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文档简介

题号猜押06上海卷高考数学选填压轴题(第12,16

题)

溯源

考点3年考题考情分析

2025年分段函数,向量的数量积,向量模的取值范围

填空第12题2024年等比数列基本量运算,通项公式

2023年棱锥的结构特征,计数原理

2025年数列不等式恒成立问题,利用导数研究方程的根

函数新定义,函数的奇偶性,利用导数研究函数的单调性,极

选择第16题2024年

值与最值的综合

2023年圆锥曲线新定义

预测

1.能以实际问题为背景,考查数学抽象与模型构建能力。

2.如“函数+数列”“几何+代数”,需灵活转换视角。

3.答案可能不唯一,或需分类讨论得出完整结果。

4.定义新概念或规则,考查即时学习与应用能力。

备考核心

1.梳理各章节间的联系,如函数、方程、不等式之间的转化。

2.选填题压轴题难度未必极高,但对思维严谨性要求高,需避免漏解。

3.对填空题的错误,要区分是“知识漏洞”“方法不熟”还是“思维定势”。

考点1​复合函数零点,参数范围与函数性质综合

【典例1】已知函数fxcos2xmsinxm1,若函数yfx在区间0,nπ上恰有2026个零点,则所

有可能的正整数n的值组成的集合是______.

【答案】{2025,2026}

【解析】由题意得fxcos2xmsinx2sin2xmsinx1,

2

令tsinx,t1,1,可得gt2tmt1,m280,

2

记gt2tmt1的两零点为t1,t2,

1

则tt0,不妨设t0t,

12212

且m1,则g11m0,g010,g1m10,

可知t11(舍去),0t21,

原题意等价于sinxt20,1在区间0,nπ上恰有2026个零点,

可知sinxt2在0,2kπ和0,2k1π(k为正整数)内不同根的个数均为2k,

所以n2025,2026,故所有可能的正整数n组成的集合为{2025,2026}.

【变式1】(2026·上海浦东新·期末)已知函数fxx2axblnx,x0,,若fx0恒成立,则实

数a的最小值为_____________.

【答案】1

【解析】函数fx的定义域为0,,当0x1时,lnx0,

当x1时,lnx0,当x1时,lnx0,要使fx0,

则二次函数yx2axb,在0x1上y0,在x1上y0,

所以x1为该二次函数的一个零点,易得ba1,

2

则yxaxa1x1xa1,且开口向上,

只需a10,即a10,解得a1,

故a的最小值为1.

【变式2】(2026·上海徐汇·期末)已知奇函数yf(x)的定义域是R.当x0时,f(x)x24x.设函

数h(x)f(x)4,则函数yh(x)的零点个数为()

A.0个B.2个C.4个D.6个

【答案】C

【解析】因为x0时,f(x)x24x,作出函数fx,x0的草图,如图1:

因为函数fx为奇函数,图象关于原点成中心对称,可作出函数fx的草图,如图2:

保持x轴上方的图象不变,将x轴下方的图象对称到x轴上方,得到函数yfx的草图,如图3:

作直线y4,与函数yfx的图象有4个交点,所以函数h(x)f(x)4有4个零点.

故选:C

考点2平面向量综合问题;

【典例2】(2026·上海杨浦·二模)设a、b、c是同一平面上的三个两两不同的单位向量,若

(ab):(bc):(ca)1:1:2,则ab的值为_______.

【答案】13

2

【解析】(ab):(bc):(ca)1:1:2,设abk,则bck,ac2k,

a、b、c是同一平面上的三个两两不同的单位向量,

设a,b的夹角为,则b,c的夹角为,a,c的夹角为2或22,

accos22(ab)2cos,2cos22cos10,

1313

解得cos,或cos(舍去).

22

13

所以abcos.

2

【变式1】平面非零向量a,b,c,满足ab,c为单位向量,已知abab2c0且|ac|3,则|ab|

的最大值是______.

【答案】171

【解析】设a=0,m,bn,0,c=sin,cos,

2222

则|ac|sinmcos9m2mcos8,

2

abab2cn,m2sinn,m2cosn2nsin80,

所以m2n22mcos82nsin8162m2n2sin,

所以162m2n2m2n2162m2n2,解得171m2n2171,

所以ab171.

【变式】(上海徐汇期末)若平面向量满足,且,则

22026··aiai1(i1,2,3,4)aiai10(i1,2,3)

a1a2a3a4可能的值有______个.

【答案】3

【解析】不妨设,则由,且,

a1(1,0)ai1(i1,2,3,4)aiai10(i1,2,3)

得a2(0,1)或(0,1),a3(1,0)或(1,0),a4(0,1)或(0,1),

(2,0)(0,2)

∴a1a2a3a4的值可能为(2,2),,,(0,0),(2,2),(0,2)(相同的去除),

a1a2a3a4可能的值有22,2,0共3个.

考点3​数列综合问题

mm1,

【典例3】(2026·上海浦东新·期中)设f0xamxam1xa1xa0am0,m10mZ,记

fnxfn1x(n1,2,,m1),令有穷数列bn为fnx零点的个数n1,2,,m1,则有以下两个结论:

①存在f0x,使得bn为常数列;②存在f0x,使得bn为公差不为零的等差数列.那么()

A.①正确,②错误B.①错误,②正确

C.①②都正确D.①②都错误

【答案】C

m

【解析】当f0xx时,

m1

f1xf0xmx,此时b11,

m2

f2xf1xmm1x,此时b21,

fm1xfm2xmm1m22x,此时bm11,

故存在f0x,使bn为常数列;①正确;

设f0xx1x2xm,则f0x有m个零点1,2,3,,m,

则f1x在1,2,2,3,,m1,m的每个区间内各至少一个零点,故f1x至少有m1个零点,

因为是一个m1次函数,故最多有m1个零点,因此f1x有且仅有m1个零点,

同理,f2x有且仅有m2个零点,,fkx有且仅有mk个零点,

故bnmn,所以bn是公差为1的等差数列,故②正确.

故选:C.

【变式1】艾萨克牛顿英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有许多杰出贡献,牛顿用“作

fxn

切线”的方法求函数fx零点时给出一个数列xn:xn1xn,我们把该数列称为牛顿数列.如果

fxn

x2

2n

函数fxaxbxca0有两个零点1,2,数列xn为牛顿数列.设anln,已知a11,an的

xn1

前n项和为Sn,则S20221等于()

A.2022B.2023C.22023D.22022

【答案】D

【解析】fxax2bxca0有两个零点1,2,

abc0b3a

则,解之得,

4a2bc0c2a

则fxax23ax2aa0,则fx2ax3aa0

22

fxnaxn3axn2axn2

则xn1xnxn

fxn2axn3a2xn3

2

xn2

22

x22x3x24x4x2

则n1nnnn

x1x22x22x1x1

n1n1nnn

2xn3

2

x2

nxn12xn2xn2

由anln,可得alnln2ln2a,

x1n1n

nxn11xn1xn1

故an12an,又a11,则数列an是首项为1公比为2的等比数列,

n

n112n20222022

则通项公式an2,前n项和S21,则S202212112,

n12

故选:D.

b

nn

【变式2】已知数列an的前n项和为Sn,其中a11,Sn12anSn1,bnan121,若恒成

bn1

立,则实数的取值范围为()

13

A.,B.1,C.,D.2,

22

【答案】B

【解析】由Sn12anSn1可得:an12an1,即an112(an1),

因为a11,所以a112,

所以数列an1是以a112为首项,公比为2的等比数列,

nn

则an12,所以an21,

nn

又因为bnan121,将an21代入可得:

nn

bn22(1),

n

bn2213

当n为偶数时,n1n1,

bn122222

b222

2

所以n2时,31取得最大值1,

b2122

n

bn22131

当n为奇数时,n1n1,

bn1222222

bn

所以有最大值1,即1,

bn1

所以的取值范围为1,,故选B.

考点4​解析几何综合问题

【典例4】(2026·上海·期末)在平面直角坐标系中,当Px,y不是原点时,定义Px,y的“伴随点”为

yx

P,;当Px,y是原点时,定义Px,y的“伴随点”为它自身;平面曲线C上所有点的“伴随

x2y2x2y2

点”构成的曲线C定义为曲线C的“伴随曲线”,则下列命题:

①若点A的“伴随点”是点A,则点A的“伴随点”是点A;

②圆心在原点的单位圆的“伴随曲线”是它自身;

③若曲线C关于x轴对称,则其“伴随曲线”C关于y轴对称;

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

真命题的序号是______.

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】B

yx

【解析】对①,设点Ax,y,则A,,则A的“伴随点”为

x2y2x2y2

xy

x2y2x2y2

,即,不为点,①错;

22,22x,yA

yxyx

22222222

xyxyxyxy

对②,任取单位圆上一点Pcos,sin,则Psin,cos为单位圆上的点,P的轨迹为单位圆,②对;

对③,任取曲线C关于x轴对称的两点Ax,y,Bx,y,则伴随点为

yxyx

A,,B,,关于y轴对称,③对;

x2y2x2y2x2y2x2y2

1121

对④,不妨取直线x1上的三个点1,0,1,1,1,2,对应的伴随点为0,1,,,,,

2255

11

11

由25,故对应的伴随点不在一条线上,

12

00

25

故一条直线的“伴随曲线”不一定是一条直线,④错,故选B

【变式1】2022年卡塔尔世界杯会徽(如图)正视图近似于伯努利双纽线,定义在平面直角坐标系xOy中

2

(O为坐标原点),把到定点F1(c,0)和F2(c,0)距离之积等于c(c0)的点的轨迹称为双纽线,记为Γ,已

知Px0,y0为双纽线Γ上任意一点,有下列命题:

2

①双纽线Γ的方程为x2y22c2x2y2;

1

②FPF面积最大值为c2;

122

cc

③y;

202

④PO的最大值为2c.

其中所有正确命题的序号是()

A.①②B.①②③

C.②③④D.①②③④

【答案】D

【解析】对于①,由定义2,即22222,

PF1PF2c(x0c)y0(x0c)y0c

2222224

即x0y0c2cx0x0y0c2cx0c,

2

整理可得22222,

x0y02cx0y0

2

所以双纽线Γ的方程为x2y22c2x2y2,故①正确;

111

对于②,SPFPFsinFPFc2sinFPFc2,故②正确;

F1PF2212122122

11cc

对于③,因为SFFycyc2,所以y,故③正确;

F1PF2212002202

222

对于④,F1PF2中,由余弦定理可得F1F2PF1PF22PF1PF2cosF1PF2,

2222

所以PF1PF24c2ccosF1PF2.

又因为2POPF1PF2,所以

222222

2POPF1PF2PF1PF22PF1PF2PF1PF22PF1PF2cosF1PF2.

所以,

22222

222,

2POF1F2PF1PF22PF1PF2cosF1PF2PF1PF22PF1PF2cosF1PF22PF1PF2

2222

即4PO4c24c2ccosF1PF2,

2222

整理可得|PO|cccosF1PF22c,所以|PO|2c,故④正确.

故选:D.

x2y2

【变式2】(2026·上海金山·期中)已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别是F1(c,0),F2(c,0),

a2b2

c51

若,则称椭圆C为“黄金椭圆”.则下列三个命题中正确命题的序号是()

a2

①在黄金椭圆C中,a,b,c成等比数列;

0

②在黄金椭圆C中,若上顶点、右顶点分别为E,B,则F1EB90;

③在黄金椭圆C中,以A(a,0),B(a,0),D(0,b),E(0,b)为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F1,F2.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

c5151

【解析】对①,按照,所以ac,则

a22

2223122512

bac+5cccac,故①正确;

222

2222

对②,因为在F1EB中,F1Ea,F1Bac,EBab,由①知,bac

22222222222

所以F1Bacac2aca2bc2abF1EEB,

0

即F1EB90,故②正确;

对③,以A(a,0),B(a,0),D(0,b),E(0,b)为顶点的菱形ADBE的内切圆是以原点为圆心,半径为c的圆,所

以圆过焦点F1,F2.故选D.

考点5函数与导数综合

【典例5】已知M{|f0},N{|g0},若存在M,N,使得n,则称函数

fx与gx互为“n度零点函数”.若fx32x1与gxx2aex互为“1度零点函数”,则实数a的取值

范围为

94144249

....

A3,2B,2C2,D3,3

eeeeeeee

【答案】B

【解析】M2,所以21,13,

2x

故gxxae在1,3内存在零点,也就是ax2ex在1,3内存在零点.

令hxx2ex,故h'x2xx2ex.

当x1,2时,h'x0,hx在1,2上为增函数;

当x2,3时,h'x0,hx在2,3上为减函数,

14

故hx在1,3上的值域为,,故选B.

ee2

【变式1】拉格朗日中值定理又称拉氏定理:如果函数fx在a,b上连续,且在a,b上可导,则必有

x1fbfa

a,b,使得fbafbfa.已知函数fx,a,b0,2,,那么实

exba

数的最大值为()

1

A.1B.eC.D.0

e

【答案】C

【解析】因为函数fx在a,b上连续,且在a,b上可导,

fbfa

则必有一a,b,使得f,

ba

x1exx1ex

又函数,可得x,

fxxfx

ee2xex

fbfa

所以f(),此时,

ebae

fbfa

又,所以,因为a,b,且a,b0,2,所以0,2,

bae

x1x

不妨设gx,函数定义域为0,2,可得gx,

exex

当0x1时,gx0,gx单调递增;

当1x2时,gx0,gx单调递减,

1

所以当x1时,函数gx取得极大值也是最大值,最大值,

e

1

则当1时,λ取得最大值,最大值为.

e

故选:C.

【变式2】(2026·上海松江·月考)定义域均为D的三个函数fx,gx,hx满足条件:对任意xD,

点x,gx与点x,hx都关于点x,fx对称,则称hx是gx关于fx的“对称函数”.已知函数

gx1x,hx3x,hx是gx关于fx的“对称函数”,记fx的定义域为D,若对任意sD,

都存在tD,使得2fst22ta2a1成立,则实数a的取值范围是()

A.1,01,2B.11,2C.12,0D.2,10,1

【答案】D

【解析】函数gx1x,hx3x,hx是gx关于fx的“对称函数”,

11131

可得fx1x3x,0x1,fx0,fx,

2221x2x

3

可判断fx在0,1单调递减,由fx0可解得x,

4

33

所以在0,上fx0,在,1上fx0,

44

33

所以fx在0,递增,,1递减,

44

133

又因为f0,f1,f1,

224

1

fx的最小值为,最大值为1,

2

1

所以fx的值域为,1,

2

2222

而mtt2taa1在0,1递增,可得mt的值域为aa1,aa2,

22

由题意可得1,2aa1,aa2,

2a1

即有a2a112a2a2,即为,

a0或a1

解得0a1或2a1,则a的范围是2,10,1,故选D.

考点6排列组合综合问题

【典例6】(2026·上海金山·一模)已知四边形A1A2A3A4为平行四边形,集合

∣、、

ΩAiAjij,ij1,2,3,4,M1,M2,,Mk均为集合的四元子集,若对于任意mn1,2,,k,当

mn时,MmMn中的元素个数都不超过2个,则正整数k的最大值为___________.

【答案】14

【解析】由题意可知ΩA1A2,A1A3,A1A4,A2A1,A2A4,A3A1,A3A2,A4A2共8个元素,

记为{a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8},

假设MmMn中最大交集为{a1,a2},

所以含{a1,a2}的四元集合中剩下的两个元素不能相同,

因为中共8个元素,则还剩下6个元素,

6

所以M,M,,M中,含{a,a}的四元集合最多有3个,

12k122

即数对{a1,a2}在M1,M2,,Mk中最多出现3次,

同理任何一个二元数对{a1,a2}可在M1,M2,,Mk中最多出现3次,

2

所以一个四元集中出现C46个二元数对,

所以k个四元集中共出现6k次,

2

因为{a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8}中最多有C828种不同的二元数对,每个最多出现3次,

所以6k283,解得k14.

所以正整数k的最大值为14.

1

【变式1】函数fxx0绕原点逆时针旋转,每旋转15得到一个新的曲线,旋转一周共得到24条曲

x

线(不包括未旋转时的曲线),请问从中任选其二,均不是函数图象的概率是__________.

15

【答案】

92

1

【解析】由题意得,函数fxx0绕原点逆时针旋转,

x

每旋转15得到一个新的曲线,旋转一周共得到24条曲线,

2

其中10条不符合函数的定义,则不能构成函数的共有C1045,

4515

所以不能构成函数的概率为P2.

C2492

【变式2】已知“a、b、c、d、e、f”为“1、2、3、4、5、6”的一个全排列,设x是实数,若“(xa)(xb)0”可推出

“(xc)(xd)0或(xe)(xf)0”则满足条件的排列“a、b、c、d、e、f”共有_______个.

【答案】224.

4

【解析】如果c,d为1,6或e,f为1,6,则余下4个元素无限制,共有22A496种,

如果c,d中有1,e,f有6,则共有221133264种,

如果c,d中有6,e,f有1,则共有221133264种,

综上,共有224种,填224.

3x,x0

1.已知函数yfx,其中fx,若函数gxfxa在区间2,2上有两个不同的零点,

2x,x0

则实数a的取值范围为_______.

【答案】1,4

3x,x0

【解析】由gxfxa0可得afx,且fx,

2x,x0

由题意可知直线ya与函数fx在2,2上的图象有两个交点,如下图所示:

由图可知,当1a4时,直线ya与函数fx在2,2上的图象有两个交点,

因此实数a的取值范围是1,4.

2.(2026上海松江·期末)对于实数x,用x表示不超过x的最大整数,并记xxx,例如10,

1.230.23,关于x的方程xx10在区间0,2025上解的个数为______.

【答案】2015

【解析】当x0,1时,xxx;当x1,2时,xxx1;当x2,3时,xxx2;;

10

关于x的方程xx10在区间0,2025解的个数即为xxx与y交点个数,

x

10

作出yxx和y的部分图象,

x

1010

其中y在0,2025上单调递减,当x0,10时,y1,此时无交点;

xx

1010

当x10,11时,y,1,有一个交点;

x11

10510

当x11,12时,y,,有一个交点;

x611

1025

依次类推,当x2024,2025时,y,,有一个交点;

x4051012

102

当x2025时,2025202520250,y0,此时不相交,

2025405

所以方程xx10在区间0,2025上解的个数为2025102015个,

3.(2026·河北衡水·一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a11,a22,Snan1an21(nN),

a

n1

记bn,数列{bn}的前n项和为Tn,若对xN,kTn恒成立,则k的取值范围为

(an21)(an11)

__________.

【答案】[1,).

【解析】由Snan1an21,得Sn1an2an31,

两式作差得an32an2,

又a11,a22,S1a2a31,得a34

aa

则322.

a2a1

所以数列an是以1为首项,2为公比的等比数列,

\=n-1

an2,

n

an1211

代入b,

nn1nnn1

an21an11(21)(21)2121

1111111

所以T()()()11

n212212212312n12n112n11

而kTn恒成立,所以k1,

2

4.(2026·湖南常德·开学考试)已知公比q1的等比数列{an}满足a5a10,2anan25an1.若

*

bnnannN,且数列bn是递增数列,则实数的取值范围是___.

【答案】,3

an+12

【解析】由2anan25an1得2qan15an1,即2q5q+20,

q

又q1,所以解得q=2,

22105n

因为a5a10,所以a5a52,解得a532,所以an2,

*n

又bnnannN,所以bnn2,

n1nn

又因为bn是递增数列,所以bn1bnn12n2n220恒成立,

即恒成立,所以,所以

n20n2min33.

5.(2026·河北保定·期中)勒让德三平方和定理(Legendre’sThree-SquareTheorem)是数论中关于自然数

表示为三个整数平方和的重要定理,其核心内容为:如果一个自然数n符合下述条件时,则可以表示为三个

s

整数平方之和,其中s,t均为非负整数:nx2y2z2,n48t7.例如:正整数13322202,

6221212,设29a2b2c2,其中a,b,c均为自然数,则满足条件的有序数组a,b,c的个数是

______.(用数字作答)

【答案】12

【解析】显然a,b,c均为不超过5的自然数,下面进行讨论:

2223

①最大数为5的情况:29520,5,2,0三个数互不相同,此时共有A36种情况.

2223

②最大数为4的情况:29432,4,3,2三个数互不相同,此时共有A36种情况.

由分类加法计数原理,满足条件的有序数组a,b,c的个数是6612.

6.(2025·上海浦东新·三模)对于函数yf(x),若关于x的方程f(Kx)Kf(x),(KZ,K1)恰有K

个实数根,则称函数为“K”函数.①函数的定义域Dx1x9,xZ且Dyyfx,xD;②函数是

“2”函数,也是“3”函数;那么同时满足条件①②的函数共有__________个.

【答案】18

【解析】由题意,函数的定义域为和函数的值域均为:{1,2,3,4,5,6,7,8,9},可知自变量x和函数值f(x)是

一一对应的关系;

f(3x)的定义域为{1,2,3},根据题目给出的“3”函数的新定义:有f(3x)3f(x),即:

f(3)3f(1),f(6)3f(2),f(9)3f(3).

可得:f(9)9f(1),只能是f(1)1,f(3)3,f(9)9,这样在值域当中只剩下6是2的3倍,故f(2)2,

f(6)6.

因为函数是“2”函数,根据题意f2x2fx恰有2个根,结合f(1)1,f(2)2,f(3)3,f(6)6,

13

f(9)9;剩余的不能确定的4个函数值中,只需要f(4)4,不同的分配方法有C3P318种.

7.(2026·广东广州·月考)在以O为顶点的三棱锥中,过O的三条棱两两的交角都是30,在一条侧棱上有

A,B两点,OA4,OB3,以A,B为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),

则此绳在A,B之间的最短绳长为________.

【答案】5

【解析】作出三棱锥的侧面展开图,如图,

则A、B两点间的最短绳长就是线段AB的长度.

在AOB中,AOB33090,

由OA4,OB3,得AB5

即此绳在A、B之间的最短绳长为5.

8.(2026·安徽·一模)程大位(1533-1606)是明代珠算发明家,徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最

早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一,它完成了计算由筹算向珠算的转变,使算盘成为主要的计

算工具.算盘其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”.现有一种算盘(如图1)共三档,自右向左分别表

示个位、十位和百位,档中横以梁,梁上一珠,下拨一珠记作数字5:梁下五珠,上拨一珠记作数字1.例如:

图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠,则可以表示不同的三位整数的个数为__________.

【答案】26

【解析】由题“百位”拨动3枚算珠可以表示的不同的三位整数有:300、700;

“百位”拨动2枚算珠可以表示的不同的三位整数有:210、250、201、205,610、650、601、605;

“百位”拨动1枚算珠可以表示的不同的三位整数有:120、102、160、106、111、151、115、155;

520、502、506、560、511、551、515、555.

则符合条件的三位整数的个数为26.

9.(2026·上海闵行·一模)已知平面向量a、b、c和实数满足abab2,acbc0,

acbc0,则acbc的取值范围是______.

【答案】2,22

2

222

【解析】因为abab2,所以ab2a2abb4,

ab21

则,所以,于是有cosa,b,

42ab44ab2ab222

因为a,b0,π,所以a,b

3

则如图所示,在平面直角坐标系中A2,0,B1,3

则aOA2,0,bOB1,3,设ca,b,

因为acbc0,所以2,0a,b1,3a,ba3b0,则a3b,即c3b,b,

因为acbc0,所以2,03b,b1,33b,b0

3131

则42b243b20,即22b223b10,解得b,

2222

则acbc2,03b,b1,33b,b

2222

23bb13b3b

222

4b43b44b43b424b43b4

2

3

24b1

2

3131

因为b

2222

2

313331

所以3在上单调递减,在上单调递增

y4b1b,b,

2222222

3131

所以ymin1,当b时,y2,当b时,y2,所以ymax2

2222

故acbc的取值范围是2,22.

10.(2026·海南省直辖县级单位·开学考试)在数列an中,Sn为其前n项和,首项a11,且函数

3

fxxan1sinx2an1x1的导函数fx有唯一零点,则S4()

A.26

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