北师大版（2019）数学必修第一册2.3《函数的单调性和最值》＋教案＋学案

北师大版（2019）数学必修第一册2.3《函数的单调性和最值》＋教案＋学案学科XX年级册别七年级下册XX教材XX授课类型新授课1课程基本信息1.课程名称：北师大版（2019）数学必修第一册2.3《函数的单调性和最值》

2.教学年级和班级：高中一年级

3.授课时间：2023年11月15日，第3节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.培养学生运用函数思想分析问题、解决问题的能力。

2.提升学生观察、归纳、推理和抽象思维的能力。

3.增强学生对数学概念的理解，形成数学直觉。

4.培养学生运用数学语言表达和交流的能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在本节课之前已经学习了函数的基本概念、图像、性质等基础知识，具备了一定的函数分析能力。他们能够识别函数的类型，理解函数的图像特征，以及如何通过图像判断函数的单调性和奇偶性。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中一年级学生对数学课程通常持有较高的兴趣，他们渴望通过数学学习来解决问题和探索未知。学生的能力差异较大，部分学生具有较强的逻辑思维能力和抽象思维能力，能够快速理解新概念；而部分学生可能在抽象思维和逻辑推理方面存在一定困难。学习风格上，有的学生偏好通过直观的图像来理解函数性质，有的则更倾向于通过公式和定理进行推理。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习函数的单调性和最值时，可能难以理解单调性的定义和判断方法，尤其是在处理复合函数时。此外，如何从图像上直观地识别函数的最值也是学生的一个难点。部分学生可能因为缺乏空间想象能力而难以理解函数图像的变化。因此，教学中需要注重引导学生从具体实例出发，逐步抽象出概念，并通过多种教学方法帮助学生克服这些困难。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的方法，通过讲解函数单调性和最值的基本概念，引导学生参与讨论，加深理解。

2.设计实例分析活动，让学生通过小组合作，分析具体函数的单调性和最值，培养解决问题的能力。

3.利用多媒体展示函数图像，帮助学生直观理解单调性和最值的特征。

4.设计互动游戏，如“找规律”游戏，让学生在游戏中体验函数性质的变化，提高学习兴趣。教学流程（一）导入新课（用时5分钟）

1.展示一系列日常生活中涉及单调性和最值的实际问题，如气温变化、商品促销等，引发学生思考。

2.提问：这些实际问题中存在哪些数学关系？如何用数学语言描述？

3.引出课题：《函数的单调性和最值》，说明本节课要解决的问题。

（二）新课讲授（用时15分钟）

1.讲解函数单调性的定义和判断方法，结合实例说明如何判断函数的单调性。

2.分析函数图像与单调性的关系，引导学生观察不同单调性函数的图像特征。

3.讲解函数最值的求法，包括极值点和边界点的求法。

（三）实践活动（用时15分钟）

1.让学生根据所学知识，判断以下函数的单调性：$f(x)=x^2$，$f(x)=-x^2$，$f(x)=2x-1$。

2.利用函数图像绘制工具，绘制函数$f(x)=x^3$的图像，并观察其单调性和最值。

3.让学生尝试求解函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$区间上的最大值和最小值。

（四）学生小组讨论（用时15分钟）

1.学生分组讨论：如何判断一个函数的单调性？

-举例回答：通过观察函数图像，若函数图像上升或下降，则函数单调递增或递减。

-举例回答：通过求导，若导数大于0，则函数单调递增；若导数小于0，则函数单调递减。

-举例回答：结合函数的定义域，考虑函数在定义域内的变化情况。

2.学生分组讨论：如何求解函数的最值？

-举例回答：先求出函数的导数，然后令导数为0，求出可能的极值点。

-举例回答：考虑函数在定义域的边界点上的取值，比较各极值点和边界点的函数值。

-举例回答：对于一些特殊函数，如二次函数，可以直接利用公式求出最值。

3.学生分组讨论：如何应用函数的单调性和最值解决实际问题？

-举例回答：利用函数的单调性判断商品促销活动的优惠力度。

-举例回答：利用函数的最值解决气温变化问题，如预报最高温度和最低温度。

-举例回答：利用函数的单调性和最值设计合理的管理策略，如库存管理。

（五）总结回顾（用时5分钟）

1.回顾本节课所学内容：函数的单调性、最值的求法及其应用。

2.强调本节课的重难点：如何判断函数的单调性和最值，以及如何将所学知识应用于实际问题。

3.布置课后作业，巩固所学知识。知识点梳理1.函数的单调性

-单调递增函数：在定义域内，对于任意两个数$x_1$和$x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)\leqf(x_2)$。

-单调递减函数：在定义域内，对于任意两个数$x_1$和$x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)\geqf(x_2)$。

-单调性的判断方法：通过观察函数图像，或求导后判断导数的正负。

2.函数的最值

-最值的概念：函数在某个区间内的最大值或最小值。

-最值的求法：

-求导法：先求出函数的导数，然后令导数为0，求出可能的极值点；比较各极值点和边界点的函数值。

-拉格朗日中值定理：若函数在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。

-边界值法：考虑函数在定义域的边界点上的取值。

3.函数的单调性和最值的关系

-单调递增函数在其定义域内可能存在最大值，但一定不存在最小值。

-单调递减函数在其定义域内可能存在最小值，但一定不存在最大值。

-非单调函数在其定义域内可能存在最大值和最小值。

4.函数的单调性和最值的应用

-解决实际问题：如商品促销活动、气温变化等。

-设计合理的管理策略：如库存管理、生产计划等。

-解决数学问题：如求函数的最大值或最小值、证明函数的单调性等。

5.函数图像与单调性和最值的关系

-单调递增函数的图像在定义域内是上升的。

-单调递减函数的图像在定义域内是下降的。

-函数的最大值对应于图像的峰值，最小值对应于图像的谷值。

6.求函数最值的步骤

-确定函数的定义域。

-求函数的导数。

-令导数为0，求出可能的极值点。

-比较各极值点和边界点的函数值。

-得出函数的最大值和最小值。

7.求函数最值的特殊情况

-函数在定义域内只有一个极值点，则该极值点为最大值或最小值。

-函数在定义域内有多个极值点，则比较各极值点的函数值，取最大值或最小值。

-函数在定义域内没有极值点，则比较边界点的函数值，取最大值或最小值。

8.函数的单调性和最值的几何意义

-函数的单调性反映了函数图像的倾斜程度。

-函数的最值反映了函数图像的峰值和谷值。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《数学分析导论》中关于函数单调性和最值的相关章节，特别是对拉格朗日中值定理的深入探讨。

-视频资源：在线教育平台上的数学视频讲座，如“函数的单调性与最值”专题讲解，帮助学生从不同角度理解相关概念。

2.拓展要求：

-鼓励学生在课后阅读上述材料，通过自主学习加深对函数单调性和最值概念的理解。

-学生可以尝试解决书中的例题和习题，以巩固所学知识。

-教师可以组织学生进行小组讨论，分享各自的学习心得和解决难题的方法。

-对于学生在阅读和讨论过程中遇到的疑问，教师应提供必要的指导和帮助，如推荐相关的学习资源或进行个别辅导。

-学生可以尝试将所学知识应用于实际问题，如分析经济数据中的趋势变化，或者设计简单的数学模型来预测天气变化等。

-鼓励学生进行创新性思考，尝试将函数的单调性和最值理论应用于新的领域，如物理学中的能量变化分析等。板书设计①函数单调性

-单调递增：$f(x_1)\leqf(x_2)$（$x_1<x_2$）

-单调递减：$f(x_1)\geqf(x_2)$（$x_1<x_2$）

-判断方法：观察图像、求导判断导数符号

②函数最值

-极值点：导数为0的点

-边界值：定义域的端点

-求法：求导、拉格朗日中值定理、边界值法

③单调性与最值关系

-单调性决定最值存在性：单调递增有最大值，单调递减有最小值

-非单调函数可能存在最大值和最小值

-单调区间内最大值和最小值判断

④函数图像与单调性、最值关系

-单调递增图像上升

-单调递减图像下降

-极值点对应图像的峰值和谷值

⑤求最值步骤

-确定定义域

-求导数

-求极值点

-比较边界值和极值点函数值

⑥最值特殊情况

-单个极值点

-多个极值点比较

-无极值点比较边界值教学评价与反馈1.课堂表现：通过观察学生的课堂参与度、回答问题的准确性和完整性，以及解决问题的能力，评价学生对函数单调性和最值概念的理解程度。重点关注学生在课堂讨论中的互动情况，是否能够积极参与，提出有建设性的观点。

2.小组讨论成果展示：在小组讨论环节，评价学生的合作能力、沟通能力和解决问题的能力。通过小组展示，观察学生对问题的分析是否全面，结论是否合理，以及表达是否清晰。

3.随堂测试：设计一份随堂测试，包括选择题、填空题和解答题，以检验学生对单调性和最值知识的掌握情况。测试题目应涵盖本节课的重点内容，如单调性的判断、最值的求解等。

4.