2025-2026学年江苏省东海县高级中学高二第二册第一次质量监测高二数学 含答案

/2025-2026学年度第二学期第一次质量监测高二数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线l的方向向量为(2,1,m)，平面α的法向量为1,12,2A．−54 C．4 D．52．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（

）A．34B．43C．3×2×1种D．4×3×2种3．若x−axA．4 B．2C．8 D．64．在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=ADA．25 B．C．27 D．5．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（

）A．36 B．72C．600 D．4806．若x2+(xA．22 B．19C．−20 D．−197．从集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}A．72 B．59C．56 D．538．已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n（m∈A．6或7B．6C．8或9D．9二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.对于m,n∈A.Cnm=C.Anm=10.已知axA.奇数项的二项式系数和为256 B.第6项的系数最大C.存在常数项 D.有理项共有6项11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1

A.存在点Q，使得C1B.存在点Q，使得CC.对于任意点Q，Q到A1CD.对于任意点Q，∆A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.四个不同小球放入编号为1、2、3、4四个盒子中，恰有一个空盒的放法有

种.13.已知正四面体ABCD的每条棱长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE→·CF14.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=4，AD=3.沿AC把∆ACD折起，使二面角D1−四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．知向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)．（1）若(a+k（2）若向量a+kb与216．3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．（1）从中选出2名男生和2名女生排成一列；（2）全体站成一排，男生互不相邻；（3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾；（4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起；17．如图，∆ABC和∆DBC所在平面垂直，且AB=（1）直线AD与直线BC所成角的大小；（2）直线AD与平面BCD所成角的大小；（3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值．18．设(3x（1）a0（2）a1（3）|a19．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC点，作EF⊥PB交PB于点（1）求证：PB⊥平面EFD（2）若平面PBC与平面PBD的夹角的正弦值为155（i）求AD长；（ii）求直线PC与平面DEF所成角的正弦值.1．C【分析】根据l⊥α可得直线l的方向向量与平面α的法向量平行，然后根据空间向量的平行关系可求【详解】因为l⊥α，所以有故选：C2．A【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得.【详解】依题意，每个人的选购方式有3种，所以不同的选购方式有

种.故选：A3．A【解析】直接利用二项式定理计算得到C6【详解】x−ax取r=2得到常数项为C62故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．A【详解】AM→∵AB=AD=2A∴AB→·AD→|==4+4+4+4+0+4=255．D【解析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】根据题意将2，4，5，6进行全排列，再将1，3插空得到A4故选：D.【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力.6．C【分析】将所求进行变形可得x2【详解】由题意得x所以a2故选：C7．D【分析】分取的两个数中有一个是1、取的两个数不含有1两种情况讨论，注意排除对数值相等的情况.【详解】①当取的两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时loga1=0，②所取的两个数不含有1时，即从2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个，分别作为底数与真数，有A8但是其中log23=log49，log综上可知：共可以得到56+1−4=53（个）不同的对数值.8．C【分析】写出(1+x)m、(1+2x)n展开式的通项，再对m、【详解】因为(1+x)m展开式的通项为Tr+1(1+2x)n展开式的通项为Tk+1若m≥2，n≥2且m∈则展开式中含x2的项为C依题意可得m(m−1)若{m=2n>3，则若{m>3n=2，则若{m=3n=3，满足题意，此时f(若{m>3n>3，此时2n若n=1，m≥2，则展开式中含x2的项为Cm2此时f(x)=(1+x)若m=1，n≥2时，展开式中含x2的项的系数为2由2n(n综上可得f(x)的展开式中含x的项的系数是8故选：C9.ABC【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答.【详解】对于A，由组合数的性质知，Cn对于B，Cn对于C，因Cnm=对于D，因An+1m故选：ABC10.BCD【分析】令x=1即可求出a【详解】解：令x=1，得(a+1)10∴x+1x对于A，12对于B，由题设展开式共11项，第6项的系数最大，故B正确；对于C，令5−52r对于D，当r=0，2，4，6，8，10故选：BCD.11．BC【分析】根据题意，以A为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题知，在正方体ABCD−A1B1建立以A为原点，分别以AB→，AD→，AA1→的方向为x轴、y所以A1(0,0,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,1)所以C1Q→当C1Q→=λ所以不存在λ使得C1Q→=λ当C1Q→因为AQ→=(0,1,a所以点Q到A1C=2a−因为QC→=(1,0,−a)，所以cos⟨QC→所以三角形A1故选：BC．12．144【分析】首先把四个小球分成2、1、1三组，然后再从四个盒子中选出三个盒子放入三组小球，即可求解.【详解】首先把四个小球分成2、1、1三组，共有C4然后再从四个盒子中选出三个盒子放入三组小球，共有C4故答案为：144.【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中熟记分配问题的处理方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.13．−12##【分析】根据题设有AE→=1【详解】由题设，四面体各侧面均是等边三角形，且边长都为1，AE→=1所以AE=1故答案为：−14.16【分析】以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角即可.【详解】以点B为坐标原点，平面ABC为xOy平面，BC，BA方向分别为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C(3,0,0)，在矩形ABCD中，作DH⊥AC于H，HM⊥BC于M，HN⊥AB于N，则因为AB=4，AD=3，所以AC=所以AH=32−12所以D12725,64设平面D1BC的法向量为则{n→⋅BC→因为平面ABC的一个法向量为m→所以cos♢m，n由图可知二面角D1所以二面角D1−BC15.（1）k（2）k【分析】（1）先求出a+kb=(1−k（2）由题意得到(a+kb)·(2【详解】（1）因为a=(1,1,0)，b所以a+kb因为(a+kb)∥(2（2）因为向量a+kb所以(a+kb)·(2由（1）知，a+kb故{1−解得k>−1

且

k≠1216.(1)432(2)1440(3)3600(4)1440【分析】（1）根据条件，利用组合与排列先选后排，即可求解；（2）根据条件，利用不相邻问题插入法，即可求解；（3）利用特殊元素优先考虑，结合条件，即可求解；（4）利用相邻问题捆绑法，即可求解.【详解】（1）从3名男生中任选2名有C32种选法，从4名女生中任选2名有再将选取的4人排列有A44种排法，由乘法原理共有C4（2）先将女生全排有A44种，再从5个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有由乘法原理共有A4（3）先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有（4）甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有A22种，再与剩下的5个人排列有A617.（1）90°（2）45°（3）5【分析】（1）作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、（2）显然平面BCD的一个法向量为n1（3）求出平面CBD的一个法向量为n1以及平面ABD的一个法向量为n2，求出两法向量的余弦值的绝对值即为平面ABD和平面【详解】解：设AB=1，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、yO(0,0,0)，D32,0,0，B（1）AD→=AD→·BC→=32（2）AD→=32,0,−|cos<∴，直线AD与平面BCD所成角的大小45°（3）设平面ABD的法向量为n2=(所以{n→2⋅AB→=0n→2则n设平面ABD和平面BDC的夹角为θ，则|因此平面ABD和平面BDC的夹角的余弦为5518.（1）−8128；（2）8256；（3）16384。【解析】（1）取x=1和x（2）根据（1）中结论直接得到答案。（3）利用二项式定理的通项，考虑系数的正负，计算得到答案。【详解】（1）取x=1得到a取x=−1得到a两式相加得到a0（2）根据（1）知：a1（3）(3x−1)故当r为偶数时，对应系数为正；当r为奇数时，对应系数为负，故|=8256−(−8128)=16384.【点睛】本题考查了赋值法求系数和，二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.（1）证明见解析（2）（i）2；（ii）3【分析】（1）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，计算PB→·DE→=0+（2）（i）求出平面PBC与平面PBD的法向量，由两平面夹角的正弦值求AD长；（ii）由（1）可知∠PEF是直线PC与平面DEF所成角的一个平面角，Rt【详解】（1）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=a，则P(0,0,1)，E(0,