画图·建模·跨学科：小学二年级数学“鸡兔同笼”探究课教学设计（北师大版·下册）

画图·建模·跨学科：小学二年级数学“鸡兔同笼”探究课教学设计（北师大版·下册）

一、课程背景与课标定位

本设计基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》第一学段（1-2年级）学段目标，针对北师大版二年级下册“数学好玩”板块及“除法”单元后综合实践活动拓展需求研发。课程定位为【核心素养导向下的跨学科主题探究课】，并非传统意义上的奥数技能训练，而是以“鸡兔同笼”这一经典古算为载体，系统培养二年级学生的数学阅读能力、几何直观、模型意识及初步的计算思维。本设计严格遵循二年级学生从“具体形象思维”向“逻辑抽象思维”过渡的认知规律，坚决摒弃四年级以上才能掌握的纯代数假设法，而是以“画图法”为认知锚点，以“数形结合”为思维杠杆，通过操作活动自然“生长”出假设法的雏形。本课在知识序列中处于【非常重要】的位置，它是学生第一次面对“两个未知量”的现实问题，是突破单一变量思维、建立方程组思想的前结构铺垫，也是北师大版教材“生活中有大数学”理念的极致体现。

二、教学目标矩阵

（一）知识与技能（【重要·基础层】）

1.能准确复述“鸡兔同笼”问题的基本结构：已知总头数与总脚数，求两种动物各多少只。

2.掌握“画头安脚法”（亦称“分脚法”）的具体操作流程：画椭圆→安2脚→补剩余脚。

3.能根据图示正确列出包含乘减、除加的两步计算综合算式，理解算式中每一步的具体图形含义。

（二）过程与方法（【核心·关键能力】）

4.几何直观：经历“实际问题——图形表征——算式抽象”的完整数学化过程，通过“身子椭圆”代替传统“圆圈头”的改良画法，建立更符合生物特征的腿身对应关系【6】。

5.模型意识：通过对比不同数据（头数、脚数）的同类题目，剥离非本质属性，提炼出“总差量÷单差量=兔（或鸡）只数”的早期数学模型。

6.算法多样化与优化：体验从“逐一尝试画图”到“先全装鸡腿再添腿”的思维路径，感悟优化思想。

（三）情感态度与跨学科素养（【热点·育人价值】）

7.文化自信：通过《孙子算经》的“雉兔同笼”记载及宁波灰雕非遗案例，感受中国古代数学对世界文明的贡献【3】。

8.跨学科应用：初步感知数学问题在图形化编程（Scratch）中的“枚举算法”表征，为计算思维做铺垫【5】【7】。

9.合作与表达：在小组“你画我猜”活动中，能用规范、完整的数学语言描述操作流程。

三、教学重难点

【教学重点】：掌握用“画头安脚法”解决头数在10以内、脚数在30以内的鸡兔同笼基本问题。能够通过补腿数除以2计算出兔子的只数。

【教学难点】：理解“假设全是鸡”时少算的腿为什么除以2就是兔子的只数；在从图形语言转化为符号语言时，理解除法的平均分意义与补腿操作的对应关系。

四、教学准备

1.学具包：A4白色草稿纸、双头黑色水性笔（画身子用）、红色水性笔（画腿用）、2枚一组的磁力扣若干。

2.多媒体资源：PPT展示《孙子算经》古籍书影、宁波冯家小学非遗灰雕“鸡兔同笼”作品照片【3】、简易Flash动画演示“兔子立正”情境。

3.学习单：采用【分层任务单】，不预设统一模板，保留学生原生画图空间。

五、教学实施过程（核心环节，超5000字深度呈现）

（一）唤醒与铺垫：从“生物特征”到“数学符号”的转译

【环节重要性】★★★★★（【认知奠基·不可跳过】）

【实施步骤】

1.跨学科导入·非遗里的数学：

教师出示宁波冯家小学学生制作的灰雕作品照片。画面上，圆形的笼子里有凸起的鸡和兔造型。

师：这不是一件普通的美术作业，这是哥哥姐姐们用石灰雕刻出的“数学题”。你发现了哪些数学信息？

（学生通过观察发现：鸡是两只脚站立，兔是四只脚蹲坐；笼子整体呈圆形，可视为“头”的集合。）

教师顺势揭示课题：古人把鸡和兔关在一个笼子里算腿数，今天我们不关动物，我们在纸上“画”笼子。

2.生物观察·关键差异提取：

播放15秒高清短视频：特写鸡的行走与兔的跳跃慢动作。

师生对话提炼：

1.3.相同点：1个头，1个身子（躯干）。

2.4.不同点：鸡是2条腿，着地方式为双脚支撑；兔是4条腿，前腿短后腿长。

3.5.【难点前置化解】：教师特别追问：“腿是从哪里长出来的？”学生通过观察明确——腿是长在“身子”下边的，不是直接长在头上的。

设计意图：【传统画法】常用圆圈代表头，在头下画竖线代表腿，这种画法虽简洁但违反生物常识，且二年级学生容易混淆“头”和“身子”的计数功能。本设计采用【改良画法】，明确以椭圆形表示“躯干（身子）”，腿附着于躯干下方。这一改动使数形结合更加严谨，也为后续“假设全是鸡先安2腿”的操作提供了真实的载体——每只动物必须先有一个身子【6】。

6.符号约定：

师生共同制定课堂绘图公约：

1.7.用“○”或者扁平的“（）”表示动物的身子（躯干），一个身子代表1个头。

2.8.用“|”表示一条腿，画在身子下方。

3.9.为了区分鸡兔，不用画耳朵和尾巴，只看腿的数量。

此环节耗时约6分钟，但极其关键，属于【重要·磨刀不误砍柴工】。通过将具象生物特征抽象为统一几何符号，既降低了绘画难度，又渗透了数学建模的本质——抓住数量关系，舍弃非本质属性。

（二）原型探究：第一次认知冲突与画法生成

【核心问题】笼子里有6个头，20条腿。鸡、兔各几只？（数据精选说明：北师大版二年级下册主要涉及表内乘除法，6×2=12，6×4=24，20介于12与24之间，差值为8，8÷2=4，数据设计便于口算）

【实施层级】

第一层级：自由尝试——暴露前概念

教师不示范任何画法，直接下达任务：“请你在白纸上画一画，用刚才约定的符号，让人一眼看出你画的鸡和兔一共是6个头，20条腿。”

教师巡视，采集典型作品（约2分钟）。二年级学生的原生画法通常分为三类：

1.逐一配对型：先画1只鸡（1身2腿），再画1只兔（1身4腿），依次画完6只，最后数腿总数，不对再擦掉调整。

2.先猜后画型：猜测鸡4只兔2只，直接画出，核对腿数。

3.全装型（有潜力者）：先把6个身子画好，再统一添腿。

第二层级：可视化思维——让过程“慢”下来

教师有选择性地邀请第一类“逐一配对型”学生上台，利用磁力扣在黑板上演示。黑板左侧贴6个磁力扣代表6个身子。

生1演示：我先安1个身子，下面吸2个磁扣当鸡；再安1个身子，下面吸4个磁扣当兔……（操作到第4个身子时，发现总腿数快用完了）

师：你为什么要不断换着安？是一直在猜吗？

生1：因为不知道哪个是鸡哪个是兔，我就试着配。

师：这种“一个一个试”的方法，数学上叫做——【枚举法】。虽然一定能找到答案，但是如果我们遇到的数字非常大（比如35个头），一个一个试到天黑也试不完。有没有办法不用“猜”，直接“算”出来？

第三层级：优化策略——“先装鸡腿法”的诞生

教师引导语：“我们二年级的小朋友特别善良，不忍心让任何一只小动物光着身子。我们能不能先给每一个身子都先安上2条腿？这样至少保证每只动物都有腿走路。”

此引导体现了【假设思想】的萌芽——不是基于已知结果去凑，而是基于一个统一的初始状态。

全班统一行动：在6个身子下，每身画2条竖线。

数一数：一共画了6×2=12条腿。（此时板书乘法算式）

对比实际：题目是20条腿，我们少了20-12=8条腿。（板书减法算式）

师：这8条腿是答应给动物们的，现在必须补上。但是，能随便给每只动物都再加腿吗？

生：不能！鸡只有2条腿，再加腿就变成怪物了。只有兔子能加腿，每只兔子可以再加2条腿。

师：太棒了！现在有8条腿需要补，每只兔子补2条腿，那么——有几只兔子？

生：8÷2=4只。（板书除法算式）

师：既然4只是兔子，那么鸡就是6-4=2只。（板书减法算式）

第四层级：算理深度对话——为什么要除以2

这是本课【难点爆破】环节。教师必须追问：“为什么8÷2=4求出来的是兔子的只数，而不是鸡的只数？8条腿平均分，一次分2条，分给了谁？”

通过图形对照：

1.指一指：图中哪些动物得到了这“额外的2条腿”？（生指：腿画得长的、有4条竖线的身子）

2.每一次“补2条腿”，就代表把一只“鸡”改成了“兔”。补一次，变一只兔。

3.8条腿，每次拿2条，拿了4次，所以变了4只兔。

【非常重要·模型雏形】：此时不要求背诵公式，但必须让每一个学生对着自己的画图，说出“少的腿数→每只兔补2条→补了几次就有几只兔”的完整逻辑链。

（三）变式迁移：思维可视化向符号化进阶

【活动设计】“我是小老师”——给爸妈讲《笼子里到底有几只兔》

1.独立演练：将题目更换为“8个头，22条腿”。要求：必须画图，并列式计算。

2.差异化指导：

1.3.对于学困生（【一般·基础达标】），允许他们沿用“先全装鸡腿，再补腿”的完整绘图流程。

2.4.对于学优生（【挑战·思维进阶】），教师提出更高要求：“不画出具体的腿线，而是用数字标注。例如：在身子旁边写‘+2’，表示这只动物补了腿变成兔。”

5.算法多样化展示：

除“假设全是鸡”的主流方法外，鼓励学生展示其他画图思路：

1.6.“退腿法”：假设全是兔（每身4腿），画完后发现腿多了，往回擦腿。每擦掉2条腿（4变2），就把一只兔改成了鸡。

2.7.“平均分法”：少数学生会提出20÷6≈3余2，利用“平均每只动物3条腿，但鸡2条兔4条，多出腿调整”的方法。此方法虽不严谨，但体现了极强的数感，教师应予展示并命名为【创意解法】。

8.算式抽象·去情境化：

教师引导学生观察黑板上的三组算式（例题6头20腿、变式8头22腿、备选7头18腿），寻找共同结构。

师生共同提炼“画图四步曲”：

（1）画身子——有几个头画几个○。

（2）安鸡腿——每个身子下画2条腿，算出总腿数A。

（3）算差腿——题目总腿数B减去A，得到C（差腿数）。

（4）变兔子——C÷2=兔的只数；头总数-兔=鸡的只数。

教师指出：这就是“鸡兔同笼”问题最核心的【假设-比较-调整】模型。这个模型不仅在二年级用图形，到了四年级会用数字，到了初中会用方程，到了大学会用编程。它是一个【经典模型】【高频考点】。

（四）跨学科拓展：当数学遇见“算法”与“非遗”

【设计理念】依据2022版新课标“跨学科主题学习”占10%课时的要求，本环节将数学建模与信息科技、美术、传统文化深度融合，不追求编程代码的具体书写，而是追求思维方式的迁移【7】。

板块A：信息科技·计算思维启蒙（15分钟微嵌入）

1.情境创设：我们刚才用“画图法”很快找到了答案。但是，如果笼子里不是鸡兔，而是“独脚鸡”和“三脚猫”呢？如果脚数变得非常大，画图太慢怎么办？

2.思想实验：电脑没有眼睛，不会看图，但它算得特别快。我们怎么把“画腿”的步骤教给电脑？

教师引入“枚举算法”流程图（非代码，仅框图）：

1.3.让鸡的数量从0开始，兔的数量从总数减去鸡开始。

2.4.计算“鸡腿+兔腿”是否等于总腿数。

3.5.如果不等于，鸡的数量增加1，兔的数量减少1，再算。

4.6.直到找到答案为止。

学生惊喜地发现：原来这就是我们刚才“逐一配对型”画法的翻版！电脑特别擅长这种“笨办法”，因为它算得飞快。

7.素养提升：学生意识到，人类擅长“巧妙算”（假设法），机器擅长“暴力算”（枚举法）。面对不同问题，选择最合适的工具，这就是【计算思维】的萌芽【5】。

板块B：美术与劳动·非遗灰雕创作（微项目引导）

展示浙江冯家小学的灰雕作品：学生在灰泥上刻出圆形的笼子轮廓，用浅浮雕表现鸡和兔【3】。

师：数学学完之后，这些作品不仅是艺术品，还是教具。下节美术课，我们要在陶泥或橡皮泥上制作“鸡兔同笼”场景。在制作前，你必须先用数学知识算清楚：到底要捏几只鸡、几只兔？

设计意图：将数学答案作为美术创作的前置条件，实现“智育”与“美育”的真实结合。学生从“解题者”变为“设计师”，赋予数字以生命。

（五）巩固与建模：题组分层与规律揭秘

本环节采用【大问题驱动】，不搞题海战术，只练三道精心设计的变式题，且呈现方式逐级抽象。

题组一：标准结构（【重要·全员通关】）

停车场有自行车和三轮车，共7辆，19个轮子。自行车、三轮车各几辆？

（此题是“鸡兔同笼”的完型迁移。自行车2轮对应“鸡”，三轮车3轮对应“兔”。学生需自主识别：头数→辆数；腿数→轮子数。单差由2条腿变为1个轮子。）

题组二：隐性条件题（【热点·思维跃升】）

知识竞赛，答对一题加5分，答错一题扣3分。小宇抢答8题，得16分。他答对几题？

（此题属于【难点】。难点在于“扣3分”意味着比不得分还要少3分，实际差为5+3=8分。二年级不要求列综合算式，但可通过画“得分柱状图”来模拟腿数增减。此题仅作为学优生选做，全班不要求掌握。）

题组三：开放建模（【一般·文化拓展】）

PPT出示《孙子算经》原文：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”

师：这是1500年前古人留下的问题。古人没有我们的画图法和算式，他们是用“脚半法”或“抬腿法”解决的。今天我们有了“画头安脚”这个法宝，你能帮古人解决这个问题吗？

学生尝试在脑中画图：35个头，先安70条腿，还剩24条腿，每只兔补2条，有12只兔，23只鸡。

教师引导学生对比古人的“上置头，下置足，半其足……”，体会跨越千年的思维共鸣，建立文化自信。

（六）游戏化检测与作业设计

【课堂形成性评价】“你说我猜”反口令游戏

规则：教师报一种假设状态，学生快速用手势表示会求出谁。

1.师：“假设全是鸡！”生：（手势比划兔）——因为先求兔。

2.师：“假设全是兔！”生：（手势比划鸡）——因为先求鸡。

此环节强化“假设结果与所求对象的反比关系”，避免解题时思维定势。

【课后作业·三层梯度】（严格杜绝机械刷题）

A层（基础巩固·必做）：

用“画身子安腿法”解决一道生活中的鸡兔同笼问题。要求：必须画图，并将图画讲给父母听，请父母在图画上签字【10】。

B层（实践应用·选做）：

寻找生活中“两类物体，数量总和固定，总特征数固定”的现象。例如：5元纸币和2元纸币共10张，总钱数32元；或者教室里的吊扇（3叶）和台扇（4叶）共5台，总叶片数18片。拍照或画图记录下来。

C层（跨学科创作·挑战）：

使用ScratchJr（平板编程）或剪映抠像功能，制作一个15秒的小动画。动画内容：6个圆圈，先从左边飞进来2条腿，再从右边飞进来几条腿，最后显示出兔子和鸡。此项作业由家长辅助完成，不做强制要求，优秀作品在下节课“数字数学”环节展示【7】。

六、学习评价与量规

本设计不采用百分制笔试，采用【表现性评价】与【作品评价】结合的方式。

1.过程评价：课堂中“画图四步曲”的每一步表述是否清晰。重点考察学生在回答“为什么除以2”时的逻辑连贯性。能结合图形说出“少的腿分给兔子，一次分2条”即为【优秀】；能算出答案但说不清理由为【合格】；需要看着同学的图才能复述为【努力】。

2.作品评价：A层作业主要评价“画图规范”。是否统一使用了椭圆身子？腿线是否整齐？补腿部分是否用不同颜色或虚线突出？这是对几何直观素养的直接观测指标。

3.团队评价：小组合作环节，能否轮流发言，不打断同伴；当别人讲解画法时，能否指着对方的图提出疑问。这是对数学交流素养的隐形评价。

七、教学反思与模型升华（专家视角）

1.关于“低段不教假设法”的再认识：传统观念认为“鸡兔同笼”是四年级内容，二年级只能玩玩画图。本设计突破性地证明：画图法本身就是假设法的直观表现形态。当学生说出“我先给每个身子安2条腿”时，他已经在进行“假设全是鸡”的思维操作；当他说“剩下的腿每2条变成一只兔”时，他已经完成了“置换”的抽象推理。我们不告诉二年级学生“这是假设法”，但