【高考数学】比较大小的方法总结

比较大小的方法总结

高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将黑函数、

指数函数、又擞函数、三角函数等混在一起,进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和

几何两方面加以探寻,即利用函数的性质及图象解答本专题以T典型例题来说明此

类问题的方法与技巧.

【方法归纳】

(-)常用技巧和方法

1、如何快速判断对数的符号？八字真言”同区间正，异区间负「容我慢慢道来：

判断对数的符号，关键看底数和真数,区间分为(0,1)和(1，18)

(1)如果底数和真数均在(0,1)中，或者均在(L+8)中，那么对数的值为正数

(2)如果底数和真数一个在(0,1)中,一个在(1,+8)中,那么对数的值为负数

例如：log3().5<0,l0go.50・3>0/脸3>0等

2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数(如0,1)的大小关系，一作图，自明

了

3、比较大小的两个理念：

(1)求同存异：如果两个指数(或对数)的底数相同，则可通过真数的大小与指对数

函数的单调性，判断出指数(或对数)的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对

象转化为某一部分相同的情况

”如：产，比普甲可进彳产专化,尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同

3；二（34）二4：=（43）工,5；=（56）；,从而只需比较底数的大小即可

（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1,0,1”对所比较的数进行

划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个

击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23,可

知1=log22<log23<log24=2,进而可估计log2?是一个1点几的数，从而便于比较

4、常用的指对数变换公式：

「丫

M

（2）logM+logN=logMNlogM-logN=log

aaaaaa

（3）log户"=〃log#（〃>0,"LN〉0）

（4）换底公b」°g力

式：log”一

"log,。

____1

进而有两个推论：log/=I（令c=b）logNn=logN

log/m

（二）利用函数单调性比较大小

1、函数单调性的作用：/（天）在[。,可单调递增，则

VAP出e[a,b],玉</<■>f（内）<f（9）

（在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）

2、导数运算法则：

(1)(/(x)g(x))=/(x)g(x)+f(x)g(x)

(2)|"a)|L/(x)gO/(x)g(x)

()〔g("TOO

3、常见描述单调性的形式

(1)导数形式：

/'(x)>0=>/(%)单调递增；f(x)<0=>/(x)单调递减

(2)定义形式：/(%)-/(4)>0或(X—x)「/。)—/Q)1〉0:

x-x'12).12J

12

表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调

递减

4、技巧与方法：

(1)此类问题往往条件比较零散,不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论

结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接

通常可以确定入手点

(2)在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备

乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整

(3)在比较大小时，通常可利用函数性质(对称性，周期性)将自变量放入至同一单

调区间中进行比较

(三)数形结合比较大小

1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越

近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的

大小关系

（1）若/"）关于工=。轴对称,且（。,+8）单调增,则图象可能以下三种情况，可发现

一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小

⑵若/Q）关于工=。轴对称，且（。，+8）单调减，则图象可能以下三种情况，可发现

一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大

2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数

的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余因数的图象作在同一坐标系下，观察交点的

位置即可判断出自变量的大小.

【经典例题】

例1.【2019全国I卷理数】已知”1*02毛=2%。=0.203,则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

02

【解析】。=log20.2<Iog2\=0,b=2>2°=1,

()<c=().203<0.20=1,即0<c<1,

贝(Ja<c<b.

故选B.

例2.【2019全国II卷理数】若a>b,则()

A.\n(a-b)>0B.3a<3b

C.苏43>()D.|a||“

【答案】c

【解析】取。=2"=1,满足，但ln(a-b)=0，则A错排除A;

由9=32>3=3，知B错，排除B；

取4=1力=-2，满足”人，但,则D错，排除D;

因为幕函数丁丁是增函数,Q>b,所以,即〃一加乂)，c正确.

故选C.

例3.【2019全国III卷理数】设/(A)是定义域为R的偶函数,且在(O,r)单调递减,则

1_31

2

A./(10g34)>/(2)>/(23)

1_2_3

B./(10g34)>/(23)>/(22)

_3-21

c./(22)>f(23)>f(10g34)

_2_31

D./(23)>/(22)>/(Iog34)

【答案】C

【解析】.・"。)是定义域为R的偶函数，・.・/。唉：)=/(1唱4).

4

，323

•••log4>log3=1,1=2°>2T>2-2,「.log4>2-多>2”,

333

又/(x)在(0,+8)上单调递减，

(_2、(_八

A/(log34)</|23V/22I,

kJV7

(-^"(n

即力22I〉力23|>7|10g3I

IJI>I4>

故选c.

例4【2017天津】已知奇函数在R上是增函数,g(x)=mx)若a=g(-log25.1),

"=g(2"),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()

(A)a<b<c(B)c<b<a(C)b<a<c(D)b<c<a

【答案】C

【解析】因为/(X)是奇函数且在R上是增函数，所以在x>0时，/(x)〉0,

从而g(x)=xf(x)是R上的偶函数,且在[0,+O上是增函数,

«=.?(-Iog25.1)=g(log25.1),

2°隈2，又4<5.1<8，贝l」2<log“<3，所以即0<2°隈log£.1<3,

g(208)<g(log'.l)<g(3),

所以/?<a<c,故选C.

例5.[2017山东】若a>b>0,且ab=l,则下列不等式成立的是

.1bb/1

A〃+石<亍_<kg(〃+/?)B._<log?(〃+力)<a)

C.tz+J.<log(a+b)<卜+〃)<4+J.<h

D.

b22“~bT

【答案】B

【解析】因为。＞人＞0,且曲=1,

所以。＞1,0＜〃＜1,二."

<l,log(6r4-/?)>log2ab=\,

2"22

用111

2">。+>a+Z?no+>log2(6z+Z?)，所以选B.

bb，—

例6.【2019天津理数】已知〃=1(&2,h=log().().2,c=0.5°2,贝儿也c的大小关系为

()

A.a<c<bB.a<b<c

C.h<c<aD,c<a<h

【答案】A

【解析】因为"1叫2<10&5=；,

/?=k)go.50・2>logo.50,25=2,

05<c=0.5°2<0.5°,即।1,

2

所以。<。<匕.

故选A.

【最新模拟】

1-（2020福建局）二（理））设Q=e，，b=4e~2,c=2e~l,3J；,贝！J。,b,Gd的大

小关系为（）

A.c>b>d>aB.c>d>a>b

C.c>h>a>dD.c>d>b>a.

【答案】B

【解析】

216从=16244/d2=9e23

a二=4，4,c=2=4，4X由于Ga2.7,ex7.39,e-20.09,

eeee

所以c>d>a>h,故选：B.

2.(202().湖南高三学业考试)1()名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,

14,10,15,17,17,16,14,12.设其平均数为〃，中位数为b，众数为c,则有(

A.a>b>cB.c>b>a

C.0a>hD.b>c>a

【答案】B

【解析】—(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7,

10

中位数为。=1(15+15)=15，众数为曰7.故选：B.

2

3.（2020.四川省泸县第二中学高三月考（文））已知〃=1限6,^=log510,r=log714,

则〃，q,一的大小关系为（）

Aq>P>rB.P>r>qC.P>q>rD.r>q>p

【答案】C

【解析】依题意得〃=111嗝2,<7=l+log52,r=l+log72,2,

所以

4.（2020.四川省泸县第四中学高三月考（理））［(]“的<6/2<。3”

是数列｛斯｝是递增数列的

A.充分而不必要条件B.必

C.充分必要条件丁.既不充

【答案】C

昂T

海析】a<a<a=>a或©＜（），所以嬲Ll｛。｝是递增数列,

如>1()<”1n

若数列⑸｝曷，贝ar,因此％＜«2＜。3”是数列｛斯｝是递增数列的充

分必要2

5.(202尊高三月考（文））设”匹0182019，/?=1°§20192018,

b,。的大小关系是（）.

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】C

【解析】

因为』吗。182018>”吗。18V2019>叫“8V2018=

________11

b=^2018<Io§2oi942019=亍，。=201g2oi9>2018°=11

故本题选C.

6.（2020.北京八十中高三开学考试）设"4。」，b=

A.a>h>cB.h>

C.a>c>bD.b>

【答案】C

【解析】a=4。」>1,/?=logO,1<0,0<*0.5"“<1,X>b，故选C.

7.(2020.河南高三月考*=4.

。目娱纥；，

c)

4'

A.a>b>cc>b

C.h>c>a.c>a>b

【答案】

4

【解析】，b=lo8<log51=0,()<c」j1)<

4214

所以。>c>b,故选：B.

8.（2020.广东高三月考（文））已知。二唾38,b=0.25-°8,c=次，则（)

A.a<h<cB.b<a<c

C.b<c<aD.a<c<h

【答案】D

-0808,6,5

［解析］>og38<2,().25-=4-=2->21

b.故选：D.

9（202（）.新兴县第一中学高三期末（理））函数/。）公墓示，则下

列结论成立的是（）

B./?>0,c>0

D./?<0,c<0

的图象与）'轴交于M，且点M的纵坐标为正，Jy=，〉0，故

【解析】"（x

b>0,

“\——x+b

定义域为"Ixw-C其函数图象间断的横坐标为正，.・・-。>°，故，、<0.

（x+c）

故选：c

10.（2020•云南高三（理））已知"1,不=log2r,y=log31,z=log5z,则

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

【答案】D

【解析】由题意2^=21og2，=log2J3^=31og3/=log33/r

5z=5log5r=log55r,

।i।।

又2=22=86，33=33=96，

iiii1111

易知22<33，55=25］。，22=32］。，^55<22，

/.1'1,又r>l,・・・3y<2x<5z,故选D.

1<55<22<33

I1.（2020.天水市第一中学高三月考（理））定义在R上的函数/（x）的图象是连续不

断的曲线，且/（x）=/（r）/x,当工>。时，/（工）>/卜）恒成立，则下列判断一定正

确的是（）

A./〃2）</（一3）B./（2）<</（-3）

C.^/（-2）>/（3）D./（-2）<</（3）

【答案】B

【解析】构造函数g(x)=，因为/3=/(r)/\

所以/(t)二冷，则g(T)=g=皿=g(x)，

v7e~xe~xd

所以g(D为偶数，当x>o时，g，(x)=r(')「/G)>o,

e

所以g(x)在(o，+@上单调递增，所以有g(3)>g(2),贝麻(-3)>g(2),即“一3)>

e一？e2'

即1/(一3)>/(2).

P.(2020海南中学高三月考)已知函数/0)=In(x2+l-.r)，设〃=/(log.QZ),

b=f^2),c=/(-3L,)，则()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【解析】:/(x)=ln(x2+]-x\A/(x)=ln(f+lr)=ln1,

、)d+1+尢

/./(-x)=ln(x2+l+x)

:当"0时，f+]+x〉]；当工<0时，o<f+]+x<],

.♦.当x>0时，/(x)=|ln(Vx24-l-x)=-ln(7x2+1-^)=ln(Vx2+1+x),

f(-x)=ln(Vx2+1+；

当x<0时/(x)=ln(Jf+i一无)=ln(+1-x);

/(-x)=-ln(Vx2+1+x)=ln(7^v2+1-幻.

，/⑴=/(­),・・・函数/(x)是偶函数，

・・.当尢>0时，易得f\x)=Im：£+1+工)为增函数

.,.«=/(log30.2)=/(log35),c=/(—3口)=/(3口),

21J

V1<log35<2,0<3~°-<1,3>3

1，<,2

A/(3)>/(log35)>/(3--)一・・c〉〃〉b,故选D.

B(2020.黑龙江实验