2025-2026学年山东省菏泽市第一中学高一下册4月阶段测试数学试题 含答案

/山东省菏泽市第一中学2025-2026学年高一下学期4月阶段测试数学试题一、单选题1．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，所以，所以的虚部为2.2．如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（

）A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱【答案】C【详解】依题意，，且，又平面平面，所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．3．下列说法正确的是（

）A．若方向相反，则与为相反向量B．模相等的两个平行向量相等C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段D．共线向量是在同一条直线上的向量【答案】C【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据向量和有向线段的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误.【详解】选项A：若方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误；选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误；选项C：向量没有固定的起点，但有向线段有起点，有向线段是向量的表示工具，所以有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段，故C正确；选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误.故选：C4．已知向量，，若与垂直，则（

）A．3 B． C．5 D．【答案】C【分析】由向量垂直，数量积为0求得参数，然后由模的坐标表示计算．【详解】因为向量，，所以，因为与垂直，所以，解得，所以，所以.故选：C.5．下列说法中，正确的是（

）A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形【答案】A【分析】根据棱锥、棱台、棱柱的定义和性质逐一对选项ABC进行判断，通过举反例对选项D进行判断.【详解】对于A选项，由棱锥的定义判断A正确；对于B选项，只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，所以B错误；对于C选项，棱柱的底面可为任意平面多边形，所以C错误；对于D选项，斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，所以D错误.故选：A.6．已知平面向量，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据投影向量的定义计算即得.【详解】∵，∴，所以在上的投影向量为：.故选：A.7．葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为，记两球心分别为，为两个球面交线上一点，则（

）A．6 B．5 C．7 D．8【答案】A【分析】由余弦定理可得，利用数量积的定义可求得的值.【详解】因为两球的半径分别为3和4，所以，又，在中，由余弦定理可得，所以.故选：A.8．设是的外心，点满足，则是的（）A．内心 B．任意一点C．垂心 D．重心【答案】C【详解】由题可得，由于是的外心，设为线段的中点，故且，即，所以，同理，，故是的垂心．故选：C.二、多选题9．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（

）A．越小越省力，越大越费力 B．的最小值为C．当时， D．当时，【答案】AC【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解，再逐项判断即得.【详解】对于A，依题意，，又，则，解得，而时，单调递减，因此越小越省力，越大越费力，A正确；对于B，，则，即，B错误；对于C，当时,由，得，因此，C正确；对于D，当时，由，得，因此，D错误.故选：AC10．已知复数，则下列结论正确的是（

）A．的实部是B．的虚部为C．D．在复平面内所对应的点位于第四象限【答案】BD【分析】复数的乘法运算可得，从而可求其实部与虚部，可对A、B判断；可求其模对C判断；利用复数的几何意义可对D判断；【详解】由题意可得，A、B：的实部为7，虚部为，故A错误、B正确；C：，故C错误；D：在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确.故选：BD.11．在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与交于点，设，其中，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则是等边三角形C．若，则D．若，则的最小值为【答案】AD【分析】利用平面向量的线性运算，以及数量积公式，基本不等式依次求解即可.【详解】因为，则，即，则，所以，A正确；因为，所以，所以，同理，点是的垂心，又是边的中点，，易知是等腰三角形，无法确定是等边三角形，B错误；由题意知，，所以，又三点共线，则，所以，即，解得，C错误；，又三点共线，则，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为，D正确.故选：AD.三、填空题12．已知向量，，若与平行，则实数________．【答案】【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出与，然后利用向量共线的坐标表示列式求解．【详解】由向量和，所以，，由与平行，所以．解得．13．中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________．【答案】/【分析】先利用三角形面积公式求得，再由余弦定理求出，根据题设条件和等面积列式求解即得的长.【详解】设中角所对的边分别为，依题知，则有，由余弦定理，，即解得．设，则由可得，化简得，解得.即角平分线的长为．故答案为：.14．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是__________．

【答案】【分析】若为中点，由、，应用向量数量积的运算律化简得，根据位置关系求最小值.【详解】如下图，，若为中点，且，则，则，要使其最小，只需共线，

此时，由图知此时.故答案为：.四、解答题15．在中，内角所对的边长分别是，且．(1)求角；(2)若，求的面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用正弦两角和公式化简，即可求出角；（2）利用余弦定理，结合基本不等式求最大值，即可求解.【详解】（1）由，由于，所以，又因为，所以，即，因为，所以，即,故；（2）因为，，所以由余弦定理可得：，由基本不等式可得：，所以，当且仅当取等号，则的面积，故的面积的最大值为.16．已知平面向量，.(1)若，且，求的坐标；(2)若与的夹角为锐角.求实数的取值范围.【答案】(1)或(2)【分析】（1）设出，利用平行关系和模长列出方程组，求出，得到答案；（2）写出，根据与的夹角为锐角，得到方程和不等式，求出实数的取值范围..【详解】（1）设，，因为，所以6x＝－y，因为，所以，解得或，所以或；（2），，因为与的夹角为锐角，所以，，解得且，即.17．欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：(1)将复数表示成(，i为虚数单位)的形式；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）根据题意结合复数运算求解；（2）根据题意结合复数的四则运算和模长整理得，再结合正弦函数的有界性分析运算.【详解】（1）因为，所以.（2）由题意可得：，所以，因为，所以，因此，所以的最大值为2.18．如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线.(1)用、表示；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解；（2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解.【详解】（1）因为，则，所以，因为为的中点，故.（2）因为、、三点共线，则，，，所以存在，使得，即，所以，又因为，且、不共线，所以，则，所以，故.19．法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下：①当三个内角均小于时，满足的点为费马点；②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用以上知识解决下面的问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，.(1)求角；(2)若，求；(3)在（2）的条件下，若，且点为平面上任意一点，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据二倍角的余弦公式、正弦定理和勾股定理的逆定理化简计算即可求解；（2）设，，，由费马点定义知，根据三角形面积公式和等面积可得，进而求解；（3）建立平面直角坐标系，设，