2025-2026学年江苏连云港市灌南县第二中学高三下册三月模拟测试二数学试题 含答案

/2026届高三下学期三月模拟测试二一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则集合（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，按照交集的定义即可求出【详解】，，所以集合，故选：B2.已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义与共轭复数的概念、除法运算求解即可【详解】由题，，故，故选：B3.设两个等比数列，的前项和分别为，.若，则（）A.18 B.162 C.54 D.81【答案】C【解析】【分析】根据等比数列通项公式及求和公式求解计算即可.【详解】设，的公比分别为，，若，，则，，则，即，所以，可得，得.所以，，满足.所以，.所以.同理可得，时也可以得到.当，时，，，则，故舍去.当，时，，显然不符合题意，综上所述，.故选：C.4.若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意知可得，解不等式即可得出答案.【详解】由题设，不等式且成立的充分条件是，则，所以，所以实数a的取值范围是.故选：B.5.对两个具有线性相关关系的变量x和y进行统计时，得到一组数据，通过这组数据求得回归直线方程为，则m的值为（）A.3 B.5 C.5.2 D.6【答案】A【解析】【分析】由数据得出样本中心点，再代入回归直线方程计算即可.【详解】易知，代入得.故选：A6.已知随机变量，且，则的最小值为（）A.5 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的对称性求得，利用基本不等式求得正确答案.【详解】根据正态分布的知识得，则，，当且仅当，即时取等.故选：D7.在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆的离心率公式进行求解即可.【详解】设，，则，，设该椭圆长半轴长为，由椭圆的定义可知：，解得所以，，，在中，显然有，所以，设，由余弦定理可知：，即解得因此椭圆的焦距为，所以椭圆的离心率为：.故选：C.8.已知函数是上的奇函数，则（）A.2 B.-2 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正切的和角公式化简得，结合题意得分母为偶函数，则，继而即可求解.【详解】，是上的奇函数，又为奇函数，则分母上的函数需为偶函数，，.故选：.二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若展开式中常数项为28，则实数m的值可能为（）A. B.1 C.2 D.3【答案】AB【解析】【分析】求出展开式的通项公式，利用的幂指数为0求出值.【详解】二项式展开式的通项公式，由，解得，则，于是，解得，所以实数m的值为或.故选：AB10.在棱长为2的正方体中，分别为棱上一点，且，则（）A.平面B.正方体的外接球的表面积为C.四面体的体积的最大值为D.当与平面所成角的正切值为2时，【答案】AC【解析】【分析】利用成比例线段性质结合线面平行的判定定理判断A，利用正方体的性质求出外接球半径，结合球的表面积公式判断B，将所求体积用一元函数表示，再利用基本不等式求解最值判断C，利用线面角的几何求法结合勾股定理判断D即可.【详解】对于A，在棱长为2的正方体中，，，因为，所以，如图，连接，由成比例线段性质得，而，故，因为平面，平面，所以平面，故A正确，对于B，由正方体性质得正方体外接球的直径，则外接球的表面积为，故B错误，对于C，设，则，且四面体的体积为，故，，当且仅当时取等，此时解得，故C正确，对于D，由正方体性质得平面，故为直线与平面所成的角，则，故，因为，所以，则，因为正方体的棱长为2，所以，，故，在直角三角形中，由勾股定理得，故D错误.故选：AC11.已知等比数列的前n项和Sn满足，则下列说法正确的是（）A.B.C.恒成立D.数列的前项和【答案】ACD【解析】【分析】根据与的关系，结合等比数列定义计算可判断A，将代入检验可判断B；根据，计算可判断C，根据裂项相消法计算可判断D.【详解】对于A，当时，，当时，，因为是等比数列，所以也满足上式，所以，解得，故A正确；对于B，因为不满足，故B错误；对于C，当时，，所以，故C正确对于D，由A可知，，因为，所以，因为，所以，故D正确；三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若直线与直线平行，则______．【答案】【解析】【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得.故答案为：.13.已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为______．（用表示）【答案】【解析】【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.【详解】因为向量，的夹角为，且，，所以，向量在向量上的投影向量为.故答案为:.14.已知函数（，且）为奇函数，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】先根据奇偶性求得，，再结合指数函数和对数函数的大单调性，利用复合函数单调性法则分析函数的单调性，结合奇偶性分类讨论解不等式即可．【详解】为奇函数，定义域需关于原点对称，，即，的解集关于原点对称，即，为奇函数，，，则，解得，，定义域，当时，，则，当时，，则，又在和单调递增，在和单调递减，在和单调递减，即，即，或或解得或或，故不等式的解集为．故答案为：．四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后图象关于原点对称．（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，①若，求的值；②若，，求c的取值范围．【答案】（1）；（2）①2；②.【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简函数，再根据图象变换及对称性求出，进而求出单调增区间作答.（2）利用（1）中函数求出A，再利用余弦定理计算比值；确定角C的范围，利用正弦定理求出c的范围作答.【小问1详解】依题意，，，而函数的图象关于原点对称，则有，即，而，则，因此，由，得，所以函数的单调递增区间是.【小问2详解】由（1）知，，即在中，，即，则，解得，①，由余弦定理得：，因此，所以.②在中，，则有，得，又，因此，由正弦定理，得，显然，即，从而，所以c的取值范围是.16.在三棱锥中，，，为的中点，点在上，．（1）若二面角的余弦值为，，求证：平面；（2）若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）作出二面角的平面角，由余弦定理可得，再利用线面垂直的判定理及性质定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，根据点到点到平面距离向量可得的表答式，再利用函数单调性计算即可求解.【小问1详解】因为，为中点，则，又因为，则，可知二面角的平面角为，即，且，由余弦定理得，由勾股定理可得，则，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，而，平面，所以平面．【小问2详解】设，，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，因为，所以，设，则，，所以，所以，可得，，所以，整理可得；又因为，，所以设平面的法向量为，则，则，令，则，可得，则，可得，因为，则，可得，，所以的取值范围为.17.2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下：体育锻炼目的情况（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天

10天乙10天10天5天25天假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．（1）已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程）（2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望；（3）在（1）的前提下，已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率．【答案】（1）填表见解析（2）分布列见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据条件概率的计算公式得到甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数，从而可补充表格内容.（2）先用古典概型计算公式分别计算甲、乙上午、下午选择同一种球和两种球的概率，再确定的取值，根据每个值对应的含义，求得每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得期望；（3）利用条件概率的计算公式即可求解.【小问1详解】设事件C为“甲上午选择足球”，事件为“甲下午选择足球”，设甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数为，则，解得，所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为．体育锻炼项目的情况（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天15天5天10天10天10天5天25天【小问2详解】由题意知，甲上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为；乙上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为．记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，则的所有可能取值为，．，，所以的分布列为所以．【小问3详解】记事件为“上午室外温度在20度以下”，事件为“甲上午打羽毛球”，由题意知，.故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下的概率为．【点睛】本题考查概率与分布列问题，从素养上体现对学生的逻辑推理､数学建模素养的考查，考查学生的运算求解能力．18.已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设．（1）求抛物线的方程；（2）求证：数列是等差数列，并求、．【答案】（1）（2）证明见解析，，【解析】【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可得出的值，由此可得出抛物线的方程；（2）方法一：设，则，，将直线的方程与抛物线的方程联立，可得出，可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，再由可得出数列的通项公式；方法二：由点、、在抛物线上，利用点差法可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，再由可得出数列的通项公式；【小问1详解】将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得，因此，抛物线的方程为.【小问2详解】方法一：在抛物线上，则，，过，且斜率为的直线的方程为，可得，解得或，所以，可得，所以数列是以首项为，公差为的等差数列，所以，；方法二：因为点、、在抛物线上，所以，两式相减得：．所以：可得，所以数列是以首项为，公差为的等差数列，所以，.【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法：（1）定义法：（常数）数列为等差数列；（2）等差中项法：数列为等差数列；（3）通项公式法：（、为常数，）数列为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.19.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若有两个极值点，，证明：．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求导，得到切线方程的斜率，再根据直线点斜式方程表示出切线方程；（2）由，不等式恒成立，等价于不等式在上恒成立，构造函数，利用导数判断函数单调性，分类讨论，即可得到结果；（3）对函数求导，有两个极值点，，转化为方程在上有两个不同实数根，，结合韦达定理，表示出，再构造函数，利用导数判断函数单调性，求出函数最值，即可得证.【小问1详解】当时，，则，则，又，所以