2025-2026学年山东省青岛胶州市第一中学高二下册3月份阶段性质量检测数学试题 含答案

/山东省青岛市胶州一中高二级2026年3月份阶段性质量检测数学试题一、单选题1.函数的导数为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】由，得.2.下列函数在上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】每个选项求导判断在上是否恒成立.【详解】对于A，，，不符合题意；对于B，在上恒成立，符合题意；对于C，，，不符合题意；对于D，，，不符合题意.故选：B3.设函数在上存在导函数，的图象在点处的切线方程为，那么（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】求出即得解.【详解】解：由题得，，所以.故选：C4.若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可.【详解】依题意知，有两个不相等的零点，故，解得且.故选：D.5.定义在上的连续可导函数，若当时，有，则下列各项正确的是A. B.C. D.与大小关系不定【答案】A【解析】【分析】根据可得的单调性，由函数连续可知，进而得到结果.【详解】由得：当时，；当时，则在上单调递增，在上单调递减在上连续即，本题正确选项：【点睛】本题考查根据函数的单调性比较大小的问题，易错点是忽略函数连续的条件，造成的大小无法确定.6.点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可【详解】不妨设，定义域为：对求导可得：令解得：（其中舍去）当时，，则此时该点到直线的距离为最小根据点到直线的距离公式可得：解得：故选：A7.已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意转化为存在，使得，即存在，使得，利用导数求在上的最小值即可.【详解】因为，所以，因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得，即，令，，则恒成立，所以在上单调递增，所以，所以.故选：A8.已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据导函数求出函数单调递减，结合函数是偶函数得出，最后应用结合函数的单调性求解即可.【详解】因为，所以,令,因为，所以单调递减，单调递减，因为，所以为偶函数，因为，所以，当时，单调递增，单调递增，所以.故选：B.二、多选题9.一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个选项：其中正确的选项有（）A.汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同；B.汽车在时间段内不断加速行驶；C.汽车在时间段内不断减速行驶；D.汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度.【答案】ABC【解析】【详解】时间段内是直线，斜率不变，故汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故A正确；时间段内，切线斜率逐渐增大，故汽车在时间段内不断加速行驶，故B正确；时间段内，切线斜率逐渐减小，故汽车在时间段内不断减速行驶，故C正确；汽车在时刻的瞬时速度大于，在内，位移不变，故时刻的瞬时速度为，故D错误.10.已知函数的定义域为且的图像是一条连续不断的曲线，的导函数为.若函数的图像如图所示，则（）A.的单调递减区间是B.的单调递增区间是，C.当时，有极值D.当时，【答案】AD【解析】【详解】根据图像可知当时，，可得；当时，，可得；结合的图像是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减；当时，，仅当时取等号，可得，对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增，因此的单调递减区间是，的单调递增区间是，即A正确，B错误；对于C，易知当时，，当时，，即在处左右两侧，函数单调性不改变，因此C错误；对于D，因为时，，由，可得，因此，即D正确.11.已知函数有两个极值点，则（）A.B.当时，有三个零点C.当时，仅有一个零点D【答案】BCD【解析】【分析】求导，根据函数有两个极值点，可得，计算可判断A；分和两种情况讨论可判断BC；利用韦达定理可得，计算可判断D.【详解】对于A，由，得，因为函数有两个极值点，所以有两个不等的实数根，即有两个不等的实数根，所以，解得或，故A错误；对于B，当时，二次函数与轴有两个不同的交点，开口向上，当时，；当，；当，，所以是极大值，是极小值，又，则可得有三个零点.同理可得当时，有三个零点，故B正确；对于C，当时，由B可知是极小值，又，所以，此时极大值，所以函数在，函数从递增到有1个零点，其余区间内无零点，同理可得当时，函数仅有一个零点，综上所述：当时，仅有一个零点，故C正确；对于D，由韦达定理可得，，又，所以，故D正确故选：BCD.三、填空题12.函数的单调递减区间为__________．【答案】【解析】【分析】通过求导，得到导函数小于零的不等式，结合定义域求解集即可.【详解】由题意，函数的定义域为，求导可得，令，因为，所以解得.所以函数的单调递减区间为.故答案为：.13.已知，直线与曲线相切，则的最小值是____________．【答案】25【解析】【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为，因为，直线的斜率为，所以，，，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值是25.故答案为：25.14.函数（>0且）只有一个零点，则b的范围________.【答案】或【解析】【分析】通过讨论的范围，利用导数研究函数的单调性，结合这一特殊点，确定使得函数只有一个零点的的取值范围.【详解】函数只有一个零点，显然.即总是零点，由题知函数只有一个零点，即不能有其他的零点.因为，由于所以若，则，即所以单调递增且，所以只有唯一一个零点.若，则，而所以导函数为单调递增函数.当时，，故所以.同理可以得到当，.即存在唯一的实数，使得.即单调递减，在单调递增.若即，此时，且，符合只有唯一一个零点.若，即，此时，则必存在一个零点又因为，因此有两个零点，不符合题意.同理，当时，也不符合题意.故或.四、解答题15.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程;（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求解，（2）由导数与单调性的关系判断后求解，【小问1详解】，则，而，故在点处的切线方程为【小问2详解】，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当，最大值为，而，，故最小值为0.16.已知函数f(x)＝ax－2lnx．（1）讨论f(x)的单调性；（2）设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据实数a的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；（2）利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.【小问1详解】当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立；当a＞0时，令得；令得；综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】由题意知ax－2lnx≤x－2在(0，＋∞)上有解则ax≤x－2＋2lnx，．令，xg'(x)＋0－g(x)↗极大值↘所以，因此有所以a的取值范围为：【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键.17.已知函数在时有极值0.（1）求函数的解析式；（2）记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，由在时有极值0,则，两式联立可求常数a，b的值，从而得解析式；（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数的取值范围.【小问1详解】由可得，因为在时有极值0，所以，即，解得或，当时，，函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去.所以常数a，b的值分别为.所以.【小问2详解】由（1）可知，，令，解得，当或时，当时，，的递增区间是和，单调递减区间为，当有极大值，当有极小值，要使函数有三个零点，则须满足，解得.18.已知函数（1）讨论函数的单调性;（2）若函数没有极值点，且对任意，，且，都有，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】（1）求得导函数，分和两种情况讨论导函数的符号，解不等式即可求得单调区间；（2）根据（1）中得到的单调性结论，将绝对值不等式转化，构造函数，通过求导数，分离参数后转化为二次函数，即可求得的取值范围．【小问1详解】解：求导可得，当时，在上恒成立，所以在上是减函数；当时，，得(舍负)，由得，由得，所以在上是增函数，在上是减函数.【小问2详解】因为函数没有极值点，可得，在上是减函数，若，则，所以，即，即；只要满足在上为减函数，，则，即在上恒成立，，所以，即的取值范围是.19.设函数，直线是曲线在点处的切线．（1）当时，求的单调区间.（2）求证：不经过点.（3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：，，）【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明见解析（3）2【解析】【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可.【小问1详解】，当时，；当，；在上单调递减，在上单调递增.则的单调递减区间为，单调递增区间为.【小问2详解】，切线的斜率为，则切线方程为，将代入则，即，则，，令，假设过，则在存在零点.，在上单调递增，，在无零点，与假设矛盾，