《高等几何》复习大纲及样题

(0464)复习大纲

仿射坐标与仿射变换

一、要求1,掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的

定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。2.掌握仿射变换的两

种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变

换的代数表不。3.掌握图形的仿射性质和仿射/、变量。

二、考试内容1.单比的定义和求法。2.仿射变换的代数表

示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。3,仿射变换的不变点和不

变直线的求法。

射影平面

一、要求1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷

远元素的引入。

2.熟练掌握笛萨格(Dasargues)定理及其逆定理的应用。3.熟练掌

握齐次点坐标的概念及其有关性质。4.理解线坐标、点方程的概念和

有关性质。5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。

二、考核内容L中心投影与无穷远元素：中心投影，无穷远元

素，图形的射影性质。

2.笛萨格(Desargues)定理：应用笛萨格(Desargues)定理及其逆

定理证明有关结论。

3.齐次点坐标：齐次点坐标的计算及其应用04.线坐标：线坐标的计

算及其应用。

5.对偶原则：作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。

射影变换与射影坐标

一、要求

1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和

应用。

2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。

3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。

4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。

5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的

关系。

二、考试内容

1.交比与调和比：交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概

念及其性质。

2.完全四点形与完全四线形：完全四点形与完全四线形的概念及其调

和性。

3.一维基本形的射影对应：一维射影对应的性质，与透视对应的关系，

以及代数表示式。。

4.二维射影变换5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关

系。

6.射影坐标：一维射影坐标、二维射影坐标。7.一维、二

维射影变换的不变元素：求一维射影变换的不变点，二维射影变换的

不变点和不变直线。

变换群与几何学

2

一、要求1.了解变换群的概念。2.理解几何学的群论

观点。

3.弄清欧氏儿何、仿射儿何、射影儿何之间的关系及其各自的研究对

象。

二、考试内容1.变换群与几何学的关系。

2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本

不变性。

二次曲线的射影理论

一、要求L掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的

相关位置，二阶曲线的切线，二阶曲线与二级曲线的关系。2.掌握巴

斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。

3.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。4.了解

二阶曲线的射影分类。

二、考试内容1.二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲

线的主程和切线方程。

2.应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问

题，解决相在的作图问题。

3.二阶曲线的射影分类。

二次曲线的仿射性质和度量性质

一、要求和考试内容1.掌握二次曲线的中心、直径、共聊直杼、

渐近线等概念和性质。

3

参考答案

-、填空题

1、平行四边形2、+2X+%=03、(2,-3,0)4、AC,BD5、

23

保持公共元素不变

二、作图题

1、每三点不共线的五个点，两两连线。

对偶：没三线不共点的五条线，两两相交。对偶图形就是自己

三、计算题

1解设所求仿射变换为“一++c；在已知直线x+2yT=0

Iy=ax+by+c

I222

上任取两点，例如取（1,0）、（3,-1）,在仿射变换下，此二点

不变。而点（1,-1）变为（-1,2）,把它们分别代入所设仿射变换

式，得TL[3ab+c=3a~b+c——1

,《i1i«1i1由

a+c=03a-b+c=-1a-b+c=2

22l222l222

以上方程联立解得:a=2,b=2•=-l,

111

-3

a=-£,b=-2，c~-

22222

(V=2x+2v-1

故所求的仿射变换为：J_--23

r/=53A.J+，

解由题设的射影变换式，得

ci=-1,ct=0,ct=0,ct=0,ct=1,a=O,a=0,a=0,a=1把匕们

111213212223313233

代入射影变换的固定方程组6.5公式（2）,即

5

(-1-u)x=0-1-u...0.....0

得1(1-叭=0由此得特征方程为：0.......1-u....0=0,即

(1一%=00........0.......1-v

(1+u)(l-u)2=0解得u=1(二重根),u=一1

将u二一1代入固定点方程组，即得固定点为(1,0,0)

将u=l代入国定点方程组，得xl=0这是一固定点列即直线

AA上的每一点都是固定点。把《的值代入射影变换的固定直线方程

23ij

组6O5公式(5),即【何一'+。2丹+。3凡=°得【(七洌二°则特

I〈1a12u1+('a22-v)’u2+a32u3=014'(1一V)Q=0

[au+au+(a-v)u=0[(1-)=0

1312323333

—1—v...0....0

征方程为).....1-vD0=0即(1+v)(1-v)2=0,解得v=-l

0......0....1-V

v二l(二重根)o

将v=-l代入固定直线方程组，即得固定直线为(1,0,0)。

将v=l代入固定直线方程组，得u=0,即通过点(1,0,0)

1

四、证明题1、见课本

2、证明这里所用的都是有向线段，利用。为CD中点这一假设，便

有OD=-OC来论证的,由(AB,CD)=-1,得AC•皿t

AD•BC

即AC〃BD+AD〃BOO(1)

把所有线段都以。点做原点来表达，由(1)得(OC-OA)(OD-OB)+

(OD-OA)(OC-OB)=0(2)由(2)去括号，移项，分解因子,

得2(0A〃OB+OC〃0D)=(OA+OB)(OC+OD)2(0A〃OB-0C2)

=(OA+OB)〃0工OA〃OB-0C尸0即0C尸0A〃0B

高等几何试题

6

填空题（每题3分，共27分）

1、两个三角形面积之比是（）o

2、相交于影消线的二直线必射影成（

3、如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（）。

4>一点x=（x,K,x衽一直线〃=[〃,〃,〃]上的充要条件是

123123

（）0

5、已知（p〃,p〃）=3,则（p〃,p〃）二（），（p卬）二（）。

123443211324

6、如果四直线〃,p,p,p满足（pp,〃p）=-1，则称线偶〃,p和p,〃

123412343412

（）,

7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是

（）。

8、不在二阶曲线上的两个点P（pp〃），QiZgg）关于二阶曲线

123123

S三工axx=0成共匏点的充要条件是（）o

ViJ

9、仿射变换成为相似变换的充要条件是（）o

二、计算题（每题8分，共56分）

1、计算椭圆的面积（椭圆方程：9>0）

42

+2b2

2、求共点四线/：y=kx，/：y=攵x，/：y=kx，/：y=kx的交比。

112-23"34'4

3、求射影变换IP/=/的不变元素。

<pl=x

22

px*=X

I33

4、求二阶地线6工2-工2-2以2+11h=0经过点P（1,2,1）的切线方程。

12323

5、求双曲线X2+2xy-3产+2x-4），=0的渐近线方程。

7

6、求抛物线2x2+4xy+2y2-4x+1=0的主轴和顶点。

7、求使三点0(0,⑹，七(1,1)，P(1,-1)顺次变到点0，(2,3)，£(2,5)，叫3,-7)

的仿射变换。

三、已知A(1,2,3)，5(5,-1,2)，C(11Q7)，。(6,1,5)，验证它们共线并求

(A8,C0的值。(8分)

四、求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条

二阶曲线。(9分)

答案一、1、仿射不变量2、平行直线3、透视中心4、

ux+ux+11x=0

112233

5、326、调和分离7、任何四个对应点的交比相等8、

S=0

9、这个变换使圆点保持不变

二、1、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为上+壬三1

(12b2

X=x

经过仿射变换、,二八，①

✓f—.1

h

其对应图形为圆。/2+/2=«2

在仿射变换①之下，A->AZBTB-O->OL所/408对曜1Ao£,

其中人三4,根据定理3.6推论2,有

邂呵喇工四四岁

-5S

r\AOBru'o&

8

所以磐地巴军2因此所给椭圆的面积为兀ah

—ah—42

22

2、解：化为齐次方程：/：x-〃x=0/：x-kx=Q

12112221

/：x-kx=Q/：x-kx=Q

32314241

取a：x=Q,b：x=0为基线，则有

21

I(a-kb),l(a-kb),l(a-kb),l(a-kh)

11223344

~+k)H+k)

由定理L11的推论，得(llII)=——1—T——J-4-

'12,934，(f+k+k)

2314

3、解：由方程

-1-ji00

01-M0=0

00

得

所以p=-1，p=1(重根)

12

将口=1代入（3.4.3）得

（-1-1）y+Oy+0v=0

123

0）；+（1-1»2+。%二。

0v十0），+（1-1）y=0

123

于是得）,=0为不变点列（即y轴），），=0这条直线上的点都是不变点,

因此这条直线是不变直线。

4、解：将p点的坐标代入二阶曲线方程中得S=0

叫

所以P点在二阶曲线上，故切线方程为s=0

E0

即(1,2,1)10-11

。以

9

亦艮□12x+7A-26A=0为所求切线方程。

123

5、解：设渐近线的方程为

ax+ax+ax+k(ax+ax+ax)=0

111122133121222323

根据(2.9)有-3k2+2Z+1=0

解之，得k=1,2=」，所以渐近线方程为

123

x+)，+1+(x-3y-2)=0和x+y+1-1(x-3y-2)=0

3

化简，得所求为2x—25-1=0和2x+6y+5=0。

6、解：因为A/-2=4,A=-P~2=-4

31|2032|20

代入(4.11),得主轴为4(2x+2y-2)+4(2x+2y)=0

即2x-b2y-1=0

解方程f2x2+4xy+2y2-4J+1=0

2.x+2v-1=0

得顶点之坐标为己,3。

88

x=a

7、解：设所求仿射变换为x+ay+a

111213

y=ax+cty+a

2122"2:3

丁是有2=4

13

3=a

23

2=a+a+a

111213

5=a+a+a

212223

3=a-a+a

111213

-7=a-a+a

2122；23

11

解此方程组，得a=2,a=3,a=_a=-a=-4>a=6

10

卜'»2

故所求的仿射变换为

[y=-4.r+6y+3

123123

三、解：因为5-12