七年级数学下学期期末几何压轴题试卷含答案

一、解答题

1.问题情境：

在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点4(xi,yi)和点8(X2,丫2),小明在学习中发

现，若M=X2,则4811y轴，且线段4B的长度为|力-川；若力=3,则A8llx轴，且线

段48的长度为|X1・X2|；

(应用)：

(1)若点4(-1,1)>B(2,1),则4811x轴，A8的长度为.

(2)若点C(l,0),且CDIIy轴，且8=2,则点。的坐标为.

(拓展)：

我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M(xi,y])，N(X2,V2)之间的折线距

离为d(M,N)=|xi・xz|+|yi・y2|;例如：图1中，点M(・1,1)与点N(1,-2)

之间的折线距离为d(M,N)=|-1-1|+|1-(-2)|=2+3=5.

(1)如图1，已知E(2,0),若F(-1,-2),则d(E,F)；

(2)如图2,已知E(2,0),H(1,t),若d(f,H)=3,则t=.

(3)如图3,已知P(3,3),点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3,则d(P,Q)

2.问题情境：

(1)如图1,AB//CD,NPAO=128。，ZPCD=119°.求NAPC度数.小颖同学的解题思

路是：如图2,过点P作PE//AB,请你接着完成解答.

问题迁移：

(2)如图3,AQ//BC,点尸在射线QM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，

ZADP=Za,/尸。£=夕.试判断/小。、Nc、夕之间有何数量关系？(提示：过点

〜作/YVA4O),请说明理由：

(3)在(2)的条件下，如果点尸在A、区两点外侧运动时(点P与点A、B、。三点不

重合)，请你猜想NCP。、N。、//之间的数量关系并证明.

[3B

PE

D

DD

图2图3

3.直线48IICD,点P为平面内・点，连接AP,CP.

(1)如图①，点P在直线人8,C。之间，当N8AP=60。，NOCP=20。时，求N4PC的度

数；

(2)如图②，点P在直线A8,CD之间，N84P与NOCP的角平分线相交于K,写出

NAKC与N4PC之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图③，点P在直线8下方，当/班长=5/8即，/OCK=1/OCP时，写出

NAKC与/4PC之间的数量关系，并说明理由.

图①

4.点A,C,E在直线/上,

CD.

图1备用图图2

（1）如图1,若点£在线段4c卜.求讦：ZB+ZD=ZfiED：

（2）若点E不在线段4c上，试猜想并证明N8,ND,/8E。之间的等量关系；

（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点8作P8〃ED,在直线8P,ED之间有点例，使

^-ZABE=^EBM,NCDE=NEDM,同时点F使得/A8E=c/EBF,ZCDE=nZEDF,其中

n>l,设/8M0=m,利用（1）中的结论求/8FD的度数（用含m,〃的代数式表示）.

5.综合与探究

（问题情境）

王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动

（1）如图1,EF//MN,点A、"分别为直线口、上的一点，点P为平行线问一点，

请直接写出NR4尸、NP3N和NR有之间的数量关系；

图1图2

备用图备用图

（问题迁移）

（2）如图2,射线与射线QN交于点。，直线〃?//〃，直线，"分别交。河、CW于点A、

D，直线〃分别交OW、QV于点8、C,点〃在射线OM上运动，

①当点产在A、B（不与A、8重合）两点之间运动时，设NAOP=Na,

4BCP=".则NC。。，Na,4之间有何数量关系？请说明理由.

②若点乃不在线段A8上运动时（点P与点A、B、。三点都不重合），请你画出满足条

件的所有图形并直接写出NC尸。，（a,”之间的数量关系.

6.如图，NE8F=50。，点C是NE8F的边8F上一点.句点A从点8出发在NE8F的边8£

上，沿8£方向运动，在动点4运动的过程中，始终有过点A的射线AOIIBC.

（1）在动点4运动的过程中，（填"是"或"否"）存在某一时刻，使得4。平分N&C?

(2)假设存在4。平分NEAC,在此情形下，你能猜想/8和NAC8之间有何数量关系？并

请说明理由；

(3)当AC_L8C时，直接写出NB4C的度数和此时4。与4C之间的位置关系.

数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：

求59319的立方根.华罗庚脱口而出：“39”.邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥

妙.

你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：

第一步：.••痂丽=10,V1000000=100,1000<59319<1000000,

10<^59319<100.

能确定59319的立方根是个两位数.

第二步：•「59319的个位数是9,93=729

・•・能确定59319的立方根的个位数是9.

第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59,

而后<病<闹，则3<病<4,可得30<为9319<40,

由此能确定59319的立方根的十位数是3,因此59319的立方根是39.

(解答问题)

根据上面材料，解答下面的问题

(1)求110592的立方根，写出步骤.

(2)填空：。21952=.

8.对任意一个三位数"，如果〃满足各数位.上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个

数为“梦幻数〃，将一个“梦幻数〃任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三

数，把这三个新三位数的和与111的商记为K"),例如〃=123,对调百位与十位上的数

字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三

个新三位数的和为213+321+132=666,666+111=6,所以K(123)=6.

(1)计算：K(342)和K(658)；

(2)若x是“梦幻数〃，说明：K(x)等于x的各数位上的数字之和；

(3)若x,y都是“梦幻数"，且工+>=1000,猜想：K(x)+K(y)=,并说明你猜

想的正确性.

2a-b(a>b)

9.对于有理数〃、b,定义了一种新运算“※"为：成”=2.,、

a--bya<b)

2

如：5巡=2x5-3=7,隰3=1——x3=-I.

3

(1)计算：①2※(-1)=：②(T)※(-3)=:

(2)若3※优=-l+3x是关于x的一元一次方程，且方程的解为x=2,求加的值；

(3)若A=-V+4/-x+l,8=+6/7+2,且4派8=-3,求2/+2彳的值.

10.如图1,把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个

面积为2的大正方形.由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法.

(1)图2中4、8两点表示的数分别为,：

图1图2

(2)请你参照上面的方法：

①把图3中5x1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形.在图3中画出裁剪线，并在图

4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长〃=.(注：小正方

形边长都为1,拼接不重叠也无空隙)

图3图4

②在①的基础.匕参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数。以及。-3.(图

中标出必要线段的长)

-4-3-2-101234

11.探究与应用：

观察下列各式：

1+3=2

1+3+5=2

1+3+5+7=2

1+3+5+7+9=2

问题：(1)在横线上填上适当的数,

（2）写出一个能反映此F•算一般规律的式子；

（3）根据规律计算：（-1）+（-3）+（-5）+（-7）+...+（-2019）.（结果用科学

记数法表示）

12.小学的时候我们已经学过分数的加减法法则：“同分母分数相加减，分母不变，分子相

加减；异分母分数相加减，先通分，转化为同分母分数，再加减.”如：

=—---r-=-4=-L-=7»反之，这个式子仍然成立，即：

232x32x32x32x36

11_3-2_3____2___[_2

6~2^3~2^3~2^3~2^3-2-3,

（1）问题发现

观察下列等式：

1_3-2_3____

2^3~2^3~2^3-2^3-2-3

1_4-3_4

3x4-3x4-3x42x3-34

猜想并写出第〃个式子的结果：下==____.（直接写出结果，不说明理由）

/1（/：+1）

（2）类比探究

将（1）中的的三个等式左右两边分别相加得：

111,1111113

----卜T----=]卜-----+-=I=一,

1x22x33x42233444

类比该问题的做法，请直接写出下列各式的结果：

----------1-------------1-----------b••・H---------------------------

1x22x33x42019x2020

②-----H---------F+••・+----------

1x22x33x4〃(〃+1)

（3）拓展延伸

1

计算:L+-L+」+••・+

1x33x55x799x101

13.如图，在平面直角坐标系中，已知A（qO）,8e,0）,C（0,4）,〃满足

（〃+2『+x/^7=0.平移线段AA得到线段C7）.使点A与点。对应•点A与点。对应.

连接AC,BD.

（1）求4,的值，并直接写出点。的坐标；

（2）点尸在射线（不与点A,B重合）上，连接PC,PD.

①若三角形尸CO的面积是三角形PBD的面积的2倍，求点P的坐标：

②设N-C4=。，4PDB=0,ZDPC=0.求。，夕，。满足的关系式.

14.已知，ABWCD,点E在CD上，点G,F在28上，点H在48,C。之间，连接FE.

EH,HG,ZAGH=^FED,FE上HE,垂足为£.

（1）如图1,求证：HGLHE；

（2）如图2,GM平分/HG8,EM平分/HE。，GM,EM交于点M,求证：ZGHE=

2/GME；

（3）如图3,在（2）的条件下，FK平分/AFE交CD于点K,若NKFE：ZMGH=13：5,

15.如图1,在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点8为x轴正半轴上一

点，C（0,«）,D（b,a）,其中0、b满足关系式：|〃+4|+S—a—1）2=0.

0）a=，b=,△BCD的面积为；

（2）如图2,石AC_L8C于点C,点P是线段OC上一点,连接8P,延长BP交ZC于点Q.

当NCPQ=NCQP时，求证：8P平分445C；（提示：三角形三个内角和等于180）

⑶如图3,若AC_L8C,点E是点八与点8之间上一点连接CE,且CB平分NECE问

NBEC与N8C。有什么数量关系？请写出它们之间的数量关系并请说明理由.

16.如果x是一个有理数，我们定义{X}表示不小于x的最小整数.如{3.2}=4,{-2.6}=

-2,{5}=5,{-6}=-6.由定义可知，任意一个有理数都能写成x={x}-b的形式(04

<1).

⑴直接写出{x}与x,x+1的大小关系；

提示L用“不完全归纳法”推导{x}与x,x+1的大小关系；

提示2：用“代数推理〃的方法推导{x}与x,x+1的大小关系.

(2)根据(1)中的结论解决卜.列问题：

①直接写出满足{3m+7}=4的m取值范围；

②直接写出方程{3.5。-2}=2。+1的解..

17.在如图所示的平面直侑坐标系中，4(1,3),B(3,1),将线段4平移至CD,C

(m,-1),D(1,n)

(1)m=,n=

(2)点P的坐标是(c,0)

①设NABP=〃，请写出NBPD和NPDC之间的数量关系(用含。的式子表示，若有多种数

量关系，选择•种加以说明)

②当三角形PAB的面积不小于3且不大于10,求点p的横坐标C的取值范围(直接写出

答案即可)

18.如图所示，在直角坐标系中，已知4(6,0),以8,6),将线段0A平移至C8,连接

OC、AB.CD、BD,且OC7/48,点。在x轴上移动(不与点。、A重合).

（1）直接写出点。的坐标；

（2）点。在运动过程中，是否存在△QDC的面枳是△A3。的面积的3倍，如果存在请求

出点。的坐标，如果不存在请说明理由；

（3）点。在运动过程中，请写出NOCQ、ZABD.N3Z）C三者之间存在怎样的数量关

系，并说明理由.

19.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，

直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文："假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头

牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出

以下两个问题：

（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用20两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请

问商人有几种购买方法？列出所有的可能.

20.阅读下列材料，解答下面的问题：

我们知道方程2x+3.y=12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其

正整数解.

例：由2x+3y=12,得：），=±10;—±Or=4-OV2，（x、y为正整数）

…c八，则有0<K<6.又y=4-9为正整数，则?为正整数・由2与3互质，

l2-2x>033

可知：X为3的倍数，从而x=3,代入y=4-J=2「.2x+3y=12的正整数解为一；

3[y=2

问题：

（1）请你写出方程2x+）：=5的一组正整数解：.

（2）若一、为自然数，则满足条件的x值为____________.

x-2

（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢

笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？

21.如图，已知A（0,a）,昭0）,且满足必-4|+屈石=0.

（1）求A、8两点的坐标：

（2）点C（/〃〃）在线段AB上，〃?、〃满足〃-〃?=5,点。在丁轴负半轴上，连C。交x轴

的负半轴于点M,且5.忙=鼠”加，求点。的坐标；

（3）平移直线AA,交x轴正半轴于E,交）'轴于b，P为直线E”上第三象限内的点，

过产作PG_Lx轴于G,若4卸=20,且GE=12,求点。的坐标.

22.为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市居民“一户一

表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：

自来水销售价格

每户每月用水量单位:元/吨

15吨及以下a

超过15吨但不超过25吨的部分b

超过25吨的部分5

（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费元；（用”，〃的代数式表示）

（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费

70元，求“，8的值.

（3）在第（2）题的条件下，若交水费76.5元，求本月用水量.

（4）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月

份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的〃，〃的值分别上

调了整数角钱（没超过1元），其他都没变.”到底上谎了多少角钱呢？请你帮小王求出符

合条件的所有可能情况.

23.在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为A（a,0）,B（b,0）,且a,b满足|a+b・

2|+j2a-b+5=0,现同时将点A,B分别向右平移1个单位，再向上平移2个单位，分

别得到点A,B的对应点为C,D.

（1）请直接写出A、B、C、D四点的坐标.

（2）点E在坐标轴上，旦SABCE=S四边形ABDC，求满足条件的点E的坐标.

（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC,P0,当点P在线段BD上移动时（不与B,

24.如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个

动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿Af87C―力运动，最终到达点D,若点

Q运动时间为x秒.

3

（1）当x=l时，SgQE=—平方厘米；当工=]时，5皿*=—平方厘米；

（2）在点Q的运动路线二，当点Q与点E相距的路程不超过。厘米时，求x的取值范

4

围；

（3）若A4Q/T的面积为:平方厘米，直接写出x值.

关于x,y的二元一次方程ax+b尸c有一组整数解",则方程ax+b*c的全部整数解可

1>，=>0

表示为[=（[为整数）.问题：求方程7x+19y=213的所有正整数解.

小明参考阅读材料，解决该问题如下：

x.=6fx=6-19/

解：该方程一组整数解为C，则全部整数解可表示为{八c*为整数）.

[%=9[.¥=9+7/

6-19/>0,96

因为9+7]>0解得一因为t为整数’所以上。或工

x=6{x=25

所以该方程的正整数解为c和r.

y=9[y=2

x—2।5/

(1)方程3x-5y=ll的全部整数解表示为：(t为整数)，则0=—：

y=0+o3t

(2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解；

(3)方程19x+8y=1908的正整数解有多少组？请直接写出答案.

26.对X、>定义了一种新运算T,规定T(x，A=竽包(其中〃，人均为非零常数)，这

2x+y

里等式右边是通常的四则运算，例如：7(。/)="；：；：：,

已知7(1,-1)=一2,7(4,2)=1.

(1)求"，匕的值；

(2)求7(-2,2).

f7，(2/n,5-4w)<4

(3)若关于机的不等式组TQo/恰好有4个整数解，求〃的取值范围.

27.如图①，在平直角坐标系中，△ABO的三个顶点为八(a,b),8(-a,3b),。

(0,0),且满足，Td+|b-2|=0,线段八8与'轴交于点C.

(2)求出△八80的面积；

(3)如图②，将线段48平移至8点的对应点8'落在x轴的正半轴上时，此时4点的对

应点为A,记44&C的面积为S,若24VSV32,求点A的横坐标的取值范围.

28.在平面直角坐标系中，点8仇6),C(c,3),且“，b,c满足

2。+c=3a+13

a+c=2b+\

(1)请用含〃的式子分别表示8,C两点的坐标；

(2)当实数。变化时，判断AAHC的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其

变化范围；

（3）如图，已知线段A8与y轴相交于点E,直线AC与直线。4交于点尸，若

2PASPC,求实数"的取值范围.

29.如图1,在平面直角坐标系中，A（a,0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一

点，CB_Ly轴交y轴负半轴于B（0,b）,且|a-3|+（b+4）2=0,S四或彩AOBC=16.

（2）如图2,设D为线段OB上一动点，当ADJLAC时，NODA的角平分线与NCAE的角

平分线的反向延长线交于点P，求/APD的度数；（点E在x轴的正半轴）.

（3）如图3,当点D在线段OB上运动时，作DM_LAD交BC于M点，NBMD、NDAO的

平分线交于N点，则点D在运动过程中，NN的大小是否会发生变化？若不变化，求出其

值；若变化，请说明理由.

30.对x,）'定义一种新的运算A,规定：A（x,y）=\（其中油¥。）.

（1）若已知“=1,b=-2,则A（4,3）=.

（2）已知A（l,l）=3,A（—l,2）=0.求〃，b的值；

（3）在（2）问的基础上，若关丁正数〃的不等式组恰好有2个整数

1-3/7,-2/?）＞///

解，求，”的取值范围.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1.【应用】：（1）3；（2）（1,2）或（1,-2）；【拓展】：（1）=5；（2）2或-

2；（3）4或8.

【分析】

（应用）（1）根据若yi=yz,则ABHx轴,且线段AB的长度为|xi-X2|,代入数据即可得

出结论；

（2）由811y轴，可设点。的坐标为（1,m）,根据CC=2,可得|0-m|=2,故可求

出m,即可求解;

（拓展）（1）根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论；

（2）根据两点之间的折线距离公式结合d（E,H）=3,即可得出关于t的含绝对值符号

的一元一次方程，解之即可得出结论；

（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x,0）,根据三角形的面积公式结合三角形

OPQ的面积为3即可求出x的值，再利用两点之间的折线距离公式即可得出结论；

【详解】

（应用）：

（1）AB的长度为|-1-2|=3.

故答案为：3.

（2）由COIIy轴，可设点。的坐标为（1,m）,

CD=2,

|0-m|=2,解得：m=±2,

.•.点。的坐标为（1,2）或（1,-2）.

故答案为：（1，2）或（1,-2）.

（拓展）：

（1）d（F,F）=|2-（-1）|+|0-（-2）|=5.

故答案为；=5.

（2）VE（2,0）,H（1,t）,d（£,H）=3,

12-l|+|0-t|=3,解得：t=±2.

故答案为：2或-2.

（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x,0）,

••.三角形。PQ的面积为3,

^|x|x3=3,解得：x=±2.

当点Q的坐标为（2,0）时，d（P,Q）=|3-2|+|3-0|=4；

当点Q的坐标为（・2,0）时，d（P,Q）=|3-（-2）|+|3-0|=8.

故答案为：4或8.

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了新定义、两点间的距离公式、三角形面积等知识，读懂题

意并熟练运用两点间的距离及两点之间的折线距离公式是解题的关键.

2.（1）见解析；（2）ZCPD=Z«+1800-Z/7,理由见解析；（3）①当P在84延长线

时（点不与点A重合），ZCPD=l80--Z/?-Za；②当〃在80之间时（点/,不与点

R,。重合），ZCPD=Za-1800+Z^.理由见解析

【分析】

（1）过P作PEIIA8,构造同旁内角，利用平行线性质，可得N4PC=113。；

（2）过过。作尸ZM/A。交CD于产，，推出AD//尸产〃8C,根据平行线的性质得出

?BCP180??b,即可得出答案；

（3）画出图形（分两种情况：①点P在84的延长线上，②当尸在B0之间时（点尸不与

点8,。重合）），根据平行线的性质即可得出答案.

【详解】

解：（1）过〃作PE//A6,

AB//CD,

:.PEIIABI/CD,

\?APE邪却”180,ZCPE+ZPCD=180°,

VZE4B=128°,/PCD=119。

ZAPE=52°,/CPE=61。,

.­.z^APC=520+610=1130；

(2)ZCPD=Z6Z+180O-Z/7,理由如下：

如图3,过户作尸尸//AO々C。于产，

VAD//BC,

：.AD//PF//BC,

:.ZADP=/DPF,/BCP=NCPF,

NBCP+/PCE=180°,NPCE=邛,

/.ZBCP=180°-Z/7

又♦;NAOP=Na

\1CPD?DPF彳口/=a+180?2b；

(3)①当尸在成延长线时(点”不与点A重合)，NCPO=180。—NQ-Na：

理由：如图4,过。作尸尸/MO交CQ于产，

AD//BC,

AD//PF//BC,

.\ZADP=ZDPF,NBCP=NCPF,

NBCP+NPCE=180°,4PCE=乙0、

：.NBCP=180。-4,

又丁ZADP=Za,

JCPD-/CPFZDP^-180°NaN£：

②当。在40之间时（点。不与点A,O重合），ZCro=Za-1800+Z/?.

理由：如图5,过P作EF〃A。交C。于广，

AD//I3C,

：.AD//PF//BC,

;.ZADP=/DPF,ABCP=/CPF,

ZBCP+ZPCE=180°,NPCE=,

ZBCP=180°-Z/?,

又丁ZADP=Za

ZCPD=ZDPF-NCPF=Na+-180。.

本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线

构造内错角以及同旁内角.

3.(1)80°；(2)NAKC=g/4PC,理由见解析；(3)NAKC=：N4PC,理由见解析

【分析】

(1)先过P作PEWAB,艰据平行线的性质即可得到NAPE=KBAP,ZCPE=NDCP,再根

据NAPC=AAPE+NCPE=NBAP+N0cp进行计算即可；

(2)过K作KEIM8,根据KEII/A8IIC。，可得N8AK,ZCKE=z2DCK,进而得到

ZAKC=ZAKE+ZCKE=NBAK+ZDCK,同理可得，ZAPC=ZBAP+ZDCP,再根据角平分线

的定义，得出/8AK+NOCK=J/8AP+；NOCP=gQBAP+NDCP)=；/APC,进而得

到NAKC=；/4PC；

(3)过K作KEIIAB,根据KEII4811CD,可得NBAK=匕AKE,ZDCK=NCKE,进而得到

ZAKC=Z.BAK-ZDCK,同理可得，/APC=ZBAP-/DCP,再根据已知得出/84K-

2222

ZDCK=-N84P--NDCP=-ZAPC,进而得到NBAK-ZDCK=-ZAPC.

【详解】

(1)如图1,过P作PEWAB,

■：ABWCD,

/.PEWABWCD,

ZAPE=Z.BAP,ZCPE=NDCP,

：.ZAPC=NAPE+Z.CPE=NBAP+N0cp=600+20°=80°；

(2)ZAKC=^ZAPC.

理由：如图2,过K作KEII48,

,/ABWCD,

KEWABWCD,

/.ZAKE=4BAK,ZCKE=ADCK,

/.ZAKC=Z.AKE+Z.CKE=Z.BAK+/DCK,

过P作PF11AB,

同理可得，ZAPC=NBAP+ADCP,

NBAP与/DCP的角平分线相交于点K,

ZBAK+Z.DCK=ZBAP+^Z.DCP=(NBAP+2DCP)=^Z.APC,

：.ZAKC=^AAPC；

、2

(3)ZAKC=-Z.APC

3

理由：如图3,过K作KEII48,

•.W8IICD,

/.KEIIABWCD,

/.ZBAK=Z.AKE,ZOCK=/CKE,

ZAKC=Z.AKE-ZCKE=NBAK-ZDCK,

过P作PFWAB,

同理可得，NAPC=NBAP-NDCP,

22

ZBAK=-ZBAP,ZDCK=一ZDCP,

33

2222

/.ABAK-Z.DCK=-ABAP--ZDCP=-(zZBAP-ADCP)="APC,

3333

：.Z.AKC=-Z.APC.

3

【点睛】

本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计

算.

4.（1）见解析；（2）当点E在C4的延长线上时，NBED=ND-NB；当点E在4c的延长

线上时，ZBED=Z.BET-Z.DET=Z.B-ZD：（3）'"（"一。

In

【分析】

（1）如图1中，过点E作E7II4B.利用平行线的性质解决问题.

（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在6的延长线上时，如图2-2中，当点£在4?的

延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可.

（3）利用（1）中结论，可得N8MD=NA8M+NCOM,ZBFD=ZABF+Z.CDF,由此解决问

题即可.

【详解】

解：（1）证明：如图1中，过点E作SMB.由平移可得ABIICD,

图1

「A8IIET,ABWCD,

/.ETWCDIIAB,

Z8=ZBET,ZTED=Z.D,

ZBED=Z.BET+Z.DET=Z.B+ND.

(2)如图2-1中，当点E在C4的延长线上时，过点E作“IIAB.

图2-1

AB\lET,ABWCD,

/.ETWCDW48,

Z8=ZBET,ZTED=Z.D,

Z8£D=ZDET-2BETMD-ZB.

如图2-2中，当点E在4c的延长线上时，过点£作£了1148.

ETWCDIIAB.

Z8=ZBET,ZTFD=ZD,

/.ZBED=NBET-Z.DET=Z.B-ZD.

(3)如图，设/48E=/EBM=x,ZCOE=NEDM=y,

BD

A\E/C

F

图2

,「4811CD,

：.Z8MD=ZABM+ACDM,

m=2x+2y,

x+y=^m,

'：ZBFD=/ABF+NCDF,ZABE=nZ.EBF,ZCDF=nZEDF.

w-1n-\72-1zvn-\I

ZBFD=-----x+------y=------(x+v)=x—=.

nn"n'n2In

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是

学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型.

5.(1)ZPAF+ZPBN+ZAPB=360°；(2)①/CPD=/a+/0,理由见解析；②图

见解析，匕CPD=乙。-4a或4CPD=4a—40

【分析】

(1)作PQIIEF,由平行线的性质，即可得到答案：

(2)①过。作正/伏。交C。于E,由平行线的性质，得到Na=NOPE,少=/CPE,

即可得到答案；

②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点〃在延长线时；当P在80之间时；与①

同理，利用平行线的性质，即可求出答案.

【详解】

解:(1)作PQIIEF,如图：

图1

,/EF//MN,

：.EF//MN//PQ,

Z.PAF+ZAPQ=180°,NPBN+ZBPQ=180°,

•「ZAPB=ZAPQ+/BPQ

ZPAF+^PBN+ZAPB=360°；

(2)①NCPD=Na+N0；

理由如卜：如图，

mn

M

A

N

过?作PE//AO交CD于E,

「AD!IBC,

：.AD//PF//RC,

/a=/DPE,40=/CPE,

/.NCPD=ZDPE+4CPE=/a+；

②当点P在44延长线时，如备用图1：

备用图1

,/PEWADW8C,

二NEPC=。,ZEPD=a,

ZCPD=Z/?-Z6Z;

ZEPD=a,ZCPE”,

：./CTO=/a-47.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行

内错角相等，从而得到角的关系.

6.（1）是；（2）ZB=^ACB,证明见解析；（3）ZBAC=40°,AC±AD.

【分析】

（1）要使4?平分/0C,则要求/EAD=NGAD,由平行线的性质可得/B=NE4。，

ZACB=ACAD,则当NACB=N8时，有4D平分N64C；

(2)根据角平分线可得NEAO=NC4D,由平行线的性质可得N8=N£4D,AACB=

ZCAD,则有NACB=A8；

(3)由AULBC,有NAC3=90。，则可求NBAC=40。，由平行线的性质可得47_L4?.

【详解】

解：(1)是，理由如下：

要使AO平分/EAC,

则要求NEAD=Z.CAD,

由平行线的性质可得NB=ZEAD,ZACB=ACAD,

则当N4：B=NB时，有/。平分NEAC;

故答案为：是；

(2)Ze=ZACBt理由如下:

AD平分NEAC,

ZEAD=Z.CAD,

,/ADWBC,

**-N8=NEAD9NACBT=Z.CAD,

/.Z8=NACB.

(3),/AC±BC,

Z4Cfi=90°,

---ZEBF=50°,

Z8AC=40°,

,/ADWBC,

ADJ.AC.

【点睛】

此题考查了角平分线和平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行线的有关性质是解题的关

键.

7.(1)48；(2)28

【分析】

(1)根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三

步求出个位数和十位数即可.

(2)根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三

步求出个位数和十位数即可.

【详解】

解：(1)第一步：•••Vio6o=io,\/ioooooo=ioo,iooo<110592<1000000,

/.10<</l10592<10()»

能确定110592的立方根是个两位数.

第二步：・.・110592的个位数是2,8:512,

•••能确定110592的立方根的个位数是8.

第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110,

而病vWTUv姮5，则4<汨^<5，40<<Z110592<50»

由此能确定110592的立方根的十位数是4,因此110592的立方根是48：

(2)第一步：•••拉000=10,凶000000=100,1(X)0<21952<1(XXXXX),

.\10<^21952<100»

,能确定21952的立方根是个两位数.

第二步：•.•21952的个位数是2,6=512,

二•能确定21952的立方根的个位数是8.

第三步：如果划去219S2后面的三位952得到数21,

而施〈际〈炳，则2<4听<3,可得20<V21952<30,

由此能确定21952的立方根的十位数是2,因此21952的立方根是28.

即"21952=28，

故答案为：28.

【点睛】

本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位

数是解题的关键，有一定难度.

8.(1)K(342)=9,K(658)=19；(2)见解析；(3)28

【分析】

(1)根据K的定义，可以直接计算得出；

(2)设x=abc，得到新口勺三个数分别是：acb,cba,bac»这三个新三位数的和为

100(a+b+c)+\0(a+b+c)+(a+b+c)=11\(a+b+c),可以得至ij：K(x)=a+b+c；

(3)根据(2)中的结论，猜想：K(x)+K(y)=28.

【详解】

解：(1)己知〃=342,所以新的三个数分别是：324,243,432,

这三个新三位数的和为324+243+342=999,

K(342)=9；

同样〃=658,所以新的三个数分别是：685,568,856,

这三个新三位数的和为685+568+856=2109,

/.K(658)=I9.

(2)设x=abcr得到新的三个数分别是:acb,cba,bac»

这三个新三位数的和为100(a+"c)+10(a+〃+c)+(a+"c)=lllS+"c),

可得到：K(x)=a+〃+c,即K(x)等于x的各数位上的数字之和.

(3)设x=abc,y=tnnp,由(2)的结论可以得到:

K(x)+K(y)=(a+h+c)+(in+n+P),

•.•x+y=1000,

.­.100(。+m)+1OS+〃)+(c+p)=1000,

根据三位数的特点，可知必然有：

c+p=\0,b+n=9,a+m=9,

AT(.v)+K(y)=(a+〃+c)+(/〃+〃+p)=28,

故答案是：28.

【点睛】

此题考查了多位数的数字特征，每个数字是10以内的自然数且不为0,解题的关键是：结

合新定义，可以计算出问题的解，注意把握每个数字都会出现一次的特点，区别数字与多

为数的不同.

9.(1)①5：②—2：12)1；(3)16.

【分析】

⑴根据题中定义代入即可得出：

(2)根据x=2,讨论3和阳的两种大小关系，进行计算；

⑶先判定A、B的大小关系，再进行求解.

【详解】

(1)根据题意：；2>-1,

2※㈠)=2x2_(-l)=5,

-4<-3,

2

(-4)※(-3)=Y——x(-3)=-4+2=-2.

3

(2)x=2,

3※m=—l+3x2=5,

①若3>〃z,

则2x3-〃7=5,解得"7=1,

②若3<，〃，

2

则3、xm=5,解得m=-3(不符合题意)，

m=\.

(3)人-4=(-/+4工2一工+1)一(一工3+642一工+2)=-2/一1<0,

AcB,

29

B=A——B=—x^+4x~—x+1——(一/+6.v--x+2)=—3,

得d+x-8=0,

2x3+2.r=2x8=16.

【点睛】

本题考查r一种新运算，读懂题意掌握新运算并能止确化简是解题的关键.

10.(1)一6，五;(2)①图见解析，舟②见解析

【分析】

(1)根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数

(2)根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；

(3)从原点开始画一个长是2,高是1的长方形，对角线长即是。，再用圆规以这个长度

画弧，交数轴于点M,再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N.

【详解】

(1)由图1知，小正方形的对角线长是0,

.•.图2中点A表示的数是一夜，点B表示的数是也，

故答案是：-&,&;

(2)①氏方形的面积是5,拼成的正方形的面积也应该是5,

」•正方形的边长是石，

如图所示：

、

、

图3图4

故答案是：逐；

②如图所示：

-4-3-2-IN012M34

【点睛】

本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题FI中给出的解题方法进行求

解.

11.(1)2、3、4、5；C2)第n个等式为1+3+5+7+...+(2n+l)=n2；

(3)1.00801Gxl0fi.

【分析】

⑴根据从1开始连续n各奇数的和等于奇数的个数的平方即可得到.

⑵根据规律写出即可.

⑶先提取符号，再用规律解题.

【详解】

解：(1)1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42

1+3+5+7+9=52

故答案为：2、3、4、5：

(2)第n个等式为1+3+5+7+...+(2n+l)=(n+l)2

(3)原式=-(1+3+5+7+9+...+2019)

=-10102

=-1.0201X106.

【点睛】

本题考查数字变化规律，解题的关键是找到第一个的规律，然后加以运用即可.

12.⑴L4T（2）①罂；②壬⑶需

【分析】

（1）根据题目中的式子可以写出第n个式子的结果；

（2）①根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；

②根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；

（3）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值.

【详解】

解：（1）由题目中的式子可得，

1