2025-2026学年河北邢台市卓越联盟高二下册第一次月考数学试题 含答案

/河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列求导正确的是（

）A． B． C． D．2．甲、乙、丙、丁四人去旅游，每人在邢台市、南昌市和北京市三个城市中任选一个，则不同的选法种数为（

）A．12 B．24 C．64 D．813．曲线在处的切线方程为（

）A． B．C． D．4．已知函数的导函数的图象如图所示，现给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②在区间上单调递增；③在区间上单调递减；④有2个极值点．其中正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（

）A．264种 B．288种 C．312种 D．336种6．已知，，，则（

）A． B． C． D．7．已知函数在处有极小值，则（

）A． B． C．或 D．或8．记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知，则（

）A．B．展开式中第5项与第7项的二项式系数相等C．D．10．运动会期间，将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能被安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者．下列结论正确的是（

）A．不同的安排方法数为240B．若甲、乙被安排去同一个场地，则不同的安排方法数为36C．若A场地只需要两名志愿者，则不同的安排方法数为180D．若甲被安排到A场地，则不同的安排方法数为5011．已知函数，是函数的导函数，则下列说法正确的是（

）A．是的极小值点B．当时，C．过点只能作一条切线与曲线相切D．若直线与曲线交于，，三点，则三、填空题12．展开式中的常数项为_____．（用数字作答）13．已知函数，则不等式的解集为_____．14．若函数恰有4个零点，则的取值范围为_____．四、解答题15．已知函数，且直线是曲线的切线．(1)求的值；(2)求的单调区间．16．从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字．(1)一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？(2)一共可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？(3)一共可以组成多少个没有重复数字且大于4000的四位数？17．（1）求的展开式中各项系数之和；（2）求的展开式中奇数项二项式系数之和；（3）求的展开式中系数最大的项．18．已知函数．(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；(2)讨论函数的单调性；(3)若，且在上恒成立，求的最小值．19．设函数．(1)若有两个极值点，求的取值范围．(2)若有极大值，证明：．(3)若存在，使得，证明：．《河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题》参考答案题号12345678910答案CDBCBDADABDBD题号11答案BCD1．C【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则即可求解.【详解】由基本初等函数的导数公式，有，，，AB选项错误，C选项正确；由复合函数的求导法则，有，D选项错误．2．D【详解】不同的选法有种．3．B【分析】根据导数的几何意义及导数的四则运算求解即可.【详解】由题意得，所以曲线在处的切线斜率为，又切点坐标为，所以所求的切线方程为．4．C【详解】由图象可知，在区间和上单调递减，在区间上单调递增，故②③正确；在上单调递增，故①错误；在处取极小值，在处取极大值，共2个极值点，故④正确．综上，共3个结论正确．5．B【分析】首先2名老师捆绑为一个元素和2名男同学全排列，再让女同学插空排列.【详解】将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有种方法，再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种.6．D【分析】构造函数，根据导数与单调性关系即可证出，再根据对数函数单调性得到，即可得证.【详解】令，则，而，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．故在上恒成立，即，令，则，故，．综上，．7．A【详解】由题意得，由题可知，解得或．当时，，当时，或，当时，，即在和上单调递增，在上单调递减.此时在处取得极大值，不符合题意；当时，，当时，或，当时，，即在和上单调递增，在上单调递减.，此时在处取得极小值，符合题意.8．D【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，结合能成立求出范围.【详解】令，则，单调递减，由，可得，，即，所以当时，有解，即有解，所以，故的取值范围为．9．ABD【详解】对于A，令，则，故A正确；对于B，展开式中第5项与第7项的二项式系数分别为，，又，所以B正确；对于C，令，得，令，得，相减可得，，故C不正确；对于D，令，得，所以，故D正确．10．BD【详解】A，五人分成三组，可以是3，1，1和2，2，1，所以不同的安排方法数为，A错误．B，甲、乙看成一个人，所以不同的安排方法数为，B正确．C，若A场地只需要两名志愿者，则不同的安排方法数为，C错误．D，方法一：第一种情况，A场地需要一名志愿者，剩下四人安排到B，C两个场地，则不同的安排方法数为；第二种情况，A场地需要两名志愿者，剩下四人先安排一人到A场地，剩下三人再安排到B，C两个场地，则不同的安排方法数为；第三种情况，A场地需要三名志愿者，则不同的安排方法数为．综上，若甲安排到A场地，则不同的安排方法数为50．方法二：甲被安排到A，B，C三个场地的概率相等，所以不同的安排方法数为，D正确．11．BCD【分析】首先求函数的解析式，再判断函数的单调性和极值点，判断选项AB，根据导数的几何意义求过点的切线方程，根据方程根的个数判断切线的条数，判断C，根据条件设出函数的解析式为，再分别求，即可判断D.【详解】令，得，即，①，令，得，即，②，由①②解得，，所以，，，得或，，得或，，得，则在和上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，A错误；当时，，则，B正确；设切点为，切线方程为，点在切线上，所以，化简可得，即，解得，故过点只能作一条切线与曲线相切，C正确；，，是的三个解，所以，故，，，所以，D正确．12．【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，结合通项，进而求得展开式中的常数项.【详解】由二项式展开式的通项为，令，可得，故展开式中的常数项为．13．【分析】根据题意，得到是定义在上的单调递增的奇函数，转化为，结合单调性，即可求解.【详解】由，可得，又由，当且仅当时，等号成立，所以是定义在上的单调递增的奇函数，因为，可得，则，解得，所以不等式的解集为．14．【分析】根据函数零点的定义，利用构造法，把问题转化为一元二次方程有两个不同的实数根，结合导数的性质判断新函数的性质，结合数形结合思想进行求解即可.【详解】函数的定义域为全体正实数，令，可得，令，得，设

函数，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，当时，，当时，，作出的大致图象，如图所示，所以方程有两个实根，，且，故，解得，故的取值范围为．15．(1)(2)单调递增区间，单调递减区间．【详解】（1），设直线与曲线相切于点，，所以，解得．将代入切线方程，可得，所以切点坐标为，因为切点在曲线上，所以，解得．（2）的定义域为，，令，解得；令，解得，所以单调递增区间为，单调递减区间为．16．(1)180(2)96(3)72【分析】（1）利用排除法，先从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，求出这样的四个数的全排列，再去掉首位是0的情况，从而得到所求；（2）按照数字0是否存在进行讨论求解，在含有0这个数字时，按照数字0在末尾和不在末尾讨论求解；（3）按照4在首位和5在首位分别讨论求解.【详解】（1）从0，2，4中任取2个数字有种情况，从1，3，5中任取2个数字有种情况，四个数全排列有种情况，其中首位是0的情况有种，所以一共可以组成个没有重复数字的四位数．（2）这个四位数不含有0，有种情况，这个四位数含有0，且0在末尾，有种情况，这个四位数含有0，且0不在末尾，且首位不为0，且末尾数字为非零偶数，有种情况，所以一共可以组成个没有重复数字的四位偶数．（3）4在首位，有种情况，5在首位，有种情况，所以一共可以组成个没有重复数字且大于4000的四位数．17．（1）729；（2）32；（3）【分析】（1）令即可求出展开式中各项系数之和；（2）利用二项式系数之和的性质即可求出；（3）设第项的系数最大，列式计算即可.【详解】（1）令，，所以的展开式中各项系数之和为729．（2）的展开式中奇数项二项式系数之和为．（3）由通项可得第项为．设第项的系数最大，则

即

解得．因为，所以，所以展开式中系数最大的项为．18．(1)；(2)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.(3)．【分析】（1）由在上单调递增，得到在上恒成立，即，求出范围内的的最小值即可得到的取值范围．（2）求出，由分别按照和分别讨论求解，利用导数法求出的单调性．（3）由时，在上恒成立得到只需，结合单调性得到，通过计算得到，从而得到，构造函数，利用导数法求出的单调性，得到，即可得到的最小值．【详解】（1），，，在上单调递增，在上恒成立，，，，，，，又，的取值范围为．（2），，．，当时，则当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增；当时，则当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增．（3）当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上恒成立，只需，，令，则，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，即的最小值为．19．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求导，把极值点问题转化为方程根问题，构造新函数并求导，利用函数单调性结合交点情况构造不等式求解；（2）对进行分情况讨论，结合导数分析单调性求极大值，进而证明结论；（3）根据已知条件转化证明结论，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，进而证明结论．【详解】（1），令，已知函数有两个极值点，即方程有两个不相等的根，当时，方程，即不是方程的根，原方程有两个不相等的根，可转化为有两个不相等的根，不妨令（），则，在，上单调递减；在上单调递