的核心内容，也是“数与代数”领域的一条基本性质。它是在学生已经熟练掌握多位数除以两位数笔算、理解除法意义的基础上进行教学的。本课不仅是对除法运算知识的深化，更是后续学习分数的基本性质、比的基本性质以及简便计算、代数化简的重要基石，在整个小学数学知识体系中起着承上启下的关键作用。本课时的学习，旨在引导学生经历“数学化”的过程，从具体的计算实例中抽象出一般的数学模型，体会“变与不变”的辩证关系，感悟函数思想。

（二）学情分析【基础】

四年级的学生已经具备了一定的观察、比较和归纳能力，能够进行初步的逻辑推理。他们对除法的意义及各部分名称有清晰的认识，能够熟练进行除法计算。然而，商不变规律是一种“函数思想”的雏形，对于学生而言，从“变”的表象中抓住“不变”的本质，并用严谨的数学语言进行概括，具有一定的挑战性。特别是对“0除外”这一关键条件的理解，是学生认知的盲区和思维的难点。此外，学生容易对规律产生机械记忆，而忽略其背后的算理和应用条件的灵活性。因此，本课教学必须基于学生的真实认知起点，通过丰富的实例和深度的探究，帮助学生建构起对规律的本质理解。

二、教学目标设计

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，结合核心素养导向，本课的教学目标设定如下：

1.知识与技能【重要】【高频考点】：学生通过观察、比较、讨论，能够发现并理解“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变”的规律。能运用商不变规律进行除法的简便计算，并能解决简单的实际问题。

2.过程与方法【核心素养】：学生经历“观察发现—提出猜想—举例验证—归纳规律”的完整探究过程，积累数学活动经验，发展合情推理能力和抽象概括能力。渗透“变与不变”的函数思想和模型思想。

3.情感态度与价值观：学生在自主探究和合作交流中体验数学结论探究的严谨性与科学性，培养理性精神和科学态度。感受数学的内在规律之美，激发学习数学的兴趣。

三、教学重难点

1.教学重点【非常重要】：引导学生通过观察、比较，自主发现并归纳商不变的规律。

2.教学难点【难点】：理解“同时乘或除以”、“相同的数”、“0除外”这些关键词的含义，特别是理解为什么“0除外”，并能运用规律解决实际问题，尤其是涉及余数变化的辨析题。

四、教学准备

教师准备：多媒体课件（PPT）、探究学习单。

学生准备：计算本、笔。

五、教学实施过程【核心环节，占绝大部分篇幅】

（一）创境质疑，激活经验——故事中的“变与不变”

1.情境导入：【基础】上课伊始，教师利用多媒体课件生动讲述“猴王分桃”的故事。课件同步展示：猴王说：“把8个桃子平均分给2只小猴子。”小猴们嚷着：“不够，不够！”猴王又说：“那我把80个桃子平均分给20只小猴子。”小猴们还是不满意。猴王接着说：“好吧，那就把800个桃子平均分给200只小猴子吧。”小猴们这才笑了起来。猴王也笑了。

2.引发冲突：【重要】教师顺势提问：“同学们，你们都笑了。为什么小猴们最终笑了，猴王也笑了？这里藏着什么秘密吗？”引导学生从故事中提取出隐含的数学算式：8÷2=4，80÷20=4，800÷200=4。

3.聚焦核心：【热点】教师追问：“观察这三道算式，你发现了什么？”引导学生发现被除数和除数都变了，但商没有变，都是4。从而引出本节课的核心问题：“被除数和除数发生了怎样的变化，才能保证商不变呢？”板书课题：商不变规律。

（二）自主探究，发现规律——算例中的“变与不变”

1.初次观察，发现端倪：【重要】教师出示探究学习单上的核心题组（改编自教材），要求学生先独立计算，再仔细观察。

（1）6÷2=3

（2）60÷20=3

（3）600÷200=3

（4）6000÷2000=3

2.聚焦变化，引导描述：教师引导学生按照两种顺序进行观察。

（1）从上往下观察：第（2）、（3）、（4）题与第（1）题相比，被除数和除数发生了什么变化？商呢？

预设学生回答：第（2）题被除数和除数都乘10，商还是3；第（3）题被除数和除数都乘100，商还是3；第（4）题被除数和除数都乘1000，商还是3。

教师提炼板书：被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变。

（2）从下往上观察：第（3）、（2）、（1）题与第（4）题相比，被除数和除数又发生了什么变化？商呢？

预设学生回答：第（3）题被除数和除数都除以10，商还是3；第（2）题被除数和除数都除以100，商还是3；第（1）题被除数和除数都除以1000，商还是3。

教师提炼板书：被除数和除数同时除以一个相同的数，商不变。

3.初步归纳，形成猜想：【基础】引导学生将两个发现合并成一句话：“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变。”教师强调，这只是我们从一组算式中得到的初步猜想。

（三）深度探究，验证规律——多例中的“变与不变”

1.小组合作，自主验证：【非常重要】教师指出：“仅仅从一个例子得到的结论，我们称之为猜想。数学是严谨的，我们需要用更多的例子来验证这个猜想是否普遍成立。”教师出示小组合作要求：

（1）每人独立仿写一组算式，使它们符合“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变”的规律。

（2）在小组内轮流交流你写的算式，并说明你是如何变化的。

（3）观察所有成员写的算式，讨论：你们有什么新的发现或疑问？

2.学生活动，教师巡视：教师深入各小组，观察学生编写的算式，捕捉有价值的生成性资源，特别是针对“相同的数”可能出现的不同情况（整数、小数、分数等），以及可能出现的“0”的情况。重点关注学困生的完成情况，给予个别指导。

3.汇报交流，思维碰撞：【难点】【热点】各小组代表上台展示并汇报本组验证的算式。教师有选择性地板书几组典型例子。

（1）展示整数倍的例子：如12÷4=3，120÷40=3，1200÷400=3。学生说明是同时乘10、100。

（2）展示除以整数的例子：如200÷40=5，20÷4=5，2÷0.4=5。学生说明是同时除以10，或者同时除以100。这里自然引出被除数和除数可以不是整十、整百数，相同的数也可以是小数。

（3）重点展示涉及“1”的例子：如15÷5=3，15×1÷5×1=15÷5=3，学生发现乘1或者除以1，虽然符合规律，但数字没变，说明“1”是相同的数的一种特殊情况。

4.聚焦核心，突破难点——为什么“0除外”？【非常重要】【高频考点】

教师引导学生观察板书，突然指向一个“陷阱”：“刚才大家写的数都很丰富，有2、5、10、100，还有0.5等。那这个相同的数能不能是0呢？”

一石激起千层浪。教师组织学生针对“如果同时乘0或除以0会怎样”展开辩论。

（1）乘0的情况：引导学生尝试，如8÷2=4，如果被除数和除数同时乘0，得到0÷0，这个算式成立吗？0÷0等于多少？根据除法的意义，0乘以任何数都得0，所以0÷0的商可以是任何数，商不确定，失去了规律的意义。

（2）除以0的情况：引导学生思考，如果同时除以0，式子变成了？÷0，而0不能做除数，这个算式根本不成立。

师生共同总结：所以，我们发现的规律中，这个“相同的数”必须有一个前提——0除外。完善板书：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。这才是完整的“商不变的规律”。教师强调括号里的内容【重要】，是整个规律不可或缺的一部分。

（四）分层练习，应用规律——运用中的“变与不变”

1.基础练习：口算应用【基础】【高频考点】

出示题目：360÷90=4800÷400=2400÷60=

要求学生口算并说出应用规律的过程，如360÷90可以看成36÷9=4。

2.辨析练习：判断对错【重要】【热点】

（1）48÷12=4，那么（48×5）÷（12×5）=4。（）

（2）72÷9=8，那么（72÷3）÷（9×3）=8。（）（引导学生发现必须“同时”且运算要一致，一个是乘一个是除，没有同时进行相同的运算，商变了。）

（3）210÷30=7，那么（210÷5）÷（30÷5）=7。（）

（4）30÷5=6，那么（30×0）÷（5×0）=6。（）（深入考察0除外的重要性）

3.应用练习：简便计算【难点】【重要】

出示例题：你能用简便方法计算下面各题吗？

（1）350÷50（2）1200÷25（3）3000÷125

第（1）题学生容易想到被除数和除数同时除以10，变成35÷5。

第（2）（3）题是灵活应用。教师引导学生思考，除以25可以转化成除以100再乘4吗？不是。引导学生利用商不变规律，将除数变成100或1000这样的整十、整百数，计算会更简便。如1200÷25，可以被除数和除数同时乘4，变成4800÷100=48。3000÷125，可以同时乘8，变成24000÷1000=24。让学生体验规律带来的简便性，同时渗透转化的数学思想。

4.拓展练习：有余数的除法【难点】【拓展】

出示：3600÷700=？学生计算后汇报，可能有学生得到商5余1，有学生得到商5余100。引发认知冲突。

教师引导学生利用商不变规律进行简算：将被除数和除数同时除以100，变成36÷7=5……1。

追问：这个“1”是原来算式中的“1”吗？引导学生理解，在简算过程中，我们把3600看成36个百，700看成7个百，余下的“1”表示1个百，所以余数是100。

总结规律：【重要】在有余数的除法中，应用商不变规律进行简算时，商不变，但余数要随着被除数和除数的变化而相应的变化（即余数也要乘或除以相同的数）。

（五）回顾反思，构建体系——思想中的“变与不变”

1.全课总结：教师引导学生回顾本节课的学习历程：“我们是按照怎样的步骤发现商不变规律的？”带领学生梳理出完整的探究路径：观察具体算式（发现问题）——初步归纳（提出猜想）——多例验证（验证猜想）——完善结论（得出结论）——应用规律。这是数学发现的一般方法。

2.思想升华：教师指出，今天我们学习的“商不变规律”，其实就是一种“变与不变”的数学思想。在变化中抓住不变的量，是我们解决问题的法宝。数学中还有很多这样的规律，比如我们以后要学的“分数的基本性质”、“比的基本性质”等，都和今天学习的商不变规律有着密切的联系。

3.自我评价：请学生根据学习单上的评价量表，从“我能发现规律”、“我能说清道理”、“我能灵活应用”三个方面进行星级自评。

六、板书设计（结构化呈现）

商不变规律

被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。

8÷2=4（乘10）从上往下看同时乘

80÷20=4（乘100）↓从下往上看同时除

800÷200=4

举例验证：15÷5=3150÷50=3300÷100=3（相同的数：2、5、10……）

关键点：同时、相同、0除外

七、作业设计

1.基础性作业：【基础】完成课后练习题第1、2题，利用商不变规律直接写出得数。

2.探究性作业：【拓展】根据今天学习的探究方法，以小组为单位，尝试探究“和不变”或“差不变”的规律，看看在加法或减法算式中，两个数怎样变化，和或差不变？并将你的发现记录下来，下节课交流。

3.实践性作业：【热点】调查生活中哪些地方应用了“商不变规律”，如购物时的单价比较、平均分配等问题，并尝试用数学语言描述出来。

八、教学反思（预设）

本课教学设计严格遵循课程改革理念，以核心素养为导向，将学习主动权还给学生。通过“猴王分桃”的情境激发了学生的学