《导数及其应用》同步练习

新青蓝小班《导数及其应用》同步练习三

1、将半径为R的球加热，若球的半径增加△1，，则球的体积增加约等于()

4%

A.—R^RB.4成?△氏C.4成2D.4成

3

2、下列各式正确的是()

A.(sina)1=cosa(。为常数)B.(cosx)r=sinx

D.(x~5)'=_*6

C.(sinx)z=cosx

3、下列函数在(-8,+8)内为单调函数的是()

A.y=x2-xB.y=|x|C.y=e~xD.y=sinx

4、函数y=%Inx在区间(Od)上是()

A..单调增函数B.单调减函数

C.在((),J上是单调减函.数.，在g,l)上是单调增函数

D.在上是单调增函数，在@,1)上是单调减函数

5、已知函数旷=«¥),其导函数y=/'(X)的图象如下图所示，则>=/(<)()

A.在(一8,0)上为减函数B.在x=0处取极小值

C.在(4,+8)上为减函数D.在x=2处取极大值

6、若函数/U)=Wnx在加处的函数值与导数值之和等于1,则次的值等于()

A.1B.-1C.±1D.不存在

7、若函数/C的nV+aF—9在x=—2处取得极值，则〃=()

A.2B.3C.4D.5

8、函数〉=；「+/—3工一4;£［—4,2］上的最小值是()

9、若犬用=一/+2"与8。)=备，在区间［1,2］上都是减函数，则a的取值范围是

人IJL

()

A.(-l,0)U(0,l)B.(-l,0)U(0,l]八0(()/)加"：((9]

10>若曲线丁=一的一条切线/与直线x+4y—8=0垂直，.则，的方程为

A.4x-j-3=0B.x+4y—5—0C.4x-j+3=0D.x+4j+3=0

11、若函数./U)=,加+lnx—2x在定义域内是增函数，则实数"?取值范围为()

A.机B.C.62gD.mwg

12、函数«。=9-3法+38在(0,1)内有极小值，则()

A.0</?<1B.h<0C.b>0D.b<；

13、质点M按规律y«)=3+4"故直线运动，则质点的加速度2=

14、若函数人幻=丁一/'(1*+〃-5,则/'(2)=.

15、若/（4）=/+/+"5+1是R上的单调递增函数，则，〃的取值范围是________

16＞已届函数/（x）=e、-2x+〃有零点，则。的取值范围是________.

17、（本小题满分12分）已知曲线C：f（x）=x\

（1）利用导数的定义求/（X）的导函数r（x）；

（2）求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程。

18、（本小题满分12分）已知函数=1-3公，+2/*在R=1处有极小值-1,试求。，b的值,

并求出/（幻的单调区间.

19、（本小题满分12分）判断函数/U）=V—3『一9X+1在区间［-4,4］上的单调性.

20、（本小题满分12分）求下列函数的导数：

（l-x）=ln（8x）；（2次v）=（也+1）（右一1）.

21、（本小题满分12分）设函数yU）=2—3奴+仇。70）.

（1）若曲线y=/U）在点（2,人2））处与直线y=8相切，求。，力的值;

（2）求函数犬幻的单调区间和极值点.

22、（本小题满分14分）已知函数/U）=-2+加+仇。，〃£R）.

⑴若〃=0,b=2,求F（x）=（2x+iy（x）的导数；

⑵若函数人幻在x=0,x=4处取得极值，且极小值为一1,求。，〃的值；

⑶试讨论“对［（）』］，函数共幻的图象上的任意一点的切线斜率攵都满足攵2—1”成立的充

要条件.

答案

1、B。提示：・・・y(K)，成3,

3

:.△》=V(R+△/?)-v(/?)=-MR+△nF--冰,

33

=+3R24R+3K+(△R)3]_g成3=4或2AR+4或GR)2+：%(△/?>

,二△R是一个很小的量，•••(△R)2和.(△1<)3非常小,

△)«4几R24R1,

2、C.本题考察对函数的求导公式的理解和把握。3、C

4、C.解：函数的定义域是(0,+8),/=lnx+lo

令y'=lnx+l>0,得】nx>—1=In—,x>—

ee

令y'=lnx+lvO,得加工<-l=ln—,0<x<—

ee

5、C.解析：在(-8,0)±,f(x)〉0,故f(x)在(一8,0)上为增函数，A错；

在x=0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x=0处取极大值，B错；

在(4,+8)上，f(^)<0,/tv)为减函数，C对；在x=2处取极小值，D错.

6、A.解析：因为y(x)=jdnx,所以/(x)=lnx+1,于是有xolnxo+lnxo+1=1,

解得xo=1或xo=-1(舍去).故选A.

7、B.解析：•・/(x)=3*+2〃x,：.f(-2)=12-467=0,：.a=3.

8、A.解析：y'=『+2x—3,令y'=0,得x=—3或x=l,

分别计算八一4),♦-3),/U),-2),比较大小，取其中最小的,故选A.

9>D.解析：F(x)=-f+2ax,对称轴为x=a,当aWl时，f(x)在［1,2］上为减函数，由

g'(x)=/二：<0,得a>0.故10、A

(X十1)

11、C.解析：f(x)=2点+J—2,

••V

由题意，当x>0时，2"a+'—220,即2加F-2x+12O在(0,+8)上恒成立,

«x

2>0

-(-2)

-------£<02m>0

令人幻=2祖『一2x+ia>0),则'2X2,11或解得•故选c.

/W0

2w>0

4。)20

12、A.解析:f(X)=3A2-3Z?,要使7U)在。1)内有极小值，则，⑴在。1)内由负变正,

((0)<0,-3*0,

即4则,解得(XXL

卜⑴>0,l3-3Z?>0.

13、解析：速度关于时间的函数的导数是速度，速度关于时间的函数的导数是加速度。答案:

4.

14、解析：/'M=3x?~2f,(1)A+2,f(l)=3-2//(1)+2.

r2

：.f(1)=|,f(2)=3X2-2x|x2+2=y0答案：y

15、解析：f(X)=3X2+ZX+/ZL

•・・加)在R上是单调递增函数，(x)20在R上恒成立，即3f+2x+〃720.

由/=4—4X3〃zW0,得答案：

JJ

16、解析：对於)求导得/a)=e'—2,・••当xVln2时，f(x)<0:当£>ln2时，f(x)>

0,・・JU)min=/(ln2)=2—21n2+。，则函数有零点即J(x)minW0,・・・2-21n2+QW0,.・・〃W21n2

—2,答案：(一8,21n2-2]

/(x+Zkx)-/(x)

17、(1)r(x)=Jim=lim(X,今一-

△x△soAx

(2)将x=l代入曲线C的方程，得y=l,・•.切点的坐标为(1,1)。

又•・•切线的斜率A=『(1)=3x1=3,

，过点(1,1)的切线的方程为y-l=3(x-l),即3%一)一2=0。

18、解：由己知，可得/⑴=1-3。+2。=-1,

又/'(X)=3x2-6ax+2b,①

.・・/，⑴=3-6〃+26=0,②

由①，②，解得b--

32

故函数的解析式为/(X)=V-/一人.

由此得/'(%)=3/—2X-1,根据二次函数的性质，当—或X>1时，八#>0；

3

当ru)<o.

因此函数的单调增区间为b8,_j和(L+8),函数的单调减区间为

19、解：=丁—3X2-9x4-1,.*./(x)=3JT—6A—9=3(x+1)(x-3)

令/(x)>0,结合一4WaW4,得一4W工<一1或3VW4.

令/(x)<0,结合一4<4W4,得一Yxv3.

・•・函数./W在［一4,一1)和(3,4］上为增函数，在(一1,3)上为减函数.

20、解：(1)因为兀0=ln(8x)=ln8+hu,

所以/(x)=(ln8)'+(liu)/=J.

(2)因为yu)=(5+1)(★一i)=1一退+七―1=一"+右

所以r(x)=

注：也可以兀丫)=(也+1)(古一1)=1—五+古—1=一也+古

/㈤二一(4)，+(/)，=一4一卜「会•一六•

21、解析：(1/a)=3f-3。(40),1分

因为曲线尸/.(*)在点(2,f(2))处与直线尸8相切,

f(2)=0,3(4—1/)=0,

所以,即〈3分

、火2)=8.8一6。+/?=8.

解得a=4,b=24........................4分

(2p(x)=3(f—。)(〃左0),

当水0时，f(x)>0,函数F(x)的单调递增区间是(-8,+8),函数F(x)没有极值

点；............7分

当a>0时，f(x)=3(x2—a)=3(x+y/a)(x-4a),

令f(x)=0,得工=-6或

当x变化时，f(x)、兀丫)变化状态如下表：

5

X(—8,—一,(一立,F)(江，+8)

fW+0—0+

於)/极大值极小值/