2025-2026学年山东省青岛第六十七中学下册高二年级数学学科阶段性诊断检测 含答案

/高二年级数学学科阶段性诊断检测2026.3第I卷（选择题）一､单选题1.设f(x)是可导函数，且，则（）A.2 B. C.-1 D.-2【答案】B【解析】【分析】由已知及导数的定义求即可.【详解】由题设，.故选：B2.下列求导运算正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项，验证其导数计算是否正确，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误；故选C．【点睛】本题主要考查了导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，准确运算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.若，则（）A.2或6 B.2或3 C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】根据组合数性质解方程即可.【详解】由题意可得或，解得或.经检验均满足题意.故选：A.4.的展开式中，的系数是（）A.－2 B.2 C.12 D.16【答案】B【解析】【分析】从个因式中，个因式选择，个因式选择常数相乘即可得到含的项，即可得解.【详解】在中，个因式选择，个因式选择常数即可得到含的项，故的系数.故选：B5.展开式中的系数为（）A.40 B.60 C.80 D.120【答案】A【解析】【分析】先求展开式的通项公式，根据展开式中的系数与关系，即可求得答案.【详解】展开式的通项公式，可得展开式中含项：即展开式中含的系数为.故选：A.6.某学校选派了三位男教师和两位女教师参加某活动，这五位教师被分到三个不同的小组，其中两位女教师分派到同一个小组，则不同的分配方案有（）A.18种 B.36种C.68种 D.84种【答案】B【解析】【详解】当两位女教师不单独一组时，先三位男教师全排，再两位女教师选择一组参加，分配方案有种；当两位女教师单独一组时，两位女教师先选一组，3位男教师分另外2组，不同的分配方案有；综上，不同的分配方案有36种．7.已知函数，则的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数判定单调性结合特殊区间即可得出选项.【详解】，令，所以在和上单调递增，又当时，，.故选：C8.已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由于函数在不是单调函数，则在内存在极值点，求导即可得结果．【详解】由于函数在不是单调函数，则在内存在极值点，所以在内有解，即在内有解，．故选：D二､多选题9.已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1:8，则（）A. B.展开式中所有项的系数和为1C.展开式中二项式系数和为 D.展开式中不含常数项【答案】AD【解析】【分析】根据二项式定理，由题意写出第二项与第三项系数之比的绝对值，求出n，用赋值法求出各项系数之和，再利用二项式定理以及系数的性质即可.【详解】由题意，则，，A正确；，令，则所有项系数之和，B错误；二项式系数之和为，C错误；，若为常数项，则有，是分数，所以不存在常数项，D正确；故选：AD.10.已知函数在上是单调函数，则实数的值可以是（）A. B. C. D.2【答案】ABC【解析】【分析】由题意得在上恒成立，由判别式小于等于0求出参数即可.【详解】因为为二次函数，开口向下，必存在负值，由题意得在上恒成立，则，解得.故选：ABC.11.已知函数，的导函数为，则（）A.存在，使得B.对于定义域内的任意，都有C.函数的图象关于原点对称D.方程有4个实数根【答案】BCD【解析】【分析】对于A，根据函数式，通过计算得可判断B正确；对于B，利用导数得函数的单调性结合函数的对称性求得可判断A不正确；对于C，先求得，再求导，得，经验证得到，可判断C正确；对于D，令，由，确定，方程的只有一个根且由在上的单调性得，再由方程有4个不相等的实数根.得到方程有4个不相等的实数根，判断D正确.【详解】对于B，由得，，故B正确；对于A，，定义域为.当时，，，令，得；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增.由B知，的图象关于对称，所以在上单调递增，在上单调递减..故A不正确；对于C，，当时，，当时，，，所以，当时，，当时，，所以是奇函数，图象关于原点对称.故C正确；对于D，由A知，的图象关于对称，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且.令，则，由，得,，根据的对称性和单调性知，方程，只有一个实数根且由在上单调递增，，所以而方程有4个不相等的实数根.所以方程有4个不相等的实数根.故D正确.故选：BCD.第II卷（非选择题）三､填空题12.若的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________.【答案】240【解析】【详解】分析：利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．详解：的展开式中所有二项式系数和为，，则；

则展开式的通项公式为令，求得，可得展开式中的常数项是故答案为240．点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13.运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为______．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可求解.【详解】根据题意将5名志愿者分为三组，有两种情况：第一种：将5名志愿者按人数分为1，2，2三组，且甲，乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法有种．第二种：将5名志愿者按人数分为1，1，3三组，且甲，乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法有种．故不同的安排方法共有种．故答案为：.14.已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是________．【答案】【解析】【分析】首先通过构造函数，结合已知条件求出所构造函数的导数，进而判断其单调性，再利用函数单调性求解不等式.【详解】，则，设，则，是常值函数，又，，，，，设，则，在上单调递增，，，在上单调递增，由，故不等式可转化为，故，可得，不等式的解集是故答案为：.四､解答题15.已知函数是函数的一个极值点.（1）求函数的单调递增区间；（2）当，求函数的最小值.【答案】（1）和；（2）.【解析】【分析】（1）由极值点求出参数，再代入，解不等式求递增区间（2）求在上的极值，与端点值比较得出最小值.【详解】（1）由题意，则，当时，；当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为和（2）当时，的变化情况如下表x012＋0－0＋增函数极大值减函数极小值增函数当.当.所以当时，函数的最小值为.【点睛】用导数法求最值方法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；16.已知的展开式中第三项的系数是第二项系数的2倍．（1）求的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求的展开式中含项的系数（结果用数值表示）．【答案】（1）（2）和（3）219【解析】【分析】（1）利用二项式展开式的通项计算即可求出；（2）由展开式的通项可知共有10项，则二项式系数最大的项为第5项和第6项计算即可；（3）分析可知展开式中含项的系数，根据组合数性质计算即可.【小问1详解】的展开式的通项为，因为第三项的系数是第二项系数的2倍，，解得，因为，所以；【小问2详解】由知展开式共有10项，二项式系数最大的项为第5项和第6项，由（1）知第5项为，第6项为，所以二项式系数最大的项为和；【小问3详解】由（1）知展开式中的系数为，所以展开式中含项的系数为219.17.某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名医生参加赈灾医疗队.（1）若甲、乙必须参加，则有多少种不同的选法？（2）若甲、乙均不参加，则有多少种不同的选法？（3）若甲、乙两人至少有一人参加，则有多少种不同的选法？（4）若医疗队中至少有2名内科医生和1名外科医生，则有多少种不同的选法？【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）根据题意，在甲乙外的剩下的7人中再选3人，即可求解；（2）根据题意，在甲乙外的剩下的7人中选5人，即可求解；（3）可用间接法，先在9人中选出5人，再求得甲乙均不能参加的选法，即可求解；（4）由题意，分3种情况讨论：①队中有2名内科医生和3名外科医生；②队中有3名内科医生和2名外科医生；③队中有4名内科医生和1名外科医生，结合分类计数原理，即可求解.【小问1详解】根据题意，若甲、乙必须参加，在剩下的7人中再选3人即可，有种选法；【小问2详解】甲乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有种选法；【小问3详解】在9人中选出5人，有种选法，甲乙均不能参加的选法有种，则甲乙两人至少有一人参加的选法有种选法；【小问4详解】①队中有2名内科医生和3名外科医生，有种选法；②队中有3名内科医生和2名外科医生，有种选法；③队中有4名内科医生和1名外科医生，有种选法，由分类计数原理，可得种不同的选法.18.设（1）时，求过的切线；（2）讨论函数的单调性；（3）的零点个数少于个，求的取值范围．【答案】（1）切线方程为；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用导数求出切线的斜率即得解；（2）先求出导数，再对分类讨论即得解；（3）先分离参数得到，再构造函数，研究函数的单调性和图象即得解.【详解】（1）时，，所以，因为，所以切线方程为.所以切线方程为.（2）.所以.当时，，此时，函数在R上单调递增；当时，，，所以函数在上单调递增，在单调递减.（3），因为时，即不是函数的零点，所以，设，所以，所以函数在单调递增，在，单调递减，当从左边趋近时，，当从右边趋近时，，当时，，当时，，又，画出的模拟图像如下所示：所以当时，直线和函数的图象的零点个数小于3个.故.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函数有两个极值点.（1）求实数的取值范围；（2）记两个极值点分别为，，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意知，导函数在上有两个不相等的实数根，再根据二次函数的性质进行求解即可；（2）根据题意可得，，是方程的两个不等正实根，根据