1.第一章.函数、极限与连续

高等数学第一章知识归纳——————————————【囊萤映雪•濂萤引学】函数、极限与连续学习寄语：①第一章极限奠定了全书的基础。后面的导数、积分、二重积分都以此为基础展开。因此万不可因为觉得简单而忽略了对基础概念的理解。本章的重要概念如无穷大、无穷小等，一定要彻底吃透定义，理解其含义。②关于习题的练习，课后题与往年真题足够。第一章主要是计算的训练。首先是计算的准确性和速度，这需要大量的计算练习堆砌；其次是计算的简便性，这一点主要体现在重要极限的灵活运用中。这两点其实是相辅相成的，当自己总结出一套简单的算法时，准确率和速度必然会得到很大提升，而这两点在考试中也是极其重要的。抓住定义，盯紧运算，相信大家都会很快攻克第一章。祝高数高分！【知识点】函数概念：设D为非空数集，x和y为两个变量，如果对每一个x∈D，按照一定的对应法则f，总有唯一的数y与之对应，就称y为x的函数，记为。数集D称为该函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。当x取数值时，依法则f的对应值称为函数在时的函数值。所有函数值组成的集合称为的值域。基本要素：定义域、对应法则定义域是自变量的变化范围；对应法则f是因变量y与自变量x之间函数关系的具体表现；※值域是要素，但不是基本要素，当定义域与对应法则确定，值域随之确定邻域：设，数集称为点的邻域，记作，即。用表示点的空心邻域，即几种特性有界性单调性奇偶性 周期性基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而构成并可以用一个式子表示的函数极限自变量x趋于无穷大时的极限※无穷大包括正无穷大和负无穷大，也可理解为x的绝对值|x|无限增大定义：设函数在内有定义（b>a），如果当x的绝对值无限增大（记为）时，所对应的函数值f(x)无限趋近于某一个确定的常数A，则称A为函数当时的极限，记为或（当）。自变量x趋于有限值时函数的极限定义：设函数在点的某个空心邻域有定义，若当自变量x（）趋于时，函数无限趋近于某一个确定的常数A，则称A为函数当时的极限，记为或（当）。单侧极限：自变量x仅从点的左侧趋于，记，此时称为函数y=f(x)在点的左极限，记；同理，右极限为※当时，函数极限存在的充分必要条件是函数的左右极限同时存在且相等。即极限的运算法则四则运算两个重要极限无穷大与无穷小无穷小：绝对值无限变小的变量。是变量！！！！！定义：当（）时，以0为极限的函数称为当（）时的无穷小量。※无穷小与负无穷大区别，也不是绝对值很小的常数，它无限趋近0但不等于0。⇔，其中是时的一个无穷小量。（自变量具有相同变化趋势的无穷小量）运算性质：①有限个无穷小量的代数和是无穷小量；②有限个无穷小量的乘积是无穷小量；无穷小量的阶：设和是自变量x在同一变化过程中的两个无穷小量，且，如果①，则是比高阶的无穷小，记作；②，则称与是同阶的无穷小；③，与是等价的无穷小，记作~。无穷大：绝对值无限增大的变量（！！！！）定义：当（）函数f(x)的绝对值无限增大，则称称当（）时的无穷大量。记作（3）若是时的无穷小量且，则是时的无穷大量；反之，是时的无穷大量，则是时的无穷小量。连续1.连续的定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的变化量趋向于0时，对应函数的增量也趋向于0，即，则称函数在点处连续，为的连续点。若函数在处不连续，则称为的间断点。⇒设函数在点的某一邻域内有定义，若，则称函数在点处连续。⇒如果满足或，则称函数在处连续。※在处连续⇔在处既左连续又右连续。函数的间断点第一类间断点：左右极限都存在①左右极限相等（但不等于）——可去间断点②左右极限不相等——跳跃间断点第二类间断点：除了第一类之外的所有间断点初等函数的连续性连续函数的性质：①若函数在点处连续，则均在点连续；②若函数在点连续，且，函数在点连续，则复合函数点连续。※基本初等函数在其定义域内是连续的⇒一切初等函数在其定义域内是连续的分段函数连续性在分段点处依据左右连续讨论。闭区间上连续函数的性质最大最小值定理：设在上连续，则存在使为最小值和最大值介值定理：设在上连续，为介于之间的任意数，则至少存在一点。零点定理：设在上连续，，则至少存在一点。

【练习】求下列极限lim解答设，研究在点处的左连续性与右连续性设，求的表达式和定义域。设的定义域为,求函数的定义域求的间断点，并判别其类型

【答案】泰勒展开（不要求可自学）泰勒展开（不要求可自学）PS：本资料均为学长学姐依照往年期末考试题、课后题、老师讲课内容所进行的总结和勾画，非老师勾画的重点，仅供同学复习时参考。本资料依照医用高等数学编撰，与大学文科数学内容分布不同，请依照课本进度使用。关于我们：学生服务部是宗濂书院致力于学生学习和权益服务的部门。濂学习项目从2023年八月开始，第一阶段计划为大一学生构建学习资料库，之后逐渐将服务全体扩散至整个宗濂书院。如果学习资料出现问题，或你有更好的建议，欢迎联系学生服务部公邮xuefu666888@163.com。如被采纳，将有精美礼品相送哦。欢迎大二及以上同学投稿学习资料，如被收录，将给予公示奖励。学生服务部会不定期在网盘中更新大一知识点汇总、章节题目、思维导图等学习资料。