2025-2026学年河南郑州市第七十四中学高二下册3月月考数学试题 含答案

/郑州74中2025-2026学年度高二下学期03月月考试卷高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.函数的导数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据导数的运算法则即可得到答案.【详解】．故选：C.2.已知，则（）A.7 B.21 C.35 D.42【答案】B【解析】【分析】根据组合数的性质建立方程解得的值，利用组合数的计算公式，可得答案.【详解】由，则或，解得或，所以.故选：B.3.已知函数的导函数为，且满足，则（）A.1 B.-1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由导数的四则运算即可求解.【详解】由，求导可得：，令，可得：，故选：B4.某学校为高三学生安排语文、数学、外语、物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场和最后一场，则不同的安排方法有（）种A.12 B.18 C.20 D.24【答案】A【解析】【分析】运用分步乘法原理结合插空法可解.【详解】先将语文、外语、物理全排，总共种方法，再将数学课插到这三门课中间两个空里，有2种插法，故总共有种不同的安排方法.故选：A.5.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种 B.120种 C.240种 D.480种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.6.已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题得在R上恒成立，解不等式即得解.【详解】由题意知，，因为在R上是单调函数，且的图象开口向下，所以在R上恒成立，故，即．故选：B【点睛】结论点睛：一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增函数0.一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是减函数0.7.若，，，则以下不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可.【详解】因为，令，定义域为，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以，又，所以，所以，即.故选：D.8.已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】转化为，令，由，利用函数的单调性求解.【详解】解：原不等式等价于，设，则.又，所以在上单调递增，则，即.设，，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，所以.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（）A.是函数的极值点 B.在区间上单调递增C.是函数的最小值点 D.在处切线的斜率小于零【答案】AB【解析】【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解.【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确；则是函数的极小值点，故A正确；在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确．故选：AB10.甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（）A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法C.5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法【答案】BD【解析】【分析】对A：根据分步计数原理：先排前排，再排后排；对B：甲、乙看作一个元素排列即可；对C：根据分步计数原理：先排两端，再排中间；对D：利用间接法：先将5人排队，再排除不符合题意的情况.【详解】对A：甲、乙、丙站前排，有种排法，丁、戌站后排，有种排法，共有种排法，故A错误；对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有种排法，故B正确；对C：5人站成一排，甲不在两端，共有种排法，故C错误；对D：5人站成一排，有种排法，则甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法；甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法；甲在最左端，乙在最右端，共有种排法；则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确.故选：BD.11.对于函数，下列说法正确的是（）A.在上单调递减，在上单调递增B.既没有最大值也没有最小值C.若方程有4个不等的实数根，则D.设有3个不同的零点，则【答案】BCD【解析】【分析】对函数求导，利用导数探讨函数的单调性、图象及性质即可判断选项A，B；画出函数图象，利用数形结合求解函数的零点问题即可判断C、D.【详解】函数的定义域为，则，当或时，，当时，，所以在，上都单调递减，在上单调递增，故A不正确；画出函数图象，如图所示，在上既没有最大值也没有最小值，故B正确；当时，的图象在x轴上方，且在时，有极大值，在上的图象在x轴下方，显然是偶函数，，在方程中，当或时，方程有两个不等实根，当时，方程无实根，当时，方程有4个不等的实根，故C正确；令，即，有3个不同的零点，等价于方程有3个不同的根，设，则与的图象需有3个不同的交点，如图，当，即时，与的图象有3个不同的交点，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：求出函数的单调性，并画出函数图象，通过数形结合求解函数的零点问题是解题关键，考查数形结合思想，属于较难题,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某地为以下社会主义核心价值观宣传标语进行涂色装饰，要求相邻的标语之间不能用同一颜色，现在有四种颜色可供选择，有________种不同的涂色方案自由平等公正法制【答案】108【解析】【分析】分步乘法原理，求出依次涂色时选择颜色的种类，再作乘法计算即可.【详解】依次涂色，涂“自由”时可用4种颜色，涂“平等”时有3种颜色，涂“公正”时有3种，涂“法制”时有3种颜色，所以共有种，故答案为：108.13.设函数，当时，的单调递减区间为______．【答案】【解析】【分析】求导，由求解即可.【详解】由，可得，，，由，可得：，又，可得：，解得：，所以的单调递减区间为，故答案为：14.已知定义在的函数满足，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】令函数，求导函数并根据函数符号与单调性的关系判断得出的单调性，再利用单调性解不等式可得结论.【详解】构造函数，则，又，，可得，因此在上单调递增，原不等式可化为，即，可得，因此，解得.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤15.计算下列各式．（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据排列数公式计算即可.（2）根据组合数公式计算即可.（3）根据组合数的性质计算即可.【小问1详解】【小问2详解】【小问3详解】16.已知函数（），且．（1）求的解析式；（2）求函数的图象在点处的切线方程．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）将代入的表达式即可解出，从而得到的解析式；（2）由导数的定义可知所求直线为经过点且斜率为的直线，然后将点斜式方程化为一般式即可.【小问1详解】由，得，又，所以，解得，即．【小问2详解】由（1），得，，所以，即切点为，又切线的斜率为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即．17.用0、1、2、3、…、9十个数字可组成多少个不同的：（1）三位数；（2）无重复数字的三位数；（3）小于500且无重复数字的三位奇数．【答案】（1）900（2）648（3）144【解析】【分析】（1）（2）根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算出正确答案；（3）根据分类加法、分步乘法计数原理，分别分析个位数满足条件的数字计算出正确答案.【小问1详解】由于0不能在首位，所以首位数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有（个）；【小问2详解】百位数字有9种选法，十位数字有除百位数字以外的9种选法，个位数字应从剩余8个数字中选取，所以共有（个）无重复数字的三位数；【小问3详解】若个位为1或3，则小于500的三位奇数有（个）；若个位为5或7或9，则小于500的三位奇数有（个）；所以小于500的三位奇数有．18.已知函数在处取得极大值．（1）求a的值；（2）若有且只有3个零点，求实数b的取值范围．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，可求出的值，然后就的值进行检验，即可得出实数的值；（2）分析函数的单调性与极值，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】因为，则，因为函数在处取得极大值，则，解得或.当时，，令，得或，令，得，所以函数在上递减，在上递增，则在处取得极小值，不合题意；当时，，令，得或，令，得，所以函数在上递增，在上递减，则在处取得极大值，合题意.综上，.【小问2详解】由（1），，，函数的增区间为，，减区间为.所以，函数极大值，极小值，又因为有且只有3个零点，则，解得，且满足，，满足题意.因此，实数的取值范围是.19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.【详解】（1），，.，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为．（2）［方法一］：通性通法,，且.设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时，，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此>1,∴∴恒成立；当时，∴不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).［方法二］【最优解】：同构由得，即，而，所以．令，则，所以在R上单调递增．由，可知，所以，所以．令，则．所以当时，单调递增；当时，单调递减．所以，则，即．所以a的取值范围为．［方法三］：换元同构由题意知，令，所以，所以．于是．由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．令，所以．当时，单调递增；当时，单调递减．所以当时，取得最大值为．所以．［方法四］：因为定义域为，且，所以，即．令，则，所以在区间内单调递增．因为，所以时，有，即．下面证明当时，恒成立．令，只需证当时，恒成立．因为，所以在区间内单调递增