2026年辽宁中考数学二轮复习 热点04 二次函数(热点专练)

Page热点04二次函数热点聚焦方法精讲能力突破第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。第二部分题型引领·讲方法纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。题型01二次函数的性质与图象题型02求二次函数解析式题型03二次函数的最值问题题型04二次函数与方程、不等式的综合题型05二次函数的实际应用第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：二次函数是辽宁省中考数学代数压轴模块，每年考查分值约18-25分，覆盖选择、填空、解答全题型。核心考查二次函数的图像性质（a、b、c的符号影响）、解析式求解（一般式、顶点式、交点式）、最值计算、与一元二次方程/不等式的关联，以及实际应用（利润、面积、行程最值）。解答题多为压轴题，侧重数形结合、分类讨论思想的应用，难度中等偏上。预测2026年：该模块命题将保持“综合性强、情境新颖”的特点，可能融入动态情境（如点的移动、图形旋转）或实际场景（如项目投资、建筑设计）。二次函数的最值问题、与方程/不等式的综合仍为核心考点，需熟练掌握三种解析式的转化与应用，强化分类讨论意识（如对称轴位置、自变量取值范围），避免因漏解或计算失误丢分。题型01二次函数性质与图象解｜题｜策｜略a、b、c的符号判断：a看开口方向，b看对称轴（左同右异），c看与y轴交点。对称轴与顶点：熟练掌握公式，快速定位对称轴和顶点坐标。与x轴交点：Δ>0有2个交点，Δ=0有1个交点，Δ<0无交点。4、易错提醒：混淆b的符号判断（需结合a），或忽略Δ的作用。例1（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式的顶点坐标为是解题关键．根据二次函数的顶点式的顶点坐标为，直接读取函数中的和值．【详解】∵抛物线为，与顶点式对比，得,，∴顶点坐标为，故选：A．【变式1】．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（

）A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键．先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项．【详解】解：A选项，二次函数，令，解得，∴原二次函数与轴的交点坐标为，翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误；B选项，二次函数，对称轴为，将代入函数解析式可得，∴原二次函数顶点坐标为，翻折后新函数图象的对称轴不变，为，在处，函数没有最大值，B选项错误；C选项，二次函数，令，则有，即，解得，，∴原二次函数与轴的交点坐标为，，翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，，∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确；D选项，新函数图象的对称轴为，由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，D选项错误．故选：C．题型02求二次函数解析式解｜题｜策｜略1、表达式选择：已知三点选一般式，已知顶点选顶点式，已知与x轴交点选交点式。2、待定系数法：根据所选表达式，代入已知条件列方程（组）求解系数。3、易错提醒：交点式中x₁、x₂的符号错误，或配方法转化时常数项计算失误。例1．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______．【答案】【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解．【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位，∴平移后的新函数的解析式为；故答案为：．【变式1】．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．(1)求b与c的值．(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)存在，或【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点．（1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解；（2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，∴，∴，；（2）解：存在，理由如下：对于抛物线，当，，解得：，当，∴，，∵，∴，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，∴，∴，过点作平行线与抛物线交点即为点，∵，，∴，设直线，则，∴，∴直线，∵∥，∴设直线，代入得：，解得：，∴直线，与抛物线解析联立得：，整理得：解得：或，∴点P的横坐标为或．题型03二次函数的最值问题解｜题｜策｜略1、无自变量限制：直接用顶点纵坐标求最值（a>0最小，a<0最大）。2、有自变量限制（m≤x≤n）：对称轴x=h在[m,n]内，最值为顶点纵坐标；h<m，最值在x=m处（a>0最小，a<0最大）；h>n，最值在x=n处（a>0最小，a<0最大）。3、易错提醒：忽略自变量取值范围，直接用顶点纵坐标作为最值。例1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．(1)若点为该二次函数的顶点，求二次函数的表达式；求线段长度的最大值；(2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围．【答案】(1)，；(2)．【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键．（1）利用待定系数法即可求解；正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解；（2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可．【详解】（1）解：∵为二次函数的顶点，∴，解得，∴二次函数表达式为；因为正比例函数经过点，∴，∴，∴正比例函数表达式为，设，则，，∴，∴当时，线段的长度取得最大值；（2）解：∵二次函数经过点，∴，即，令，解得，，∵二次函数与轴的一个交点为，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴的取值范围是．【变式1】.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接．（1）求证：；（2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）见解析（2）四边形面积的最大值为．【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立；（2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【小问1详解】证明：对于直线，令，则；令，则，∴，，∴，，∵，∴；【小问2详解】解：∵点的坐标为，∴，，∵点关于直线的对称点为，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形面积∵，∴当，四边形面积有最大值，最大值为．【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键．题型04二次函数与方程、不等式的综合解｜题｜策｜略1、与方程：二次函数与x轴交点横坐标=一元二次方程ax²+bx+c=0的根，Δ决定交点个数。2、与不等式：ax²+bx+c>0，a>0（a<0）的解集=函数图像在x轴上（下）方的x范围，结合开口方向和交点坐标判断。3、易错提醒：不等式解集判断时混淆开口方向，或忽略Δ=0时的特殊情况。例1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______．【答案】【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解．【详解】解：把点，点代入抛物线得，，解得，∴抛物线，令，得，解得或，∴，∴；故答案为：．【变式1】（2025·辽宁营口·二模）已知函数，定义新函数．(1)若新函数的解析式为，求函数与的解析式；(2)在（1）条件下，点在函数上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，且当时．①若点重合，求的值；②过点作轴的平行线交函数图象于点，函数，求函数关于的解析式（写出自变量的取值范围）；的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出面积的最大值，若不存在请说明理由．【答案】(1)，(2)①或2②；存在，面积的最大，最大值为【分析】（1）根据求得，再根据，比较即可求得a、b值，从而求解；（2）①把代入和代入，从而得到，再解方程即可求解；②先求出点A、B、C的坐标，从而求得、长，代入，即可求解；再根据，分类讨论求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，．（2）解：①∵点重合，，∴，把代入，得，把代入，得，∴，化简整理，得，解得：，．∴m的值为或2，②把代入，得，∴，∵轴交函数的图象于点，∴，∵轴交函数图象于点，∴点纵坐标为，把代入，得，∴，∴，∴当时，，当时，，∴∵，∴当时，，，∵，，∴当时，，取得最大值，最大值为，最大值为，此时，面积的最大，最大值；当时，，，∵，，对称轴为直线，∴，有最小值，当时，，都随着m的增大而增大，∵，∴，∴，∴当时，，都取得最大值，最大值为2，最大值为6，∴此时，面积的最大，最大值，∵，∴存在，面积的最大，最大值为．【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查二次函数与一次函数交点，二次函数的图象性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型05二次函数的实际应用解｜题｜策｜略1、建模步骤：设自变量→找等量关系→列二次函数表达式→确定自变量取值范围→求最值。2、核心技巧：实际问题优先用顶点式求最值，注意检验最值对应的自变量是否在取值范围内。3、常见情境：利润=（售价-进价）×销量；面积=长×宽（结合周长限制）。4、易错提醒：等量关系列错，或忽略自变量的实际意义（如边长为正、售价不低于成本）。例1．（2025·辽宁鞍山·二模）投掷实心球是一项重要的体育项目，一般情况下，实心球在空中运动的曲线符合抛物线的一部分.某学生在实心球投掷过程中，监测到球在头部上方出手的瞬间高度是米，水平距离米时达到最大高度，最大高度为米.(1)如图，以该学生所在直线为y轴，球落地的水平距离所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求该实心球运动时符合的抛物线解析式（不必写出取值范围）；(2)若实心球落地后距离投掷点米以上为满分，通过计算说明这名同学实心球成绩是否达到满分.【答案】(1)(2)这名同学实心球成绩不能得满分，计算见解析【分析】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）设抛物线的表达式为，将代入解得a即可；（2）令，解得x，与比较即可；【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为，设抛物线的表达式为，将代入，得，解得．∴该实心球运动时符合的抛物线解析式为；（2）解：令，解得（负值已舍去），∴实心球出手点与着陆点的水平距离为．∴这名同学实心球成绩不能得满分．【变式1】.为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：活动主题为校门上方抛物线形框架结构增加立柱活动准备1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸；2．准备皮尺等测量工具．采集数据图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：1．大门形状为矩形（矩形）；2．底部跨度（的长）为；3．立柱的长为，且，垂足为．设计方案考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．确定思路小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．根据以上信息，解决下列问题：（1）求抛物线的表达式；（2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）【答案】（1）（2）这根材料的长度够用【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：（1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；（2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可．【小问1详解】解：由题意，得：，，∴，把代入，得：，∴，∴；【小问2详解】由题意，可知：，∴关于轴对称，∵，∴当时，，∴，∵，故这根材料的长度够用．（60分钟限时练）1．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（

）A． B．C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上【答案】D【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可．【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，，在中，由勾股定理，得：，解得：，故选项A错误；∴，，当时，点运动到点，则，∴，∵，∴，∴，故选项B错误；∴当，即点在点时，∴；∴点的纵坐标为；故选项C错误；当时，点运动到点，则：，∴，∴，∴点在该函数图象上，故选项D正确；故选D．【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键．2．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________．【答案】或【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答．【详解】解：∵，∴对称轴为直线，把代入，得，即顶点坐标为，∵抛物线的顶点在直线上，∴，整理得，则，∴，∴故答案为：或．3．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．【答案】该抛物线的表达式为【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键．【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：则抛物线顶点坐标为，，即，设该抛物线的表达式为，将代入得，解得，该抛物线的表达式为．4．（2025·辽宁沈阳·二模）已知分别是关于自变量x的函数，点在的图象上，点在的图象上．定义：我们把称为与的“m界距离”．例如：若函数，当时，时，，则把2称为与的“2界距离”．(1)若，求与的“界距离”；(2)在平面直角坐标系中，的图象如图所示；①设与，的“m界距离”为d，求d与m的表达式，并写出m的取值范围；②连接，以为边作正方形（点按逆时针顺序排列），当与有交点时，求m的取值范围．【答案】(1)3(2)①当或时，，当时，；②或【分析】（1）分别求出两个函数自变量为的函数值即可得到答案；（2）①先求出，则当或时，，当时，，分别求出时，两个函数的函数值，再根据定义求解即可；②分图2-1，图2-2，图2-3，图2-4四种情形，分别求出临界情形下m的值即可得到答案．【详解】（1）解：在中，当时，，在中，当时，，∴与的“界距离”为；（2）解：①联立，解得或，∴，由函数图象可得，当或时，，当时，，在中，当时，在中，当时，，∴当或时，，当时，；②如图2-1所示，当时，则，此时与一定没有交点，不符合题意；如图2-2所示，当，且点M恰好在抛物线的图象上时，∴此时点Q和点M关于抛物线的对称轴对称，∵抛物线对称轴为直线，∴倍的点Q到对称轴的距离，∴，解得或（舍去）；如图2-3所示，当，且点N恰好在抛物线的图象上时，同理可得点N的坐标为，即，∴，∴，∴，解得，∵当和时，点P和点Q重合，∴，∴当时，与有交点；如图2-4，当时，且点M恰好在抛物线的图象上时，同理可得倍的点Q到对称轴的距离，∴，解得或（舍去）；∴当时，与有交点；综上所述，当或时，与有交点．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，正方形的性质，求一次函数和反比例函数值等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．5．（2025·新疆喀什·模拟预测）某工厂计划投资生产、两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图①所示：产品的利润（万元）与投资量（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示．(1)请直接写出利润与关于投资量的函数关系式______，______；(2)如果工厂以9万元资金投入生产、两种产品，要求产品的投资金额不超过产品的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)；(2)投资A产品3万元，投资B产品6万元时，该工厂能获得最大利润，最大利润是33万元【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、不等式在实际问题中的应用以及二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）设，，分别利用待定系数法求得解析式即可；（2）设投资产品万元，则投资产品万元，根据题意得关于的不等式组，解得的取值范围，根据（1）中的两个函数关系式得出关于的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．【详解】（1）解：设，点在该函数的图象上，，，，设，点在该函数图象上，，，，故答案为：，；（2）解：设投资产品万元，则投资产品万元，由题意可得：，解得：，该工厂能获得的利润为：，∵对称轴为，当时，利润随着的增大而减小，当时，取得最大值，最大值是，投资产品3万元，则投资产品6万元时，该工厂能获取最大利润，最大利润为33万元．6．（2025·辽宁营口·二模）某公司研发了一款成本为11元的新型玩具，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量（个）与销售单价（元）（x为正整数）满足一次函数关系，如图所示．(1)根据图象，写出与的函数关系式；(2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元?【答案】(1)(2)销售单价为20或21元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）设该公司每天获得的利润为w元，根据“利润（销售单价成本单价）销售量”可得，再利用二次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：设与的函数关系式为，把和代入得：，解得，∴与的函数关系式为．（2）解：设每天获得的利润为w，则，∵二次函数的对称轴为直线，且，∴当时，w随x的增大而增大，∴当时，w取得最大值，∵x为正整数，∴当或21时，w取得最大值，最大值为或答：销售单价为20或21元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元．7．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点．(1)求c的值，并用含a的式子表示b；(2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N．①若，，求的长；②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围．【答案】(1)0，(2)①4；②且【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．（1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案；（2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，