《平面向量的数量积》考点讲解复习与同步训练

《6.2.2平面向量的数量积》考点讲解

【思维导图】

已知两个非零向量S与E,我们把数量Ia||bIcosG叫做：与U的数量枳(或内枳)

概念记作a•b,即a・U=|a||U|・cos0,其中。是a与U的夹角

规定：零向量与任一向量的数量积为零.

已知两个非零向量a和b,如图所示，作万7=a,OB

则乙108=8(00工如180。)叫做向量a与b的夹角，记作(；，b)

夹角。的范围是［0，

角,范围/当，=。时，两向量U共线且同向；孕=产，两向量：，6相互垂直，记作a_Lb

\当6=ir时，两向量；，U共线但反向.

\易错点，只有两个向量的起点重合时对应的角才是两个向量的夹角

____________一个向量:在另一个向量方向上的投账

几何意义K设，是1B的夹角，则16叫做向量6在向量；的方向上的投影

I向cose叫做向量；在向量6的方向上的投影.______________________

⑴交物a•b=b•a

⑵数乘结合律：(4办・b=><(a・b)=a・(4b).

算L(3)分配律：G+6)・A=；・1+6•乙向量数量枳的运算不满足乘法结合律，

即&・B)・A不一定等于;•(b•c),这是由于(S・U)・A表示一个与A共线的向量，

1a*(b・A)表示一个与，共线的向量，而［与；不一定共战.

设；，6为两个非零向后，；是与向的总位向成.6是；与；的夹角，M

(l)e■■=•■»=!a|COS0

(2)a_ZbOab=0

———I(3)当；与b闷向时，；石=|；|曲：当；与6反向时，；b=-|i||b|

特别地,a-«=|a|JrfJ|i|=7n

(4Ko$0=

⑴；•汕

【常见考法】

考法一向量的数量积

【例1】（1）己知|£|=5,曲=4,2与B的夹角为60。，则24=_______.

（2）已知△A8C是边长为6的正三角形，求A耳.4。=_

（3）边长为2的菱形ABCD中，NBAD=60°,£、尸分别为8C,CO的中点，则通.丽=

【一隅三反】

1.在3c中，AB=5,BC=2,ZB=60°,贝U丽.能的值为（）

A.5GB.5C.一5GD.-5

2.若同=2,园=3,则小的最大值为.

3.平行四边形4BCD中，AB=4,4。=20，^BAD=—,E是线段CD的中点，

4

则福.正二（）

A.0B.2C.41）.4立

4.在边长为1的等边三角形ABC中，M是边BC的中点，N是线段8W的中点，则

AMAN=（）

A石R-（'I［）1_uG

A•----15ev•11J•—+-----

4424

()《再

麻即绻毡即丁整+?再回亚9再回向，(,+?)丁叩，［=%%=M言陋9v再回祈・z

bX£PZ力I,V

,()限绻祥即丁回R9再回丑g—9再闻晒'乙二夕="目'。09¥耳¥明夕'？再回好心-I

JJ

【哲三制一】

££££

五p"p英…T,v

()疏绻用即丁9+。理0向中-。回=|”4弯回可黄伏9'。脸⑶

变一XI牙P寸飞5?-'V

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《绻砒问回斤g型m’。的球以¥明9写叩”二什％=M,回||珀⑴葭解】

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【哲三励一】

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-'G—>3-R—%

V刀92721

()心彰¥即呜9+2再回晒1花=,一目=,+。依粱92再回家非力典圣⑶

zz

--*(1—PI-WI'V

()国即纽老出年明

9尊削写？再「叫前，£=„=忖曰<=('-")♦?都燃’M2再回皿山闿日(I)【z解】

明年珊再回二率M

3.设向量2,5满足|Z|=2,|石|=1,且6_L3+5）,则向量方在向量2+涕上的投影向

量为（）

A.eB.-eC.--eD.-e

22

4.设单位向量［、［的夹角为年，。=4+2匕，b=2e［-3e2,则分在2方向上的投影

为（）

A.一巫B.-yfjC.6D.巫

22

考法四向量的模长

【例4】已知同=1,1卜3,且向量［与坂的夹角为6（）。，则忸一册（）

A.币B.3C.VHD.M

【一隅三反】

1.已知同=2,W=l,2与5的夹角为g，那么卜一叫等于

2.已知［、坂满足：,=3,忖=2,a+万=4,则〃一万=________.

3.己知同=1,忖=2,则|3+可+产一砸勺最大值等于

4.若平面向量a,〃,c,d满足|。一〃|二l,|/?-c|=2,1c-d|=3,（。-c）•（/?-〃）=4,则

\a-d\=.

考法五平面向量运算的综合运用

【例5-1】已知平而向量£,/；,",却在下列命题中:①"为单位向量,且alIe＞则2=±忖"：

②:〃）存在唯一的实数使得5=乂；③若;且屋6,则H：④Z与

〃共线，B与2共线，则"与2共线；⑤［7£卜£?.正确命题的序号是（）

A.0@⑤B.②③@C.①⑤D.②③

【例5-2】如图所示，半圆的直径AB=6,。为圆心，C为半圆上不同于A、4的任意一

点，若p为半径oc上的动点，则的最小值为()

9

A.——B.4C.-51).5

2

【一隅三反】

1.已知非零平面向量G，B，C,下列结论中正确的是()

(1)若少心=力守,则乙=几⑵若不+5卜同+归,则出区

(3)若根+6=1-5,则(4)若R+5)♦，-5)=0,则万=6或4=一6

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)I).(2)(3)(4)

2.已知两个非零向量日，勺夹角为,，且,一同二2,则泊？的取值范围是()

A.bg,0)B.[—2,0)C.——,0D.[—1,0)

3.已知向量,满足|川=1,51=2,若对任意模为2的向量入均有区2",

则向量的夹角的取值范困是()

nTC2不

A.B.C.D.

63°'T

4.设非零向量海的夹角为氏若忖=2阿，且不等式内+电归+研对任意。恒成立,

则实数力的取值范围为()

A.[-1,3]B.[-1,5]C.[-7,3]D.[5,7]

《6.2.2平面向量的数量积(精讲)》考点讲解答案解析

考法一向量的数量积

【例1】(1)已知|—|=5,历|=4,1与I的夹角为60。，则

(2)已知△A8C是边长为6的正三角形，求福.而，

(3)边长为2的菱形48co中，440=60°,E、F分别为BC,的中点，则AE.EF=

【答案】(1)10(2)-18(3)--

2

【解析】(1)a-b=^a•b-cos60=5x4xg=10.故答案为：io.

如图△ABC是边长为6的正三角形，所以|而|=|月4=6,448C=60，

所以八58<7=卜8卜|6。卜8$(18060)=6x6x(-;=-18,故答案为：一18

(3)由题意画出示意图，如图，

则福•丽=(而+时•回+可「而+；砌•(；而彳呵

-lx4=-l

=—AD+—ABAD——AB=—x4+—x2x2xcos60'

4424422

【一隅三反】

1.在8c’中,A«=3,BC=2,N6=6(『，则而•配的值为()

A.5x/3B.5C.-5x/3D.-5

【答案】D

【解析】•.•A3=5,BC=2,NB=60。，

\AB1BC5仓必cos(180-60)=10?1g=-5.

故选:D.

2.若同=2,忖=3,则IB的最大值为.

【答案】6

【解析】£・〃=W・W-COS0=6COS0,所以3・〃)2=6.故答案为：6

3.平行四边形43CQ中，A4=4，AO=2应，NBAD=±E是线段CO的中点，

4

则通•/=()

A.0B.2C.4I).4夜

【答案】C

【解析】如图，根据题意：AE=AD^ABtAC=AD+AB^且AB=4，AZ)=2&，

AE>AC=(Ab+-ABHAb+AB)=Ab2+-AB2+-AB>Ab=S^-x\6+-x4x242x(--)=4

222222

.故选：C.

4.在边长为1的等边三角形ABC中，M是边的中点，N是线段的中点，则

AMAN=()

A石R-r11)14■百

4424

【答案】B

【解析】因为在边长为1的等边三角形A5c中，M是边8c的中点，N是线段的中

点，

uuuIziiuuUUU\_1/_\1-I/_一\3-1一

所以AM=5（A8+AC）,4N=5（4B+AM）=/A8+1（45+AC）="48+IAC,

因此丽.丽=g（丽+丽+；恁盥研+福恁+三珂）

=^f,^+|^^||^c|cos60+；）=].故选：B.

考法二向量的夹角

【例2】（1）已知平面向量Z,B,满足7（23—+5,且问=咽=3,则向量-与向量坂

的夹角余弦值为（）

A.1B.~1C.—D.

22

⑵若两个非零向量4，5满足K+同=|"司=2忖，则向量日+B与0的夹角为（）

A.工B."C.红D.二

3366

【答案】（1）C（2）D

【解析】⑴•••平面向量—满足7仅£叫=5,且同=咽=3,

5=2a~-|«||^|cos<«,/?>,解得cos<£,B>=^.故选：，

（2）•・•非零向量何5满足卜+同=卜一同=2忖,

・•・平方得,+巧小一5/，即同2十向2+2无5=忖|2+同2-2无5,

则a石=0,由1+同=2问,

平方得卜『+同2+2/5=41w,得间2=3时，即同=6同则,+同=2问,

（ci+万）.%=卜F+无5=3忸『,

Ca+b）^a_3|/?|:_>/3

则向量万+方与。的夹角的余弦信cos0

,十斗|〃|2忖/42

'：^<0<71,：.0=—.,

6

故选D.

【一隅三反】

i.已知同=W=2,(二+町(.询=-2,则一与5的夹角为________.

【答案】60'

【解析】根据已知条件(1+2b)•伍一〃)=-2,

去括号得：|«|2+a-^-2|/Ji2=4+2x2xcos/9-2x4=-2.

所以cos0=5，。«0，可，.•.8=60故答案为：60

2.若力,不是夹角为60的两个单位向量，则a=24+号与万=-3号+2心的夹角为

【答案】120°

［解析］,/q•€2=|et|p2pcos60=；

:.ab=［le\+62>(—3臼+2心)=-6e；+e\-e2+2区=-6+；+2=—(，

一-2/一—\2-2一-—21

\a\~=a=\2e\+eij=4^i+4^i-ei+ei=4+4x—+1=7,

71~*2/­•\2-2-•—•-•2I

\b\~=b=(-3ei+2e2)=9e\-12e\•ei+4ei=9-12x—+4=7.

_7

设向量「与向量7的夹角为。则cc”)-7B—_]_1.又0凝%180\所以

\a\\b\V7xV72

〃=120°

3.若两个非零向量一,行满足|z+4=W=W，则向量B与6的夹角是.

【答案】当

6

【解析】因为两个非零向量1G满足,+)=同明，所以时+,=同，即

片+2£石+7=L，所以2标nJ，|[耳=打牙=庐菽下=6问，

R-b^*b-U-b=—|^

设向量坂与£—万的夹角为。，则cos。_2问=_2

a-b»b>/3|d|-b2

因为6w[0,/r],所以。=-二-故答案为：—

考法三向量的投影

【例3】⑴已知向量同=2,W=l,且£与右的夹角为45。，则-在坂方向上的投影为

()

A.—\/2B.5/2C.出D.-x/3

(2)已知G,B为单位向量，根+日=闺"一方|，则4在打斗5上的投影为()

IR2#「瓜n2>/2

3333

【答案】(1)B(2)C

【解析】⑴因为向量同=2,忖=1,且々与B的夹角为45。所以

|G|cos<万,6>=

西=-1

故选：B

(2)因为2,白为单位向量，所以向=可=1,

又,+司=亚W，所以他+盯=2m-5『

所以2?+2值・G+G2=212—4日・/；+涕2，即1+2日・6+1=2—4万・8+2,

所以无6=；,则a+b

3

所以日在1+5上的投影为故选：C.

十可一南一F

【一隅三反】

1.已知向量3/的夹用为60,且自=收=2,则向量3-5在向量2万向上的投影为().

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】由题意，==忖一卜,4cos60=4-2x2x；=2,

（a-bYa9

所以向量3-5在向量"方向上的投影为1~q=5=1•故选：丸

a2

2.设向量词满足同=2,忖=1,且♦，（£+：）,则向量）在向量方+2石上的投影的数

量为（）

A.1B.—1C.-----D.—

22

【答案】D

【解析】•.i~L（a+B）,,.•加（£+9=7五+另2=0,.•.Z%=_》2=_].

:.b^ci+2b）=ab+2b~=1,a+2b=yla~-^4b~+4a-b=2>

h(a+2h)1

•••向量行在向量>+2坂上的投影的数量为—P-----丁-=—.故选：【).

\a+2b\2

3.设向量Z不满足|Z|=2,出|=1,且6_1_（。+6）,则向量B在向量£+2石上的投影向

量为()

_1_1_

A.eB.一0C.—eD.—e

22

【答案】D

'：bL(a+b),：.h(a+b)=ha+b=0^：.ab=-1-

：.b(a+2b)=ba+21/=b\a+2b\=\la~+4b2+4ab=2-

设与£+〃；方向相同的单位向量为3，

向量B和向量〃+2/；的夹角为e，

则向量B在向量。+2b上的投影向量为

।r।.r,",(a+2b)-h(a+2b)-1-

bcosOe=\b\■————e=,p=_p故选:D.

MHa+2回■|£+2向2

4.设单位向量q、/的夹角为7，a=q+〃2，5=2q—3%，则已在7方向上的投影

为（)

3G3G

B.-73C.VJ

~2~F

【答案】A

ITU-2%1

【解析】依题意得nlxlxcos—=-一，

32

ratry/iriinnir

Jie?1+2^21+4e?+4^-e2=

rrzirir,ITir、ir,ir2irir9

a/?=(q+2e2>(2巧一3e2)=2q-6e?+et-e2=——,

rr£

因此♦在£方向上的投影为q=12=_些，故选A.

HG2

考法四向量的模长

【例4】已知园=1,忖=3,且向量-与否的夹角为60。，则悭,=<)

A.V?B.3C.yf\\D.M

【答案】A

【解析】因为忖=1,/卜3,£与行的夹角为60°，

所以2。一,=4a-4ab+b=4-6+9=7,则2a—石=J7.故选：A.

【一隅三反】

1.已知同=2,同=1,M与5的夹角为g，那么,一叫等于

【答案】26

【解析】•/(«-4^)2=«2-8J-^+16^2=|«|2-81«|•|^|cosy+161^|2=4-8+16=12,

:.\a-4b\=243.

2.已知£、/；满足：,=3,忖=2,a+0=4,贝ija-B=______.

【答案】710

【解析】卜+6「=同2+时+2无5=16,因为卜=3,W=2,所以=

所以*邛=同+W—2£石=9+4-2、尹10,可得口—6卜加，故答案为：710.

3.已知同=1,忖=2,则a+6+的最大值等于

【答案】2石

【解析】因为2=1,h=2,所以

-•—2—r

a+b+a-b=2,0+忖1=2后

a+b+a-b<2

2

当且仅当它+同=*司,即Gib时取等号，

4.若平面向量2DZ满足|£-3|=1,|J-"|=2,|"-Z|=3,（£-Z）（5-7）=4,则

\a-d\=________.

【答案】历

【解析】因为伍一1）・小一2）=4,所以［（不一方）+（方-—@+k一［）］=4,

所以（日一§）•（/，-「）+（日-5）•（乙_［）+（/）—3）+（5-乙）•（3-7）=4,

因为忸一目=2,所以（方一，2=4,

所以（1_5）.（5_4+（4_5卜卜_1）+（5_,.卜_,7）=0,

所以d-d==yj^d-b+b-c+c-dj

=Jl+4+9+2xO=JTJ.故答案为:V14

考法五平面向量运算的综合运用

【例5-1】已知平面向量£，B，2，&在卜列命题中：①）为单位向量，且凉/&则2=±|*：

②存在唯一的实数4cA，使得5=4。；③若=/?.c且0，则a=c；④。与

坂共线，坂与W共线，则£与2共线：⑤|>4=同正确命题的序号是（）

A.①©©B.②③④C.①⑤D.②③

【答案】C

【解析】①因为"为单位向量，且所以占=±",则£=±£2,故①正确；

②着a=6,满足a!1b，但不能推出存在唯一■的实数义£R,使得〃=4a，故②错误：

③向量的数量积运算不满足消去律，故③错误；

④若5=6,则々与"不一定共线，故④错误；

⑤由于7=73,所以卜同［故⑤正确.故选：a

【例5-2】如图所示，半圆的直径AB=6,。为圆心，C为半圆上不同于A、4的任意一

点，若p为半径oc上的动点，贝的最小值为()

9

A.——B.4C.-5D.5

2

【答案】A

【解析】因为点。是线段A8的中点，所以向量西+方=2万，

所以(而+方)•正=2用•无，

又因为向量Q0,PC1方向相反，

所以2Po.PC=-2闸PC=-2|叫(6一时|)二_2(6同一阕)

=2(|用卜3)2-"|2一"|.故选：A.

【一隅三反】

1.已知非零平面向量M,B，c,下列结论中正确的是()

(1)若"=6々，则5=5；⑵若卜+5卜同+同，则司/5

(3)若卜+5=万一可，则⑷若R+4(万-5)=0,则d=B或a=

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(2)(3)(4)

【答案】B

【解析】已知非零平面向量第小

（1）若n=则仅一B）N=O,所以万=5或（G—即（1）错；

（2）若卜+5卜同+W，则日与B同向，所以山区，即⑵正确：

⑶若卜+可=|万一），则时+麻+2无5=同2+际-215,所以“石=0，则口_1弓；

即（3）正确；

（4）若伍+孙伍—方）=0,则时一1『=0,所以同=问，不能得出向量共线，故（4）

错：

故选：B.

2.已知两个非零向量后，6的夹角为与，且,一同二2,则密的取值范围是（）

A.bg'。）B.[—2,0）C.——,0D.[—1,0）

【答案】C

【解析】因为[一坂=2,所以7_2£.3+4=4,

-2——乙兀-2

所以。-2a-hcos——+b=4,即停+|种+怀=4,

由基本不等式的性质可知，忖2+忸『..2忖・忸

.­.（）<l«|-pL,所以菽=Zi.以光耳=一;3•石w—；,0.故选：c.

33-2）

3.已知向量。石，满足|引=1,回=2,若对任意模为2的向量人均有|。+出1区26,

则向量色5的夹角的取值范围是（）

【答案】B

【解析】由团1=1,\b\=2,若对任意模为2的向量人均有他1|+出£区26

可得：|（1+5）々卜[3+6）|•同工忸•日+忖刀卜2才可得:|5+可・2£2万，

a+b<V7

平方得到求+加+2万石47,^ab<\

万•〃=同cosaWl,.tcosaWa，，wWaW乃故选：B

4.设非零向量幅的夹角为氏若同二2忖，且不等式悔+电归+幽对任意。恒成立,

则实数义的取值范围为（）

A.[-1,3]B.[-1,5]C.[-7,3]D.[5,7]

【答案】A

【解析】由题意，非零向量3石的夹角为〃，且忖=2田，

则a-B=|cos^=2|/?cos。，

不等式悭+卒.+用对任意"恒成立，

所以（2+&2之（£+义垃2,即旬2+4小5+加之东+2所.区+所以，

整理得（13-才）+（8-42）85。20恒成立,

13—Z"+8—42N0-7<Z<3

因为cos。e[-U]，所以•即，,可得一14义43,

13-Z2-8+42>0-1<2<5

即实数义的取值范围为[-1,3].故选：A.

（6.2.2平面向量的数量积（精练）》同步练习

【题组一向量的数量积】

1.己知等边8c的边长为2,若B（j=3B34/5=。。，则丽.荏等于（)

1010

A.—B.——C.21).-2

33

UUUUUU1

2.在AABC中，。为线段BC的中点，AD=],BC=3,则ABAC()

15

A.——B.——C.3D.4

34

3.在△?18c中，AB=2x/2.AC;而,G为AABC的重心，则.册=

4.如图，在△A3C中，。是BC的中点，E、F是AO上的两个三等分点84・C4=5,

5.在等腰R[△A3C中»斜边BC=y/2,»AB=c，BC=a»CA=b»那么a・b+b•c+c•a=

6.如图，在矩形ABC。中，AB=五,RC=2,点E为BC的中点,点尸在边C。上,

若丽•府:=夜，则亚・乔的值是.

7.已知两个单位向量G,5的夹角为12（）。，1=仃+（，-1）5.若=则实数f=

8.已知非零向量—,[满足4”?则实数/的

值为.

【题组二向量的夹角】

1.已知非零向量7，b，若|2|二&|用，且Z_LQ-25）,则—与B的夹角为（）

2.已知26,1为单位向量，且满足3〃+旃+71=0，3与万的夹角为§，则实数4二

3.已知平面向满足a=2词=J5,忖=1,且（a-c）•伍一c）=5,a-b^a+b

夹角余弦值的最小值等于________.

4.已知向量£,分满足忖=2,恸=1,a+2b=卜一5.

（1）求［在6上的投影：

（2）求£与>2方夹角的余弦值.

5.已知平面向量5,同=2,|.=1,且2与5的夹角为

（1）求力/；⑵求卜+2小（3）若。+2坂与2"4（&R）垂直，求4的值.

6.已知向量〃,5满足|a|二|B|=l,|攵a+二G|a-k/”（k>0«£R）

（1）若Z//B，求实数z的值；（2）求向量£与B夹角的最大值.

7.已知向量q，6,且闾=同=1,G与s的夹角为1.〃z=2q+6，n=3ei-2e2.

（1）求证：（2冢-p）_L不:（2）若同咽,求义的值：

（3）若石J.G，求4的值；（4）若而与♦的夹角为与，求义的值.

【题组三向量的投影】

1.若向量，与万满足m+5）_L〃，且同=1,W=2,则向量Z在五方向上的投影为（）

।向

A.JjB.——C.-1I）.—

23

2.己知向量£,/；,其中3=1,h一%卜4,忖+2q=2,则一在加方向上的投影为（）

A.-2B.1C.-1D.2

3.已知向量4,6满足同=1,5=3,且日在方向上的投影与B在d方向上的投影相

等，则卜一可等于（）

A.VioB.百C.4D.5

4.已知同=1,忖=2,（词=60。,则£+B在£上的投影是（）

A.1B.-C.2D.—

77

5.已知=旧=3,卜+石卜3夜，则向量"在向量•方向的投影（）

A.1B.-1C.3D.-3

6.在△月始中，A4.八。=0,点夕为%的中点，且|西1=1X51，则向量丽在向量近

上的投影为（）

A.坐国B,当网C,-婀|D.加口

7.已知向量。,5满足|6|=5J5+b|=4Jd-/；|=6,则向量4在向量/；上的投影为_______.

8.设向量£,E满足问=2,W=i,且口（£+到,则向量B在向量£+2/；上的投影的

数量为.

9.已知平面向量获满足昨悯=2,忖+同二百，则一在坂方向上的投影等于.

10.已知边长为2的等边△ABC中，则向量而在向量巨方向上的投影为.

11.已知工为一个单位向量，£与"的夹角是120。.若£在工上的投影向量为—2＞则］二

12.已知非零向量满足口=2,内一4=4,£在b方向上的投影为1，则＞仅+2可=

【题组四向量的模长】

1.己知平面向量£，坂满足口=2,旧=3,若2B的夹角为120°,则|3）-©=（）

A.3不B.3&C.2x/7D.3

2.若向量力与5的夹角为60。，且同=4,网=3,则卜+可等于()

A.37B.13C.历I).V13

3.已知向量3，5满足76=0，忖=1，忖=3,则"Z?=()

A.0B.2C.2&D.V10

4.已知向量£、〃满足：忖=3,问=4,卜+同="?1,则々一8=.

5.若平面向量2，刃满足a+。一4二灰，则£.石=__________,/+/=

；若'=6,"=8,且"一，二10

6.已知「卜6,b=8,则a+b的最大值为

则a+b

7.已知向量£,万满足同=4,R在［上的投影(正射影的数量)为-2,则忖-24的最小

值为_________

21+区

9.设非零向量3与B的夹角是鸟，且同=卜+可，则

网

A.无B.曲C,1

322

10.已知平面向量£、B满足同叩+2q=6则、万忖+/+4的最大值为

11.已知向量4与向量6的夹角为?，且“=1,a_L(3a—2b).

(1)求坂：

(2)若卜)一〃而卜疗，求阳.

12.已知平面向量满足：同=2,恸=1|.

⑴若,+2孙(万-5)=1,求£/的值：

(2)设向量34的夹角为6,若存在iwR,使得|£+2|=1，求cos。的取值范围.

13.已知向量况=G，而=6，N4OA=60，且同=坂=4.

⑴求a+b,\a-b；

(2)求d+6与行的夹角及不一方与彳的夹角.

【题组五平面向量的综合运用】

1.£,B是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是()

A.a=bB.a-b=\C.万土犷D.|a|2二|B「

2.若日是非零向量，B是单位向量，①同＞o,②M=l,③后=6,④值=4(460),

⑤；・,，()，其中正确的有()

A.©©③B.®©®C.①②④D.®®

3.设24为向量，则“K•司=同司”是“3/4”()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.若6，己均为单位向量，且"，；=-3，c=xa+yb(x,yeR),则x+y的最大值是

()

A.2B.73C.V2D.1

5.已知向量£、/；、£满足3+〃+2="且同第＜|4，则7/；、/；•37"中最小的

值是()

A.a-bB.acC.be1)•不能确定

6.已知空间向量■，石，"和实数4,则下列说法正确的是()

A.若a"=0,则a=6或匕=。B.若4。=。,则2=。或〃=。

C.若=("),则£=方或〃=—/?D.若a.6=〃.c,则B=c

7.(多选)若£、石、"是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是()

A.(a•b)•c=(b•c)•a

B.若7B=一同M，则

C.若a•c=B•c，则a//B

D.若a.a=B•B，则a=4

8.(多选)已知万，瓦乙是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是()

A.\a-b\<\a\\b\

B.若后方=小6且BwG，则H=e

c.两个非零向量2,b，若m-bi=i引+ibi，则2与5共线且反向

D.已知。=(1,2),5=(1,1),且日与不+4的夹角为锐角，则实数义的取值范圉是

9.已知a=b=ab=2,c=(2-44)a+2〃，则的最小值为_________.

10.在“IBC中，已知AA=2,|刀+行|=|国-奇I，cos24+2sin2---=1,则