2025-2026学年江苏扬州市邗江区第一中学高二下册数学3月学情检测试题 含答案

/邗江一中2026年度高二数学3月学情检测一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用切点和斜率求得切线方程.【详解】由，有．曲线在点处的切线方程为，整理为．故选：A2.已知，则（）A. B.1 C.2 D.5【答案】A【解析】【分析】原函数求导，再令可得结果.【详解】因为，所以.令得：.故选：A3.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】确定函数定义域，判断函数奇偶性，即可判断B；当时，，利用导数判断此时函数的单调性，即可判断A，C，D，即得答案．【详解】函数的定义域为，设，则，故为偶函数，其图象关于轴对称，则B中图象错误；又当时，，由，得，由，得，故在上单调递减，在上单调递增，故A、C错误，故选D.4.已知向量与共线，则实数（）A.0 B.1 C.或2 D.或1【答案】D【解析】【分析】根据向量共线的性质求得结论即可.【详解】因为向量与共线，所以，解得或，故选：D.5.在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用向量的线性运算，即可求出结果．【详解】由于F为BE的中点，所以，结合，整理得，①，由，得，即，②，根据①②的对应关系，可得故选：D6.已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得.【详解】四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，则，，设直线与所成角为，则，直线与所成角的余弦值为．故选：B7.已知定义在上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，然后由已知可得的单调性，最后将不等式转化为，即可得到答案.【详解】，令，则，则在上单调递增.由，为奇函数，得，则，从而原不等式可化为，即，此即为.由于在上单调递增，故这等价于，所以不等式的解集为.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.8.已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可.【详解】由题意，不等式即，进而转化为，令，则，当时，，所以在上单调递增.则不等式等价于恒成立.因为，所以，所以对任意恒成立，即恒成立.设，可得，当单调递增,当单调递减．所以有最大值，于是，解得．故选：B【点睛】方法点睛：将已知条件转化为，通过构造函数，进而利用导数得到，进而计算求得结果.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，则下列说法正确的是（）A，，，四点共面 B.C.直线与所成角的余弦值为 D.点到直线的距离为1【答案】BD【解析】【分析】根据直线的位置关系可判断A；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明方法可判断B；根据空间角的向量求法可判断C；根据空间距离的向量求法可判读D.【详解】对于A，连接，则平面，平面，平面平面，故不相交；又，,平面，故不平行，否则重合，不合题意，即为异面直线，故，，，四点不共面，A错误；对于B，以D为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则，则，即，故，B正确；对于C，，则,故，而直线与所成角的范围为，故直线与所成角的余弦值为，C错误；对于D，，则点到直线的距离为，D正确，故选：BD10.已知，，则（）A.函数在上的最大值为3 B.，C.函数在上没有零点 D.函数的极值点有2个【答案】AC【解析】【分析】求函数的导数，得，.因为在上递增，根据函数零点的存在性判断零点在之间，设为，再代入计算可以求出函数在上的最值，判断AB的真假；求的导数，得，，利用其单调性得至多一解，可判断D；再根据函数零点的存在性，可判断C的真假.【详解】对A,B，因为，.所以，.设，，则，因为，所以在上恒成立.所以在上单调递增，且，，所以，使得.所以在上单调递减，在上单调递增.又，，，因为，所以，因为，所以.故A正确，B错误；对D，又，.所以，.设，则，，所以在恒成立.所以在上单调递增，所以至多一个解，故D错误；对C，又因为，，所以只有一解，在区间内.所以在上单调递增，且，所以在上无零点.故C正确.故选：AC11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.在R上增函数B.，不等式恒成立，则正实数的最小值为C.若有两个零点，则D.若过点恰有2条与曲线相切的直线，则【答案】ABD【解析】【分析】利用符合函数的单调性的判断方法可以判断A的真假；利用函数的单调性，转化为，再分离变量转化为恒成立问题，可求正实数的取值范围，判断B的真假；由“极值点偏移”可判断C的真假；分离参数，利用方程有两解，构造函数，转化为求值域问题，可判断D的真假.【详解】对A：因为，所以，由.所以在上单调递减，在上单调递增.设，则且在上单调递增.由“同增异减”可知上单调递增.故A正确；对B：因为为正实数，，所以，，结合函数的单调性，可知：（）.所以.设（），则，由可得：所以在上单调递增，在上单调递减，所以.所以正实数的最小值为，故B正确；对C：如图：因为有两个零点，，结合函数的单调性，不妨设，.则.设，（），那么且在上恒成立，所以在单调递增，所以在上恒成立，所以（）.由，且在上单调递减，所以.故C错误；对D：设切点为，切线斜率为，所以函数在处的切线方程为：，因为切线过点，所以设，所以，由，所以在上递增，在上递减，且，当时，且时，.因有两解，则.故D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：本题C选项涉及极值点偏移问题.一般极值点偏移问题的解题思路如下：（1）先求导，得到函数的极值点；（2）方程有两个根，，则有；（3）构造函数，则且求导后判断函数的单调性，得恒为正或恒为负；（4）得到与的大小关系，且使与在的一个单调区间内；（5）利用的单调性，判断与的大小关系，可得与的大小关系.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12.已知，，则向量在向量上的投影向量是________.【答案】【解析】【分析】根据条件，利用投影向量的定义，即可求解.【详解】因为，，则向量在向量上的投影向量为，故答案为：.13.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则______．【答案】2【解析】【分析】根据数量积的定义求出，再由空间向量线性运算得到，最后根据数量积的运算律及计算即可.【详解】底面为菱形，，，，为棱的中点,，，解得.故答案为：.14.若关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】将原方程变形为，令，得出，利用导数证明的单调性从而得出的范围以及图象，再由导数得出的图象，结合图象分析得出实数的取值范围.【详解】由题知，，当，即时，等式不成立，故，即，方程两边同时除以得，令，，当或时，；当时，，则函数在和上单调递增，在上单调递减，当时，，当，当时，且当时，则，设，，当时，；当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，如图所示，，，由题设有有解，故或，故或.当，仅有一个解，结合的图像可得方程至多有两个解，不合题意，舍.则当，即时，对应方程有两个解，，此时分别对应两个值，如图所示，故方程有四解，即，当时，对应方程有两个解，，结合的图像可得方程至多有3个解，不合题意.同理，当，即时，对应方程至多两个解，，此时分别对应一个，如图所示，故方程有两个解，不符合题意，舍去.综上所述：.故答案为：【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由导数得出的单调性从而得出的范围以及图象，再由导数得出的图象，数形结合得出实数的取值范围.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知空间中三点，，，设，．（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）若点在平面上，求的值．【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】（1）由向量的坐标表示共线和模长计算求出即可；（2）由向量垂直的坐标表示求出参数即可；（3）由点在平面上，设，解方程组求出即可.【小问1详解】，设，因为，而，所以；故或【小问2详解】，，，由与互相垂直得：，解得.【小问3详解】点在平面上，，，，解得：.16.如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，即可证明平面，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】由题可知，因为分别为中点，所以，所以，又因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；【小问2详解】由（1）可知，因为，所以，所以两两垂直，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，易得平面的一个法向量，设平面的法向量为，所以，即，取，所以.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.17.某市为提高市民的健康水平，拟在半径为20米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，，，三点在圆弧上，中点恰好在圆心．设，健身广场的面积为．（1）求出关于的函数解析式；（2）当角取何值时，健身广场的面积最大？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助三角函数将矩形的长与宽，三角形的底与高表示出即可得；（2）借助导数研究函数的单调性即可得解.【小问1详解】由已知得，等腰底边上的高为，所以所以.【小问2详解】设，则，令，由，可得，令，可得，故在上单调递增，在上单调递减，所以时，有，所以，即时，健康广场的面积最大，最大值为.18.如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面，是边长为2等边三角形，，点为的中点，点为上一点（与点不重合）．（1）证明：；（2）当为何值时，直线与平面所成的角最大？【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，可得，结合条件可得，然后利用线面垂直的判定定理及性质定理即得；（2）利用坐标法，表示出平面的法向量，利用向量夹角公式结合基本不等式即得.【小问1详解】因为三角形是等边三角形，且E是中点，所以，又因为平面，平面平面，平面平面，所以平面，又因为面，所以，因为，，所以，，所以，即，因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以；【小问2详解】设F是中点，以E为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，由已知得，设，则、设平面的法向量为，则，令，有，设直线与平面所成的角，所以，当且仅当时取等号，当时，直线与平面所成角最大．19.已知函数，其中为常数.（1）若，求函数的极值；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（3）若，设函数在上的极值点为，求证：.【答案】(1)当时，的极大值为，无极小值；(2)；(3)证明见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，将函数在某区间上单调递增转化为导函数非负恒成立，分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；（3）连续两次求导，分别通过研究导函数的符号变化研究函数的极值，再作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最