【数学】宁夏大学某中学高三第一次模拟考试试卷（理）

宁夏大学附属中学高三第一次模拟考试

数学试卷

第I卷

一.选择题:本大题共12小题,每小题5分洪60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

仁

1.已知i是虚数单位，则复数U-'J的值为（）

A.iB.-fC.1D.-1

2.已知全集为R,集合M={x||x-3|<2}，集合N={x|ln（x-2）>0}，则仞DN=（）

A.（3,5）B.[3,5）C.（1,3）D.（l,3]

3.已知抛物线），2=2〃乂〃>0）的准线与圆（X-2）2+），2=9相切，则〃的值为（）

A.2B.3C.4D.5

4.如图，若依次输入的x分别端年,相应输出的〉，分别为yi.”,则aj2的大小关系是（）

/输入x/

/输出y/

A.y\=yiB.），1>,也C.D.无法确定

5.下列四个选项中错误的是（)

A.命题“若x。1,则V-3.V+2,0”的逆否命题是“若x2-3x4-2=0,则x=1

B.若〃△夕为真命题，则“Vq为真命题.

C.若命题:VxGR,./+x+l，0,则->p:BxeR,x2+x+l=O.

D.“x>2”是“/一3x+2>0”成立的必要不充分条件.

6.已知sina+cosa(0,4)，则■!~"n"=()

21+tana

A.不B.-万C.y/3D.-石

7.设则二项式“2-4)5的展开式中x的系数为()

J1XX

A.40B.-40C.80D.-80

8.某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是()

A.—71B.671C.—71D・—71

333

9.函数/（x）=2cos（5+2）（①>0）的图像与x轴交点的横坐标构成一个公差为g的等差

32

数列，要得到函数g（x）=2sins的图像，只需将函数/（幻的图像（）

A.向左平移2个单位长度B.向右平移二个单位长度

126

C.向右平移一个单位长度D.向左平移巳个单位长度

123

10.从｛123,4,5｝中随机选取一个数m从｛1,2,3｝中随机选取一个数b,则a<b的概率为（）

11.在AA8c中，角A&C所对的边分别为©Ac,S表示AA8C的面积，

若acos8+Z?cosA=csinC,S=^（b2+c2-a2）,则8=（）

A.30B.45C.60D.90,

2尸2016

12.定义在Gl,l）上的函数〃幻=1+工-r、+E--------，设尸a）=〃x+4）,且尸（x）的零

232016

点均在区间3力）内，其中4,Z?Wz,。<江则圆/+y2=〃/的面积的最小值为（）

A.nB.2万C.3兀D.4乃

笫n卷（非选择题90分）

第n卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第

22题〜第23题为选考题，考生根据要求做答.

二.填空题（每小题5分，共20分）

13.以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴旦焦点在X轴上的双曲线。的一条渐近线倾

斜角为工，则双曲线C的离心率为______.

3

3x4-y-6>0

14.设变量x,），满足,工-）一2«0，则变量2=上的最大值为_______.

cX+1

[y<3

15.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三

棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有

一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖瞒（四个面均为直角三角形的四面体）。在如图所

示的堑堵48。一44。1中，AA]=AC=5,AB=3,BC=4,则阳马弓一人^片儿的外

接球的表面积是。

16.若对于曲线/(x)=-e、-x(e为自然数对数的底数)的任意切线人总存在曲线

g(x)=(a+l)x+2cosx的切线A,使得(JL/2，则实数〃的取值范围为.

三.解答题(本大题6小题共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)已知数列"｝的前〃项和S“满足：s”=an2+bn.且

4=1,%=3

(1)求数列｛凡｝的通项公式;

1

(2)记2求数列也｝的前〃项和小

n[M+1

18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC—44G中，例_1_面48。，BC.LAC,

BC=AC=2,A\=3,7)为AC的中点.

(1)求证：AB,//ffiBDC｝；

（2）求二面角G-4O-C的余弦值.

19.（本小题满分12分）某学校为了了解在校同学们对学校某一政策的看法，学校进行了调查,

同时选三个班，同学们的看法情况如下:

非常好，奠定了

对学校的看法很好，我的中学很快乐很充实

我一生成长的起点

£

A班人数比例

22

2

B班人数比例

33

C班人数比例2

44

（1）从这三个班中各选一个同学，求恰好有2人认为学校“非常好”的概率（用比例作为相

应概率）；

（2）若在B班按所持态度分层抽样，抽取9人，在这9人中任意选取3人，认为学校“非

常好”的人数记为4,求J的分布列和数学期望.

20.（本小题满分12分）已知椭圆C:£+3=1（。>力〉0）的右焦点尸2是抛物线丁=4x的

焦点，过点F?垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的线段长度为3.

（1）求椭圆。的方程；

（2）设动直线，：卜二心十，〃与椭圆。有且只有个公共点尸，且与直线人=2相交了点。.请

问：在x轴上是否存在定点M,使得MAM。为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）设函数/（x）=ar（x-l）+ln（x+l）,其中acK.

（1）当4=1时，求函数/a）的极值；

（2）若Vx>0,/3）之0成立，求a的取值范围.

请考生在第22・23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程选讲.(本小题满分10分)

设平面直角坐标系原点与极坐标极点重合，X轴正半轴与极轴重合，若已知曲线C的极坐标方程为

19"+与

p2=——丁工——L，点为其左.右焦点，直线/的参数方程为」(f为

3cos26>+4sin2<9收

Iy=——2t

参数，teR).

(1)求直线/的普通方程和曲线C的参数方程；

(2)求曲线C上的点到直线/的最大距离.

23.选修4—5;不等式选讲.(本小题满分10分)设函数/(x)=|2x+l|,xe/?

(1)求不等式|/")一2|45的解集；

(2)若g(x)=-------!-------的定义域为R,求实数加的取值范围.

/(x)+/(x-l)+m

【参考答案】

I-6.AAACDB7-12.DCCDBA

13.214.-15.50万16.-2<d<3

2

17解:(1)由S+加，且々=],〃=3,得,a,解得a=l,Z?=0

~[4a+2Z>=4

故S“=〃22分

当n=I时，①=¥=13分

当时,5分

"STi=2〃-1

且当n=l时上式仍成立，「.a”=2〃-16分

⑵“匹r(2”i；2〃+l)T*

2〃+1)9分

12分

18.(I)证明：依题可建立如图的空间直角坐标系,I-平,

.....1分

则G(0,0,0),B(0,3,2),B\(0,0,2),

C(0,3,0),A(2,3,0),D(1,3,0),

设〉l|s=|是面*的一个法向量，则

：AS二面BOG，〃面BOG........6分

(II)易知启二_-是面A8C的一个法向量.

11分

•••二面角G—3£>—C的余弦值为12分

19.解：（1）p（A）=l|（l-^）+|-（i-|）-^+（l-i）|-^=^.（5

（2）在B班按照相应比例选取9人,则认为一中"非常好''的应该选取6人，认为一中“很好''

的应选取3人，则《=0」23,

且勺。）*吟;即力普哈木

小=2）=等哈=*—31啜小

则€的分布列为:

A0123

13155

p

84U282\

则的期望值为：*。$小寻2碟+3*=2（人）.（12分）

2.（L±—）»

20.解：（I）抛物线的焦点坐标为（］Q）,则椭演|c过点2

2=Z）2+1

9=422

=1/_?，.・.椭圆C1KJ方程为一+J=1.

则4b解得0743（4分）

（II）假设在X轴上存在定点〃（*，°）满足条件，设P*。/。），则0（2,2%+〃7）,

y=kx+m

r+£=1,,,

得2WX

由43（4Z+3）/+8%/+4〃72—12=0

2

...A=64Am2-4（4-+3）（4/w-12）=0+3=m\6分

4km4k

--,y=kx+m=­P（

此时“4A2+3m00m加'加,（8分）

__4k3

♦•.MP=（-『哈而=（2-芭,2"⑼

，，

..4k3k

:.MPMQ=(--------xX2—%)+2(2〃+，〃)(4x,-2)—+X,2-2X,+3

mm=m,10分

io

.,.当4*-2=0,即％=5时KJ_2X1+3=w

i.Q

M(-,0)依M四定值一

•••存在点2,使得4.(时分)

19V"+¥

21.解：(I)当4=1时，/(x)=X.V-l)+ln(x+l),f,(x)=2x-\+——=――-

x+1x+l

1分

f\x)>0=>-l<x<—^^cr>0

f\x)<0=>-^<x<0

「./(x)在(-1,-g)和(0,+=o)上单调增，在(-3，。)上单调减3分

3

“(X)极大也令丁n24分

/⑴极小力0)=0

(II)设函数/(幻=31+1)+〃*2一%)，Vx>0,都有f(x)NO成立.

即1。(％+1)+4(/一幻之0

当x=l时,In220恒成立；

当x〉1时，x2-x>0,"(j