2025-2026学年山东淄博市临淄中学高二下册4月阶段性检测数学试题 含答案

/临淄中学高二阶段性检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设f(x)是可导函数，且，则（）A.2 B. C.-1 D.-2【答案】B【解析】【分析】由已知及导数的定义求即可.【详解】由题设，.故选：B2.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得.【详解】依题意，每个人的选购方式有3种，所以不同的选购方式有种.故选：A3.若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义分析运算．【详解】，则，设直线l与曲线C的切点，则直线l的斜率，由于直线斜率为，则，解得，所以，即切点为，故，解得．故选：C.4.已知函数，则“”是“有极值”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】若函数有极值，则有变号零点，进而求的取值范围可得结果.【详解】，函数的图象关于直线对称，则有极值的充要条件是，解得.于是“”是“有极值”的充分不必要条件.故选：A5.已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（）A.1 B.3 C.1或3 D.2或【答案】B【解析】【分析】求导，令，即可得求导m值，分别代入导函数检验，当时，在x=1处取得极小值，故舍去，当时，在处取得极大值，即可得答案.【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值，所以，解得或，当时，，令，解得或，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去，当时，，令，解得或，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在处取得极大值，故满足题意综上.故选：B【点睛】易错点为，通过，解得或，需代回导函数检验，x=1处为极大值点还是极小值点，方可得答案.6.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.有极大值 B.有极小值C.有极大值 D.有极小值【答案】A【解析】【分析】由函数的图象，可得函数的单调性，则答案可求.【详解】函数的图象如图所示，当时，；当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，有极大值，无极小值，故选：.7.已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由于函数在不是单调函数，则在内存在极值点，求导即可得结果．【详解】由于函数在不是单调函数，则在内存在极值点，所以在内有解，即在内有解，．故选：D8.已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，条件，通过整理得到，构造函数，得到在上的单调性，求出，分别按照，，讨论求解.【详解】，，，，，，，，设，则，，，在上是增函数，，，当时，，满足在上是增函数，符合题意；当时，在上是增函数，开口向上，又对称轴为，，；当时，在上是增函数，开口向下，又对称轴为，，；综上可知，的取值范围为.故选：B二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列计算正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AC【解析】【分析】根据求导运算规则逐项计算即可判断各选项.【详解】，则，故A正确；，则，故错误；，则，故C正确；，则，故D错误．故选：AC10.已知函数，则（）A. B.C.在上单调递增 D.不等式的解集为【答案】ACD【解析】【详解】已知函数，则，所以，，当且仅当时，即当时等号成立，所以函数在上为增函数；由，得.因为函数在上为增函数，由可得.故不等式的解集为，ACD都对，B错.11.已知，函数，则（）A.的图象关于y轴对称B.恰有3个零点C.恰有2个极值点D.在上单调递增【答案】BCD【解析】【分析】根据奇偶函数的定义判断与的关系即可判断A；求出后，式子比较复杂，构造函数，通过导数研究的单调性，零点来研究的性质，从而可判断BCD.【详解】因为函数是定义在上的函数，所以定义域关于原点对称，且，所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A错误.由得，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，，由函数零点存在定理知在上只有一个零点，设为，在上只有一个零点，设为，作出的大致图象如图1：所以当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；当时，，即，单调递减，所以恰有2个极值点，故C正确.又，且当时，,作出的大致图象如图2：所以恰有3个零点，故B正确.因为，由图1知，当时，，即，单调递增，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的单调递减区间是__________．【答案】，【解析】【分析】对求导，利用导数与函数单调性的关系，由求解.【详解】解：因为，所以的定义域为，则，当时，，所以单调递减区间是，故答案为：，13.给5名同学安排不同的职务：班长、副班长、学习委员、生活委员、纪律委员，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的安排方案种数为________．【答案】18【解析】【详解】根据题意，只适合当学习委员，有1种情况，不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有（种）情况，由分步乘法计数原理可得出共有（种）分工方案．14.已知函数，则它的极小值为_______；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是_____________.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）利用导数可求得函数的极小值；（2）由题意可得出，分、、三种情况讨论，根据题意可得出关于的不等式，进而可求得的取值范围.【详解】（1）由，得，令，得，列表如下：极小值所以，函数的极小值为；（2），，使得，即，.①当时，函数单调递增，，，即；②当时，函数单调递减，，，即；③当时，，不符合题意.综上：.故答案为：；.【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了存在性问题与恒成立问题综合，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.四、解答题：本题共3小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数是函数的一个极值点.（1）求函数的单调递增区间；（2）当，求函数的最小值.【答案】（1）和；（2）.【解析】【分析】（1）由极值点求出参数，再代入，解不等式求递增区间（2）求在上的极值，与端点值比较得出最小值.【详解】（1）由题意，则，当时，；当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为和（2）当时，的变化情况如下表x012＋0－0＋增函数极大值减函数极小值增函数当.当.所以当时，函数的最小值为.【点睛】用导数法求最值方法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；16.已知函数．（1）求函数在处的切线方程．（2）若在区间上单调，求实数的取值范围；（3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用导数求出切线斜率，即可得解；（2）利用导数求出函数的单调区间，根据题意即可求出的取值范围；（3）根据题意转化为方程有两个不同的实数根，再转化为函数图象交点个数问题，利用导数研究的单调性及极值即可得解.【小问1详解】的定义域为，，f'e=1+所以函数在处的切线方程为，即.【小问2详解】由（1）知，令得，令得，故在上单调递减，在上单调递增，因为在区间上单调，所以，故实数的取值范围为；【小问3详解】令，即，，所以，，函数gx=fx−令，，则，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，则，且当时，；当时，hx→0+，故要使与有两个交点，需使b∈0,1故实数的取值范围为.17.已知函数.（1）求函数在区间上的最大值；（2）当时，证明：.【答案】（1）答案见解析（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求导，得到，分，和三种情况，结合函数单调性得到最大值；（2）变形为，构造，求导，结合零点存在性定理得到函数单调性，求出最大值为，故，证明出结论.【小问1详解】，，故，若时，，又，所以，所以在上单调递减，所以最大值为，若，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，最大值为，若时，时，，所以在上单调递增，故最大值为，综上，当时，最大值为；当时，最大值为；当时，最大值为；【小问2详解】当时，，定义域为，，即证，即，令，则，令，，则，故在上单调递减，其中，，由零点存在性定理得，使得，即，当时，，，当时，，，故在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为，，故，所以，所以，故.18.已知函数.（1）若存在极值，求a的取值范围；（2）当，且时，证明：函数有且仅有两个零点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据存在极值的充分条件，求导，利用分类讨论，可得答案；（2）利用导数，研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案.【小问1详解】，，当，即时，，在上单调递增，没有极值，当，即时，令，可得，此时函数单调递增，令，可得，此时函数单调递减，所以函数在处取得极大值，没有极小值，符合题意，故a的取值范围为.【小问2详解】当时，，，设，因为，，所以在上单调递减，因为，，所以在存在唯一零点，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在上存在唯一极值点，且，由，，令，，由，；，，则在上单调递增，在单调递减，即，故，即，故，故在和上各有一个零点，所以时，函数有且仅有两个零点．19.已知函数，．（1）判断的单调性；（2）若，求的值；（3）已知，．若，证明：．【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上递减；（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，按照和分类讨论，利用导数研究单调性即可求解；（2）由，得，根据的情况分类讨论，当时，由（1）有，令，利用导数研究最小值即可求解；（3）令hx=g【小问1详解】由得：，当时，f'x=−aex当时，令，解得：，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，