2026年上海高考数学最后冲刺复习题号猜押01 上海卷高考数学第17题（解答题）（原卷版）

题号猜押01上海卷高考数学第17题（解答题）

溯源

考点3年考题考情分析

2025年第17题极差与中位数、古典概型、排列组合、回归方程

(1)分层抽样；(2)频率分布表求平均数;(3)2x2列联表独立性检

概率统计与数学建模2024年第19题

验

2023年第19题条件概率，离散型随机变量的分布列和期望的计算,决策问题

预测

1.作为解答题（通常位于中段，如第17或18题），分值14分。题目阅读量较大，背景贴近现实生活、

科学实验或社会调查。

2.题目往往呈现一个完整的“问题情境→数据收集/描述→模型构建→统计推断→决策建议”的微缩过程，考

查学生运用统计思维解决实际问题的能力。

3.侧重对随机现象的理解，对离散型、连续型随机变量分布的理解与应用，以及利用概率进行决策；侧重对

数据的处理（图表、数字特征）、利用样本推断总体（估计、检验）、对统计方法的理解与评价。

与其它知识自然融合：与函数、数列、导数、不等式、算法思想的结合更加深入和自然。

备考核心

1.新课标强化了全概率公式、贝叶斯公式、百分位数、随机模拟、2×2列联表的独立性检验、一元线性回

归模型等内容。必须确保对这些新增和强化内容的理解毫无偏差，并掌握其基本应用。

2.有意识地进行长题干题目的训练。练习时先勾画关键信息（总体、样本、条件、问题），用自己的话复

述题意，明确“已知什么，求什么，用什么模型”。

3.（1）对常见概率模型（摸球、排队、比赛、质点运动等）进行归纳。（2）对统计应用题型（估计、检

验、预测、评价）进行分类。（3）重点攻克条件概率与全概率公式、分布列与数列递推、正态分布应用这

三大难点。

4.规范表达，强化“说理”：在练习中，不仅要算对，更要写清逻辑。

5.适当阅读一些科普性的统计案例文章，了解统计在社会科学、医学、经济学中的应用，理解“相关性不

是因果性”、“统计显著与实际显著”等思想，这有助于更好地理解题目背景和出题意图

考点1统计与概率

【典例1】（2026·上海徐汇·期末）从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩

得到如图所示的频率分布直方图.数据的分组依次为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)，90,100.

(1)求图中a的值，并估计这50名学生的平均成绩.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2)若成绩在前22%的学生可获得“消防达人”称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”？

(3)从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率.

【变式1】（2026·上海静安·期末）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经

典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结

果用茎叶图记录如下（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”），其中乙组记录中有一个数据模糊，无法确

认，在图中以a1a3表示.

(1)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求a的所有可能取值；

2

(2)记甲组阅读量的方差为s0；在甲组中增加一名学生A得到“新甲组”，若A的阅读量为10，则记“新甲组”

22222

阅读量的方差为s1；若A的阅读量为20，则记“新甲组”阅读量的方差为s2；比较s0、s1、s2的大小

（写出结果即可）.

(3)将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”，从甲、乙两组学生中各随机抽取一人，则至少

有一名学生是阅读达人的概率是多少？

【变式2】（2026·上海青浦一模）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从

这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：

假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．

(1)求频率分布直方图中x的值

(2)估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)已知甲型芯片指标在[80,100)为航天级芯片，乙型芯片指标在[60,70)为航天级芯片．现分别采用分层抽

样的方式，从甲型芯片指标在[70,90)内取2件，乙型芯片指标在[50,70)内取4件，再从这6件中任取2件，

求这2件都是航天级芯片的概率．

考点2概率与线性回归

【典例2】（2025·上海浦东新·三模）某科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：

特征量第1次第2次第3次第4次第5次

xx12x25x38x49x511

yy112y210y38y48y57

(1)求成对数据xi,yii1,2,3,4,5的相关系数；

(2)求特征量y关于x的回归方程，并据此估算特征量x10时y的值；

(3)设特征量x作为随机变量X服从正态分布N,2，其中为5次试验中x的平均数，2为5次试验中

x的方差．求P3.84x13.32．（本题所有答数精确到0.01．）

【变式1】某地用简单随机抽样的方法抽取15个村进行验收调查，调查得到的样本数据xi,yii1,2,,15，

其中xi和yi分别表示第i个村中村户的年平均收入（单位：万元）和产业资金投入数量（单位：万元），并

1515151515

22

计算得到xi15，yi750，xix0.82，yiy1670，xixyiy35.3．

i1i1i1i1i1

(1)试估计该地被调查村的村户年平均收入；

(2)根据样本数据，求该地被调查村中村户年平均收入与产业资金投1的相关系数；（精确到0.01）

(3)根据现有统计资料，各被调查村产业资金投入差异很大．为了准确地进行验收，请给出一种你认为更合

理的抽样方法，并说明理由．

【变式2】某汽车研发公司的工程师为了解一款新型汽车在不同行驶速度x（km/h）下油耗y（L/100km）的

变化规律，进行了相关实验，记录不同速度下的油耗数据的散点图如下：

(1)根据散点图求y关于x的经验回归方程（精确到0.01）；

(2)根据线性回归方程，绘制残差图，并分析线性回归方程的拟合效果（若残差的平方和小于0.775，则说明

拟合效果良好，否则拟合效果较差）.

nn

xixyiyxiyinxy

ˆi1i1ˆ

附：bnn，ybxaˆ.

222

xixxinx

i1i1

考点3概率与统计案例

【典例3】在某次草地音乐节上，为了解音乐节的体验情况，从观众中随机选取了100人进行问卷调查．

(1)根据观众的性别以及是否购买乐队官方周边，得到如下数据：

男性女性总计

购买周边214970

不购买周边151530

总计3664100

根据以上信息，是否有95%的把握认为观众购买乐队官方周边与观众的性别有关？

2

nadbc

参考公式：2，其中nabcd；参考数据：P23.8410.05．

abcdacbd

(2)根据调查数据，该音乐节观众的排队安检时间X（单位：分钟）服从正态分布N8,22．从观众中随机

抽取1人，若其排队安检时间超过10分钟，求其排队安检时间超过12分钟的概率．（结果精确到0.01）

参考数据：10.8413,20.9772,30.9987，其中yΦx为标准正态分布函数．

【变式1】AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入

国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表.

购买无AI技术的手

购买AI手机总计

机

男性顾客4565110

女性顾客563490

总计10199200

(1)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由：

(2)为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别

11

奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽

63

奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X的数学期望.

2

nadbc

参考公式及数据：①2，其中nabcd．

abcdacbd

②P26.6350.01,P25.0240.025,P23.8410.05,P22.7060.1．

【变式2】（2026·上海杨浦·期末）AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、

智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的

情况，得到数据如下表.

购买无AI技术的手

购买AI手机总计

机

男性顾客4565110

女性顾客563490

总计10199200

(1)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由；

(2)从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）；

(3)为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别

11

奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽

63

奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X的数学期望.

2

nadbc

参考公式及数据：①2，其中nabcd.

abcdacbd

②P26.6350.01，P25.0240.025，P23.8410.05，P22.7060.1.

考点4条件概率与全概率公式的应用

【典例4】（2026·上海闵行·二模）在临床检测试验中，某地用某种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病．设

事件A表示试验者的检测结果为阳性，事件B表示试验者患有此疾病，据临床统计显示，PAB0.99，

PAB0.98．已知该地人群中患有此种疾病的概率为0.001．（下列两小题计算结果中的概率值精确到

0.00001）

(1)对该地某人进行抗原检测，求事件A与B同时发生的概率；

(2)对该地3个患有此疾病的患者进行抗原检测，用随机变量X表示检测结果为阳性的人数，求X的分布和

期望．

【变式1】（2025·上海黄浦·二模）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球n(3n13)个，

其余为黑球．

(1)当盒中的白球数n6时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，

用B表示事件“第二次取到白球”，求P(B|A)和P(B)，并判断事件A与B是否相互独立；

(2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则

不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n？

【变式2】（2025·上海·三模）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独

立答对的概率为1，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答

2

对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响．

1

(1)当p时，

5

（i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；

（ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望E(X)；

2

(2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目

3

5

的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值．

12

考点5相互独立事件概率与期望、方差

【典例5】（2025·上海青浦·三模）口袋里装有大小与质地相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人从袋中

摸球，每次摸1个球.

(1)若甲、乙两人无放回地摸球，由甲先摸1个球，乙再摸1个球，求甲摸到白球的条件下，乙摸到红球的

概率；

(2)制定规则如下：若一方摸出1个红球，则此人继续下一次摸球，若一方摸出1个白球，则由对方接替下

一次摸球，由甲进行第一次摸球.

①若甲、乙两人无放回地摸球，求第三次仍由甲摸球的概率；

②若甲、乙两人每次摸球后都放回地摸球，求在前两次摸球中，甲摸得的红球次数X的分布及期望.

【变式1】同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方

必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；

比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2

取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往

6局比赛成绩：

123456

甲252127272325

乙182525252517

假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立.

(1)估计甲队每局获胜的概率；

(2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；

1

(3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小

4

考点6结合二项分布或超几何分布求期望、方差并决策

【典例6】（2025·上海普陀·二模）某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI

技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“A通识过关—B综合拓展—C创新提升”三层动态原库，且A,B,C三

层题量之比为7:3:2，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同.

(1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的

选题来自B层的概率；

(2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的

这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到A层题的题数为X，求X的分布与期望

EX．

【变式1】某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差.已知每包糖果的

实际净含量（单位：g）服从正态分布N500,2.52.

(1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到0.001）；

(2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为X.求X的分布和期望（精确到

0.001）.

参考数据：10.8413，20.9772，30.9987，其中yx为标准正态分布函数.

1．（2025·上海长宁·一模）小明有自觉体锻的习惯，某运动软件记录了其每天运动的时长（单位：min），

小明从最近90天的记录中随机选取了10天的记录，具体数据如下：68、34、70、45、74、126、108、66、36、72．

(1)求这组数据的第60百分位数：

(2)运动时长不超过60min为不达标，估算从90天记录中随机抽取1天，该天运动时长不达标的概率：

(3)从这10个数中随机删除2个数得到一组新的数据，求前后两组数据的极差相同的概率．

2．（2025·上海杨浦·一模）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核

的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，

90,100，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)在考核成绩为70,80，80,90，90,100的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在

70,80中的学生应抽取多少人?

(3)若落在50,60学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在60,70学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求

这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到0.1）

3．（2023·上海浦东新·模拟预测）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得

了平均金属含量y（单位：g/m3）与样本对原点的距离x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了

119

下面的一些统计量的值.（表中ui,uui）

xi9i1

99999

2

y22

xuxixuiuyiyxixyiyuiuyiy

i1i1i1i1i1

697.900.21600.1414.1226.131.40

d

(1)利用样本相关系数的知识，判断yabx与yc哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点

x

的距离x的回归方程类型？

(2)根据（1）的结果回答下列问题：

（i）建立y关于x的回归方程；

（ii）样本对原点的距离x=20时，金属含量的预报值是多少？

(3)已知该金属在距离原点x米时的平均开采成本W（单位：元）与x,y关系为W100ylnx1x100，

根据（2）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？

4．（2025·上海浦东新·三模）申辉中学机器人兴趣小组，进行某款机器人研发学习活动.该机器人被设计从

数轴上的原点出发，机器人每一步只能选择向数轴正方向或向负方向行走1个单位.设机器人第

kk1,kZ步选择向正方向行走的概率为pk.设行走nn1,nZ步后机器人所在位置对应的数为随机

变量yn.

(1)兴趣小组成员小浦对机器人行走的步数n和机器人所在位置yn进行了观察记录，记录数据如下：

n12345

yn12123

请求出变量n和yn之间的线性相关系数r：

(2)若pk0.5，求Ey3；

k

(3)已知pk10.5，在y31的条件下，求y20的概率.

5．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模

范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如

下表所示.

是“志愿模范队”成员不是“志愿模范队”成员总计

周平均服务时长超过2小时5472

周平均服务时长不超过2小时

总计72120

(1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率.

(2)请完成22列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服

务时长超过2小时”有关系？

(3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志

愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量X为这2人中来自于“志愿模范队”的人

数，求X的分布与方差

2

nadbc

附录：2，其中nabcd.

abcdacbd

P2k0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

6．（2025·上海金山·二模）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在

本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情

况，现统计得部分数据如下：

数学成绩总评优秀人数学成绩总评非优秀人

合计

数数

每天都整理数学错题人数14

不是每天都整理数学错题人

1520

数

合计40

(1)完成上述样本数据的22列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；

(2)是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？

n(adbc)2

附：2；

abcdacbd

0.100.010.001

Px22.7066.63510.828

(3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀

的人数为X，求X的分布列和期望.

7．（2025·上海浦东新·二模）为测试A、B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数

学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下：

A软件B软件

试题类别

测试试题数量正确解答的数量测试试题数量正确解答的数量

几何试题20163020

函数试题30242018

(1)分别估计A软件、B软件能正确解答数学问题的概率；

(2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但

12

该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，

33

试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？

(3)小浦决定采用这两款软件解答6道类似试题，其中几何、函数各3道，每道试题只用其中一款软件解答一

次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软

件解决其擅长的题型．用X1、X2分别表示这3道几何试题与3道函数试题被正确解答的个数，求随机变量

X1X2的数学期望和方差．

8．（2024·上海奉贤·三模）在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2

铜的成绩傲视亚洲．在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的

争夺中输球，则双方均不得分．但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球．

3

(1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为，且各回合相互独立．若第一回合

4

该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率；

(2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设：

假设1：各回合比赛相互独立；

1

假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为；

2

求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？

9．（2025·上海杨浦·二模）为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，

分为初赛和复赛.全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有40位学

生，他们的初赛分数的频率分布直方图如图所示：

(1)计算b的值，并估计该校这次初赛的平均分数.

(2)初赛分数达到80及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出2位同学，用X代表其中的优

秀参赛选手人数，求X的分布；

(3)为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、

选择和简答各1题；每答对1题得1分，答错或不答得0分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若

答对一题可继续答下一题，直到3题全部答完；若答错或不答则比赛结束.例如：选手甲可自行按“简答—填

空—选择”顺序答题，甲答对第一题得1分，并继续回答第二题且答错得0分，结束比赛，总分为1分.

小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛.根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答

题正确概率分别为：

题型填空选择简答

答题正确概率80%90%80%

若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？

请说明理由.

10．（2025·上海松江·二模）某校组织学生在周末时间利用DeepSeek等人工智能平台进行线上学习，但要

求学生学习时间不超过4小时．现从该校高三学生某周末的线上学习时间统计数据中，随机抽取100个学

生的学习时间进行分析，绘制成如下频率分布直方图．以抽取的100个学生该周末线上学习时间作为样本，

估计该校高三年级全体学生周末线上学习时间的情况．

(1)试估计该校高三学生周末线上学习时间的平均数x及中位数x0（注：为了计算均值，