2025-2026学年福建省莆田第十五中学高二下册第一次月考数学试题 含答案

/福建省莆田第十五中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．点关于平面的对称点为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点关于平面的对称点为求解.【详解】因为点关于平面的对称点为，所以点关于平面的对称点为故选：A2．下列求导正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，因为，所以A不正确；对于B，因为，所以B不正确；对于C，因为，所以C不正确；对于D，因为，所以D正确．3．已知，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据空间向量共线定理，代入公式，即可求解.【详解】由，可知，即，得，解得：，.故选：D4．若，则（

）A．2 B． C．10 D．【答案】A【分析】对给定等式两边求导，赋值求出即可.【详解】由求导得：，则，解得，即，所以.故选：A5．如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（

）A．5 B．3 C． D．【答案】C【分析】，然后平方可算出答案.【详解】在平行六面体中，，，，，，∵，∴，∴.故选：C.6．若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出切点，利用在切点处的斜率等于0即可求得结果.【详解】设切点坐标为，函数，所以，因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为故选：B7．已知在上单调递增，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数，结合函数的单调性，即可求得答案.【详解】由在上单调递增，得在上恒成立，即，恒成立，而在上单调递增，即，故，故选：A8．若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题【详解】由已知得，若函数在上有极值点，则在上有解，即，解得.故选：D二、多选题9．如图是导数的图象，下列说法正确的是（

）

A．为函数的单调递增区间B．为函数的单调递减区间C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值【答案】AB【分析】根据原函数与导函数图象的关系及极值的定义一一判定即可.【详解】对于A、B选项，由导函数的图象可知上导函数为正，上导函数为负，故A、B正确；对于C、D选项，由导函数的图象可知处导函数不为零，在处导函数为零，其左侧导函数为正号，右侧导函数为负号，故处应取得极大值，故C、D选项错误.故选：AB10．设是空间的一个基底，则下列结论正确的是（

）A．可以为任意向量B．对任一空间向量，存在唯一有序实数组，使C．若，则D．可以构成空间的一个基底【答案】BD【分析】根据是空间的一组基底，利用空间向量基本定理，结合空间向量的定义、基底的定义以及垂直的定义即可判断.【详解】对于A，因为是空间的一个基底，所以为不共面的非零向量，A不正确；对于B，由空间向量基本定理知，对任一空间向量，存在唯一有序实数组，使，B正确；对于C，，但不一定垂直，C不正确；对于D，假设共面，则存在唯一实数对，使得，所以，无解，所以不共面，所以可以构成空间的一个基底，D正确.故选：BD.11．已知，下列说法正确的是（

）A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为C．的极大值为 D．方程有两个不同的解【答案】BC【分析】对于A，利用导数的几何意义求解，对于B，求导后，由导数小于零求解，对于C，求导后求极值，对于D，函数与的交点个数判断【详解】对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误，对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确，对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确，对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，，所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误，故选：BC三、填空题12．已知，则______.【答案】1【分析】求导后，赋值即可.【详解】依题意，，则.故答案为：1.13．已知函数的图象在处的切线方程为，则______．【答案】6【分析】由切线方程得切点坐标和切线斜率，可计算.【详解】函数的图象在处的切线方程为，则切点坐标为，切线斜率，所以.故答案为：6.14．已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为________.【答案】4【分析】根据向量的线性运算及数量积运算可得，由正方体的性质可得当时取得最大值为4.【详解】取的中点为，连接，如下图所示：

因此可得，且可得；因此当的长度最大时，取得最大值，显然当点与重合时，，因此取得最大值为4.故答案为：4四、解答题15．如图所示，在平行六面体中，为的中点.（1）化简：；（2）设是棱上的点，且，若，试求实数，，的值.【答案】（1）；（2）、、.【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解；（2）用基底表示出后可得的值．【详解】（1）（2），、、.16．已知曲线，求：(1)求曲线在的切线方程；(2)求过点且与曲线相切的切线方程．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）求得切点和函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；（2）设出切点坐标为，求得切线的斜率的两种形式，解方程可得切点，再由点斜式方程可得切线的方程．【详解】（1）解：切点坐标为，则由，得，在的切线斜率为，所求切线方程为，即；（2）解：因为点不在曲线上，需设切点坐标为，则切线斜率为，又因为切线斜率为，所以，所以，得，所以切点坐标为，斜率为，所以切线方程为，即．17．已知函数的图象过点，且在和上为增函数，在上为减函数．(1)求的解析式；(2)求在R上的极值．【答案】(1)；(2)极大值，极小值.【分析】（1）由点在上得，根据区间单调性知是的两个根，结合根与系数关系求得，即可得解析式.（2）由已知区间单调性及极值点的定义，即可求极值.【详解】（1）的图象过点，，，，由已知：是的两个根，则，..（2）由题设：是的极大值点，是的极小值点，极大值，极小值.18．已知函数.(1)求的单调区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.(3)若方程有三个根，写出k的取值范围（无需解答过程）.【答案】(1)增区间为和，减区间为(2)，(3)【分析】（1）利用导数求出函数单调区间；（2）根据函数的增减性确定函数的最值；（3）由函数图象的变化情况，结合函数的极值得出结论.【详解】（1）,令可得或，令可得，故函数的增区间为和，减区间为.（2）由（1）知，上递增，在递减，故当时，，又，故.（3）由（1）（2）知函数在上递增，在上递减，在上递增，且极大值为，极小值为，若方程有三个根，即与图象有3个交点，故k的取值范围为.19．已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间；(3)当时，若在时恒成立，求整数的最大值．【答案】(1)在处取得极大值，无极小值(2)当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，上单调递减(3)整数的最大值为5【分析】（1），令或可求单调区间，进而求得极值；（2），然后分类讨论可求得的单调区间；（3）根据已知式子进行变量分离可转化为恒成立，令，然后利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出的最小值，进而得出所求得答案.【详解】（1）当时，，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，无极小值.（2），当时，恒成立，所以在上单调递增，当时，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，综上所述：当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，上单调递减.（3）在时恒成立，即恒成立，令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，且，所以在存在唯一实数，使得，即，所