2025-2026学年四川泸州市雁林高级中学高二下册第一次月考数学试题 含答案

/高二下学期第一次月考数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.1.直线：的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直线方程求出斜率即可得解.【详解】由直线：，可得，即直线斜率，又，所以，故选：D2.复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据模的定义计算，并化简得到，再根据虚部的定义作出判定.【详解】∵，∴的虚部为，故选：A.3.已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（

）A.-3m/s B.3m/s C.-4m/s D.1m/s【答案】A【解析】【分析】利用导数求出的值，即可得出答案.【详解】因为，则，故.当时，该质点的瞬时速度为.故选：A.4.记为等差数列的前项和.若，则（）A.50 B.44 C.40 D.36【答案】B【解析】【分析】利用等差数列性质计算可得，得出首项和公差，再由等差数列前项和公式计算即可,【详解】根据题意可知，又，可得，所以公差，可知首项；.故选：B.5.圆：与圆：的位置关系是（）A.内含 B.外切 C.内切 D.相交【答案】B【解析】【分析】求出圆心和半径，圆心和半径，利用两点间的距离公式求出，比较和的大小得到两圆的位置关系.【详解】：，圆心，半径，：，圆心，半径，，，，圆：与圆：的位置关系是外切.故选：B.6.记为等比数列的前n项和.若，，则（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.【详解】∵为等比数列的前n项和，，∴，，成等比数列∴，∴，∴.故选：A.7.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（）A.14 B.9 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线方程的特点直接列式计算作答.【详解】设椭圆半焦距为c，则，而椭圆与双曲线有共同的焦点，则在双曲线中，，即有，解得，所以.故选：C8.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象.【详解】易知，因为，令，得，或，则时，，时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，所以选项A符合题意,故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得选对分，选错得0分.9.下列求导正确的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根据基本初等函数求导公式、导数的四则运算法则及复合函数求导法则即可求解.【详解】A选项，，故A错误；B选项，，故B错误；C选项，，故C正确；D选项，，故D正确.故选：CD.10.已知，，是空间中的三个点，则（）A.向量的模长为4B.直线的一个方向向量为C.向量在向量方向上的投影向量为D.若，则，，，四点共面【答案】BD【解析】【分析】利用，，三点的坐标写出向量，的坐标，即可求出及直线的一个方向向量，从而可以判断A，B选项；再利用投影向量的公式即可求出向量在向量方向上的投影向量，从而判断C选项；利用空间向量共面定理可以判断与、共线，从而判断D选项.【详解】，，，，，对于A：，故A错误；对于B：直线的方向向量与共线，而，直线的一个方向向量是，故B正确；对于C：，，向量在向量方向上的投影向量为，故C错误；对于D：，，与不共线，，，设存在唯一实数对使得，则，，，存在唯一实数对使得，与、共面，即，，，四点共面，故D正确.故选：BD.11.下列结论中正确的是（）A.已知直线过点，且在,轴上截距相等,则直线的方程为B.若点是圆上任意一点,则的取值范围是.C.若直线上存在点，过点作圆的切线,,切点分别为,,使得为直角，则实数的取值范围为.D.已知圆,点，过点作直线交圆于,两点，则的取值范围是.【答案】BCD【解析】【分析】对于A，当直线过原点时，直线也满足条件，故可判断A错误；对于B，利用三角换元求解判断B；对于C，可判断点的轨迹是以为圆心,半径为的圆,又点在直线上，故直线与该圆有公共点，易求出的取值范围；对于D，弦中点的轨迹是以为直径的圆，求出的最值，即可求出的取值范围.【详解】对于A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，故A错误；对于B，圆的圆心为，设，则，则，故B正确；对于C，连接，如图，则易知四边形为正方形，所以，可得点的轨迹是圆心为，半径为的圆，又点在直线上，故直线与该圆有公共点，圆心到直线的距离，即解得，故C正确；对于D，取中点，连接，如图所示：则，点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径，因为,所以即，，所以,故D正确.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共10小题.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据，，，的方差为4，若数据，，，的方差为36，则b的值为______.【答案】3或【解析】【分析】利用平均数和方差公式可得结果.【详解】设数据，，，的平均数为，方差为，则，，设数据，，，的平均数为，方差为，则，，所以或，故答案为：3或.13.已知函数，则在处的切线方程为________.【答案】【解析】【分析】应用导数定义求切线斜率，应用点斜式写出切线方程.【详解】由，则，，故，则，即.又切线过，所以在处的切线为，即.故答案为：.14.经过两圆和的交点的直线方程为__．【答案】【解析】【分析】将两个圆的标准方程化为一般方程，然后作差，得到公共弦方程．【详解】解：的一般方程为：①，的一般方程为：②，①②可得，，即，所以两圆公共弦方程为，故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩整理后，分为五组（，，，，）.（1）求图中的值.（2）若根据这次成绩，年级准备淘汰80％的同学，仅留20％的同学进入下一轮竞赛，则成绩至少要达到多少分才可以晋级？（3）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的2人恰好来自同一小组的概率.【答案】（1）0.032；（2）78分；（3）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1求出.（2）利用频率分布直方图求出第80百分位数即可.（3）求出抽取的6人中每个小组的人数，再利用列举法求出古典概率.【小问1详解】由频率分布直方图得，所以.【小问2详解】成绩落在内的频率为：，落在内的频率为：，则第80百分位数，因此，解得，所以成绩至少要达到78分才可以晋级.【小问3详解】由频率分布直方图得成绩在的频率比为，因此成绩在内抽取人，记为，成绩在内抽取2人，记为，设“抽到的两位同学来自同一小组”，样本空间，共15个样本点，则，共7个样本点，所以选出的2人恰好来自同一小组的概率．16.设为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的基本量运算列方程求出首项与公差即得其通项公式；（2）先求出数列的通项，裂项后求和即得.【小问1详解】设等差数列的公差为，由条件可知，解得，，所以的通项公式为．【小问2详解】因为，所以数列的前项和为.17.如图，在正方体中，E为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；[方法二]:空间向量坐标法以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，则.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：几何法延长到，使得，连接，交于，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,连接，作,垂足为,连接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直线平面,又∵直线平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为2，则,,∴,∴,∴,即直线与平面所成角的正弦值为.[方法二]：向量法接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.[方法三]：几何法+体积法如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P．因为，所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．设正方体的棱长为2，在中，易得，可得．由，得，整理得．所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，在中，，，所以，易得．由，得，解得，设直线与平面所成的角为，所以．【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.18.记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.【小问1详解】∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显