2025-2026学年天津西青区津衡高级中学高二下册数学三月（二）质检试题 含答案

/天津津衡中学高二下学期数学学科三月（二）质检试题时间：120分钟分值：150分审核人：高二数学组第I卷（选择题共50分）一､单选题（每小题5分，共50分）1.（）A.10 B.5 C.20 D.4【答案】B【解析】【分析】用排列数公式展开即可求得.【详解】．故选：B2.曲线在点处的切线的倾斜角为（）A.30° B.45° C.60° D.135°【答案】D【解析】【分析】首先求出导函数，再求出导数值，即可得到切线的斜率，从而得到切线的倾斜角.【详解】因为，所以，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，所以切线的倾斜角为.故选：D.3.下列式子不正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】应用导数运算律及求导公式计算判断A，C，再应用复合函数求导计算判断B，D.【详解】对于A：，A选项正确；对于B：，B选项正确；对于C：，C选项正确；对于D：，D选项错误.故选：D.4.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（）A.144种 B.120种 C.108种 D.96种【答案】A【解析】【分析】利用分步计数原理，按照顺序去考虑涂色，注意区域1和区域3同色和不同色的问题即可.【详解】先涂区域1和区域2，有种涂色方法，再涂区域3，这时有两类：若区域1和区域3同色，则涂区域4和区域5有种涂色方法，若区域1和区域3不同色，则涂区域3，区域4和区域5有种涂色方法，所以不同的涂色种数有种涂色方法.故选：A.5.设等差数列的前n项和为，且公差不为0，若，，，成等比数列，，则（）A.7 B.8 C.10 D.123【答案】C【解析】【分析】设公差为，由题意可得的方程组，解方程组求出可得答案.【详解】设公差为，由题意可得，即，解得舍去，或，所以，可得.故选：C.6.已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】由为正三角形，得到圆心到直线的距离，即可求解.【详解】圆，即，可知圆心为，半径，且，圆心到直线的距离，因为圆与相交于两点，且为正三角形，所以，即，解得.故选：C.7.若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出导函数，利用极值点、极值列方程组求解可得，根据在区间上的单调性列表求值域即可.【详解】由，所以，因为函数在处取得极大值3，所以，所以，，令，解得或，当变化时，在的变化情况如表所示，012极小值所以根据上表可知，在上的值域为，故选：D8.已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线相交于两点，在直线的左边，与双曲线的一条渐近线交于点，，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中点得出平行关系，结合渐近线斜率得到，结合定义和余弦定理可求答案.【详解】如图，因为，所以为中点，因为为的中点，所以.设焦距为，直线与轴的交点为，因为，所以;所以，又，所以.又，所以，由双曲线的定义可得；在中，由余弦定理可得，解得或（舍），所以，，双曲线的方程为.故选：D9.已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解.【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根，令，则，由得；得；则在单调递增，在上单调递减，则，因为时；时，且时，所以的函数图象如图：因为不是的根，所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是，但方程的两根的乘积为，所以一个根位于，另一根位于，则，得，故的取值范围是.故选：C第Ⅱ卷（共100分）二､填空题（每小题5分，共30分）10.函数在点处的切线与平行，则___________．【答案】1【解析】【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合已知求出.【详解】函数，求导得，则，由函数在点处的切线与平行，得，此时，切点不在直线上，符合题意，所以.故答案为：111.已知数列的前项和，则的前8项和为__________．【答案】32【解析】【分析】根据，求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前8项的和即可.【详解】已知，.当时，.满足上式，所以，.则当时，；当时，；所以a=7+5+3+1−12.若直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，且，则的中点横坐标为__________________.【答案】【解析】【分析】利用抛物线的定义和中点坐标公式求解.【详解】记为焦点到准线的距离，则，，分别过点作准线的垂线，垂足分别为，直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，根据抛物线的定义得到，设，，，，，，，，的中点横坐标为，故答案为：.13.过双曲线（）左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率是________．【答案】##【解析】【分析】取线段的中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答.【详解】设双曲线的右焦点为，半焦距为，取线段的中点，因为切圆于，则，有，因为，则有，，而为的中点，于是即，，在中，，整理得，所以双曲线的离心率为．故答案为：.14.在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是____________.【答案】【解析】【分析】记这个数构成递增等比数列为，则由，，可求得，代入即可得出答案.【详解】记这个数构成递增的等比数列为，则由，，由，则，，故.故答案为：.15.已知函数，若，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，转化为讨论三个因式正负号问题，分点，和，三种情况分析讨论，得到当，时，恒成立，进而得到，令，利用导数求得函数的单调性，求得其最大值，即可得到答案.【详解】由函数，可得其定义域为，因为恒成立，所以三个因式正负号问题，当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立，又因为，所以，①当时，因为，所以，且时，，此时不满足恒成立，②当时，因为，当时，，所以不能满足恒成立，③当时，因为，所以，要使得，则须，又因为函数和在上都单调递增函数，要使得在上恒成立，必须两个函数值符号相同，所以两个函数的零点也相同，即且，综上可得，当，时，恒成立，所以，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以的最大值为.故答案为：.三､解答题（共70分）16.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在上的单调区间､极值；（3）设在上有两个零点，求的范围．【答案】（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值；（3）【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）求导后可得函数单调区间，即可得其极值；（3）利用函数单调性，求出其极值及端点值后即可得解.【小问1详解】，，，则曲线在点处的切线方程为，整理得；【小问2详解】，令，解得或，则当时，，当时，，故在上的单调递增区间为，单调递减区间为，则函数在上有极大值，无极小值；【小问3详解】由（2）知，在上的单调递增区间为，单调递减区间为，由，，，故的取值范围为.17.已知椭圆C：的长轴长为4，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点M，线段的垂直平分线与交于点P，与y轴交于点Q，O为坐标原点，如果，求k的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意列出的方程组，求解即得椭圆方程；（2）将直线与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，写出直线的方程，求得点的坐标.法一：根据条件推得,计算求得的值；法二：根据条件推得，由求出的值.【小问1详解】由题设得，解得，，，所以椭圆C的方程为.【小问2详解】联立，得，由，得，设，，则，，所以点的横坐标，纵坐标为，所以直线方程为，令，则点的纵坐标，则，因为，所以点、点在原点两侧，因为，所以，法一：由上可得，因为，，所以，解得，所以.法二：因,故有，即，因为，，所以，解得，所以.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合图形，将相关条件等价转化，再结合韦达定理解决问题.18.已知函数．（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；（2）当时，，且，求证：．（3）若，对任意，不等式恒成立，求的取值范围；【答案】（1），（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义列出相应方程求解即可.（2）当时求出及导数，判断其单调性，不妨设，则要证明，即证，，即证，结合，即只需证明，从而令，，求其导数，判断单调性，即可证明结论.（3）利用导数判断函数的单调性，从而将化为，构造函数，判断其单调性，得到在上恒成立，分离参数求函数最值即可.【小问1详解】已知，则.因为曲线在处的切线的方程为，所以，，所以，.【小问2详解】当时，，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增，由于，且，故不妨设，则要证明，即证，而，当时，单调递增，故只需证，又，所以只需证.令，，则，.所以.当时，，所以在上单调递减，故.即当时，，即有，故原命题成立，即.【小问3详解】因为，，所以，，故函数在上单调递增.不妨设，则可化为.设，则，所以在上单调递增，即在上恒成立，等价于在上恒成立，即在上恒成立.令，则，当时，，故在上单调递增，所以当时，，所以，故的取值范围为.19.已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若在数列任意相邻两项、之间插入一个实数，从而构成一个新的数列.若实数满足，求数列的前项和.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）利用条件计算等差数列、等比数列的基本量即可；（2）利用错位相减法计算求和即可；（3）先求出，再利用裂项相消法及分组法计算求和即可.【小问1详解】由已知，得，解得，，所以，.【小问2详解】因为，所以，则，则，所以.【小问3详解】由（1）得，则，则，所以.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若恰有两个零点，（其中），（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：.【答案】（1）（2）①实数的取值范围是；②不等式成立，证明过程见详解【解析】【分析】（1）先求出时函数的表达式，再对其求导，得到切线斜率，最后结合切点坐标求出切线方程.（2）①先求出导函数分和两种情况得出单调性及极值计算求参；②利用放缩法证明．左侧证；右侧构造，证．【小问1详解】当时，，将代入可得，，，切线方程为，即.【小问2详