2025-2026学年湖南省衡阳市衡州高级中学下册一调考试高一年级数学试题 含答案

/2025-2026学年下学期一调考试高一年级数学试题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共计150分，考试时间120分钟；第Ⅰ卷（选择题58分）一、单选题（每题5分，共计40分）1.，，则的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量坐标的定义计算即得.【详解】因，，则.故选：C.2.已知，，与的夹角为，则（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由数量积公式求解即可.【详解】由题意得.故选：A．3.向量，，，若，则k的值是（）A.4 B.－4 C.6 D.－6【答案】D【解析】【分析】运用向量的坐标运算公式和向量垂直的坐标表示，可直接求出的值.【详解】向量，，则因为，所以，故选：D4.在中，，，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得.【详解】在中，由余弦定理得.故选：A5.如图，在中，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.【详解】由，可得，所以.故选：D.6.，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量的基底的定义逐项判断即得.【详解】对于A，由向量加法法则知，，及对应的有向线段可围成一个三角形，则和不共线，可作基底，A不是；对于B，在和中，，则和不共线，可作基底，B不是；对于C，，和共线，不可作基底，C是；对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D不是.故选：C7.在中，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】由，所以，所以．故选：D.8.已知平面向量则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用投影向量的概念，进行向量的坐标运算即可．【详解】因为所以在方向上的投影向量为:,故选：A．二、多选题（每题6分，部分选对得部分分，选错得零分，共计18分）9.给出下列四个命题，其中假命题为（）A.向量的长度与向量的长度相等B.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同C.若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上D.有向线段就是向量，向量就是有向线段【答案】CD【解析】【分析】利用相反向量，共线向量都定义求解．【详解】对于A，因为向量与互为相反向量，所以它们的长度相等，所以A正确；对于B，由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，所以B正确；对于C，由共线向量即平行向量，A，B，C，D不一定共线，所以C错误；对于D，因为向量用有向线段表示，但向量不能看作是有向线段，所以D错误．所以假命题有C和D．故选：CD．10.已知向量，，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据数量积的坐标公式即可判断A；根据向量的模的坐标公式即可判断B；根据平面向量线性运算的坐标表示即可判断C；根据平面向量夹角的坐标公式即可判断D.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误．故选：AC．11.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（）A.若，则B.C.若，则是锐角三角形D.若，则是钝角三角形【答案】ABD【解析】【分析】利用三角形边角关系判断A；利用诱导公式判断B；利用余弦定理判断CD.【详解】对于A，在中，，A正确；对于B，，B正确；对于C，由，得，则是锐角，显然是否都是锐角无法确定，C错误；对于D，由，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确.故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题（每题5分，共计15分）12.已知向量，．若，则______．【答案】【解析】【分析】先求出的坐标，再由根据向量平行的坐标性质后可求出的值.【详解】∵，，∴，由得，解得，解得.故答案为：.13.设在一条直线上，在该直线外，已知，则等于___________．【答案】2【解析】【分析】由三点共线可得两个向量共线，再结合平面向量基本定理可得.【详解】因为共线，所以，，因为向量不共线，且，所以，解得.故答案为：214.在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为___________km.【答案】1【解析】【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理求解.【详解】如图，在中，，.由余弦定理，可得，即，解得，即乙丙两人间的距离为1km.故答案为：1.四、解答题（15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分，共计77分）15.已知.（1）求向量的坐标；（2）设向量的夹角为，求的值；（3）若向量与互相垂直，求的值.【答案】（1）（2）（3）1【解析】【分析】（1）利用向量的坐标线性运算计算即得；（2）利用向量的数量积的定义式和坐标式列出方程求解即得；（3）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得.【小问1详解】由可得，，即向量的坐标为：；【小问2详解】因，则；【小问3详解】依题意，，即，解得.16.已知的内角，，的对边分别是，，，.（1）求角的大小；（2）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）边角互换化简可得，则得到角大小.（2）直接代入余弦定理计算可得答案.【小问1详解】已知边角互换得，因为，则，即.又因为是的内角，所以可得.【小问2详解】余弦定理：，将，，代入得(整理得解得。17.已知，，与的夹角.（1）求；（2）若与共线，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等式及向量的运算律求解即可；（2）根据共线向量定理列等式求解即可.【小问1详解】，.【小问2详解】与共线，∴存在唯一实数，使得即，又与不共线，∴，解得.18.如图，在底角为的等腰梯形中，，，分别为，的中点．设

（1）用，表示，；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算结合图形性质计算即可；（2）由（1）结论结合平面向量数量积的定义及其运算律计算即可.【小问1详解】，；【小问2详解】由题意可得,过作的垂线，则由,，.19.已知的三个内角所对的边分别为，满足是的中点，．（1）求B；（2）求的面积；（3）求线段的长度．【答案】（1）（2）（3